基于凍土蠕變的分?jǐn)?shù)階廣義Kelvin模型

長(zhǎng)江大學(xué)石油工程學(xué)院 湖北 武漢 430100

0 引言

我國(guó)的多年凍土面積占國(guó)土陸地面積的21.5%,季節(jié)凍土分布面積占53.5%,是世界第三凍土大國(guó)。[1]我國(guó)許多重大管道工程不可避免地要穿越凍土區(qū),例如已建成的國(guó)家重點(diǎn)工程—西氣東輸管線。其中輪南-武威段季節(jié)性凍土凍深為0.8～1.4m,武威-靖邊段季節(jié)性凍土凍深為1.0～1.3m。凍土蠕變是一種較為復(fù)雜的現(xiàn)象,土壤的凍結(jié)與融化作用會(huì)引起管道變形。近年來(lái),隨著凍土區(qū)一系列重要基礎(chǔ)設(shè)施和重大工程的逐步開(kāi)展以及人工凍結(jié)法施工技術(shù)在隧道開(kāi)挖中的廣泛應(yīng)用,凍土在復(fù)雜環(huán)境下(尤其是高應(yīng)力水平下)的蠕變變形計(jì)算成為一個(gè)非常重要的研究課題。所以準(zhǔn)確建立凍土蠕變模型,對(duì)保證凍土區(qū)管道安全具有重要意義。

1 研究背景

凍土蠕變研究最早是在國(guó)外開(kāi)展的,蘇聯(lián)始于1930年代初期,北美也在1950年代初開(kāi)始對(duì)凍土強(qiáng)度進(jìn)行研究,逐步建立了凍土強(qiáng)度與蠕變理論。[2]自20世紀(jì)60年代以來(lái),凍土的流變本構(gòu)理論研究取得了較大的發(fā)展。其中經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃驼麛?shù)階元件模型是目前最常用的兩類(lèi)凍土蠕變本構(gòu)模型。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ屯ㄟ^(guò)對(duì)人工凍土蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法擬合,得到應(yīng)變與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。該模型公式簡(jiǎn)單,針對(duì)性強(qiáng),可以很好地對(duì)蠕變曲線進(jìn)行擬合,而模型中的參數(shù)缺乏明確的物理意義[3]。整數(shù)階元件模型是由彈簧元件、粘壺等元件經(jīng)過(guò)各種組合而得,整數(shù)階元件蠕變模型的構(gòu)成具有明確的物理力學(xué)意義,直觀易懂[4]。整數(shù)階伯格斯元件模型、賓厄姆元件模型及西原元件模型等是常用的人工凍土經(jīng)典蠕變模型[5]。然而,模擬一個(gè)完整的人工凍土蠕變模型,往往需要很多元件進(jìn)行組合,進(jìn)而導(dǎo)致所建模型參數(shù)繁多。而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支,是專(zhuān)門(mén)研究任意階積分和微分的數(shù)學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用的領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型可以精確的擬合凍土的蠕變過(guò)程,而且形式簡(jiǎn)單、統(tǒng)一,在計(jì)算過(guò)程中需要調(diào)整的參數(shù)很少,僅采用很少的幾個(gè)元件的組合就可以獲得很好的結(jié)果。相比較于整數(shù)階導(dǎo)數(shù)以及積分,分?jǐn)?shù)階微積分可以更簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的描述具有歷史記憶和空間全域相關(guān)性等復(fù)雜力學(xué)和物理過(guò)程。[6]目前對(duì)于凍土蠕變模型的構(gòu)建,建立考慮凍土應(yīng)力-應(yīng)變-強(qiáng)度特性隨時(shí)間變化的蠕變本構(gòu)模型,有助于解決工程應(yīng)用中遇到的蠕變問(wèn)題。研究人員從不同方向出發(fā),提出了一系列用于預(yù)估凍土蠕變變形的模型。例如:Hou等[7]同時(shí)考慮了應(yīng)力引起的弱化及強(qiáng)化效應(yīng)對(duì)凍土蠕變過(guò)程的影響,提出了一種分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型。李鑫等[8]通過(guò)引入硬化因子與損傷因子來(lái)考慮溫度、應(yīng)力造成的凍土材料強(qiáng)化與弱化,進(jìn)而提出了適用于凍土的改進(jìn)Nishihara模型。Yang等[9]針對(duì)凍結(jié)粉土進(jìn)行了三軸壓縮及蠕變?cè)囼?yàn),發(fā)現(xiàn)圍壓的增長(zhǎng)能抑制凍土的變形,并提出了擾動(dòng)狀態(tài)的黏彈塑性本構(gòu)模型及一種新的元件蠕變本構(gòu)模型。姚亞峰等[10]通過(guò)改進(jìn)遺傳算法,獲得各溫度下蠕變模型,其能準(zhǔn)確反映凍土蠕變的整體規(guī)律。周志偉等[11]進(jìn)行不同溫度和圍壓條件下的三軸壓縮和蠕變?cè)囼?yàn),基于超塑性理論和過(guò)應(yīng)力原理建立了凍結(jié)黃土的速率相關(guān)本構(gòu)模型。李東偉等[12]在Nishihara模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)分析深層人工凍土在不同圍壓和溫度下的三軸蠕變和剪切試驗(yàn)結(jié)果,建立了深層人工凍土的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型。

經(jīng)典Kelvin模型是由彈簧與牛頓粘壺串聯(lián)組合而成,能描述凍土的衰減蠕變過(guò)程,而不能完整描述非衰減蠕變,局限性較多。因此我們提出將Kelvin模型中的整數(shù)階牛頓粘壺替換為分?jǐn)?shù)階Abel粘壺,并串聯(lián)一個(gè)應(yīng)力-應(yīng)變雙控的非線性黏壺元件,從而得到改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Kelvin模型。改進(jìn)后的模型實(shí)用性及合理性通過(guò)已有的蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

2 模型改進(jìn)

傳統(tǒng)Kelvin模型是普通的元件模型,通過(guò)虎克彈性體和牛頓黏性體的串并聯(lián)組合來(lái)模擬凍土蠕變的力學(xué)行為。由于這些元件均是線性元件,只能描述線性變化,所以我們引入非線性元件,即分?jǐn)?shù)階元件,以便更好擬合凍土蠕變過(guò)程。如圖1、圖2,將Kelvin模型中原本的牛頓粘壺替換成Abel粘壺,使得改進(jìn)后的模型參數(shù)少且物理意義明確,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也能很好的進(jìn)行擬合,為人工凍土領(lǐng)域的計(jì)算提供了一種更精確的新方法。進(jìn)一步通過(guò)分析發(fā)現(xiàn),改進(jìn)后的Abel粘壺雖能夠描述非線性變化,但該模型卻始終無(wú)法較好的擬合凍土加速蠕變階段的蠕變情況。實(shí)際上,凍土蠕變大部分時(shí)間處于非穩(wěn)定蠕變階段和穩(wěn)定蠕變階段,只有當(dāng)應(yīng)力應(yīng)變達(dá)到某一臨界值時(shí),才會(huì)出現(xiàn)加速蠕變階段,且經(jīng)歷時(shí)間很短,即可導(dǎo)致凍土結(jié)構(gòu)物破壞。分?jǐn)?shù)階Kelvin模型無(wú)法更好的模擬加速蠕變的原因也在此,而采取繼續(xù)串聯(lián)一個(gè)應(yīng)力-應(yīng)變觸發(fā)的Abel粘壺即可將兩種情況分開(kāi),如圖3。

2.1 Abel粘壺 Abel粘壺的應(yīng)變滿足以下關(guān)系:

式中:η2是分?jǐn)?shù)階元件的粘滯系數(shù),r是分?jǐn)?shù)階元件求導(dǎo)階數(shù),t為時(shí)間。

圖4 Abel粘壺Figure4 Abel sticky pot

2.2 應(yīng)力-應(yīng)變觸發(fā)的Abel粘壺 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,凍土蠕變與時(shí)間關(guān)系曲線分為兩類(lèi):衰減型蠕變和非衰減型蠕變。圖-5中橫軸表示時(shí)間,縱軸表示應(yīng)變偏量對(duì)時(shí)間的變化率。當(dāng)應(yīng)力偏量較小時(shí),蠕變呈衰減型,如圖5a所示,在衰減過(guò)程中,變形速率逐漸趨近于零,蠕變變形收斂于某一個(gè)變形水平。而當(dāng)應(yīng)變超過(guò)某一界限值,其蠕變呈現(xiàn)非衰減型,如圖5b所示,非衰減型蠕變一般可分為3個(gè)階段:非穩(wěn)定蠕變階段AB,穩(wěn)定蠕變階段BC和加速蠕變或破壞階段CD。實(shí)際工程中,加速蠕變階段CD往往經(jīng)歷很短時(shí)間,即可導(dǎo)致凍土結(jié)構(gòu)物破壞。因此,對(duì)實(shí)際工程有研究意義的通常是衰減型蠕變以及非衰減型的蠕變階段AB段和BC段

圖5 變形隨時(shí)間變化的蠕變曲線Fig.5 creep curves of deformation with time

在高應(yīng)力情況下,凍土內(nèi)部受到破壞而發(fā)生加速蠕變。吳斐等研究鹽巖時(shí)引入了一種帶有應(yīng)變觸發(fā)的粘壺,通過(guò)應(yīng)變的條件觸發(fā)該元件的開(kāi)關(guān),既可以判斷蠕變過(guò)程是否進(jìn)入加速階段,又能清楚反應(yīng)衰減型蠕變與非衰減性蠕變的區(qū)別。當(dāng)應(yīng)力滿足σ≤σs(σs為屈服應(yīng)力)且應(yīng)變滿足ε≤εa(εa為凍土進(jìn)入加速蠕變的臨界值),該元件開(kāi)始觸發(fā),凍土顯示加速蠕變特性,如圖6.

圖6 應(yīng)力-應(yīng)變觸發(fā)的Abel粘壺Figure6 Abel sticky pot triggered by stress-strain

應(yīng)力-應(yīng)變觸發(fā)的Abel粘壺的本構(gòu)關(guān)系為:

3 本構(gòu)方程推導(dǎo)

如圖3,改進(jìn)后的模型是采用線性元件與非線性元件串并聯(lián)組合而成的元件模型,既可以針對(duì)低應(yīng)力水平下的線性變化作出相應(yīng)的表示,又可以描述超過(guò)屈服應(yīng)力和屈服應(yīng)變情況下的加速蠕變階段。該模型的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)方程滿足元件串并聯(lián)關(guān)系,根據(jù)串并聯(lián)公式,可得:

凍土的蠕變特性與應(yīng)力大小相關(guān),當(dāng)凍土處于低應(yīng)力水平下,蠕變只表現(xiàn)衰減型蠕變的特征。元件沒(méi)有觸發(fā)最后一個(gè)裝置,簡(jiǎn)化為圖2所示的模型,本構(gòu)方程為(1)式。當(dāng)凍土處于高應(yīng)力水平下,凍土開(kāi)始進(jìn)入加速蠕變階段,應(yīng)力-應(yīng)變雙觸發(fā)粘壺開(kāi)關(guān)打開(kāi),進(jìn)入工作狀態(tài),此時(shí)可用來(lái)擬合衰減型模型的凍土蠕變特性。

4 數(shù)據(jù)擬合

為了驗(yàn)證修改后模型的適用性,本文數(shù)據(jù)采用單軸應(yīng)力狀態(tài)下凍結(jié)的蘭州沙土蠕變?nèi)渥儗?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證與分析。[13]模型參數(shù)如下表:

表1 模型參數(shù)Table 1 model parameter

式(1)、(2)為改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階Kelvin模型,根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)與計(jì)算值可以看出,模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有較好的描述。在低應(yīng)力下的試樣開(kāi)始表現(xiàn)出衰減蠕變,隨后進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段。

圖8 蠕變階段應(yīng)變隨時(shí)間變化圖Fig.8 variation of strain in creep stage

5 結(jié)論

引入應(yīng)力-應(yīng)變雙觸發(fā)粘壺對(duì)分?jǐn)?shù)階Kelvin模型進(jìn)行改進(jìn),得到應(yīng)變與時(shí)間的函數(shù),可以描述凍土蠕變過(guò)程。相對(duì)之前的模型,改進(jìn)后的模型能很好地描述衰減型蠕變與非衰減性蠕變兩種情況,且互不影響,既保證了之前模型的優(yōu)點(diǎn),又能很好擬合加速蠕變階段的蠕變特性,為凍土的蠕變特征計(jì)算提供了一種新的方法。

引入應(yīng)力-應(yīng)變雙觸發(fā)粘壺元件,僅是擬合凍土蠕變眾多方法中的一種,模型中對(duì)于某些數(shù)據(jù)的擬合還不夠精確,還具有改進(jìn)空間。或許還有更好的方法,需要我們繼續(xù)去探索研究,從而更好解決凍土區(qū)管道工程問(wèn)題。