基于線彈性斷裂力學(xué)的深埋水工隧洞水力劈裂分析

左擁軍

（萬(wàn)年縣水利局，江西 萬(wàn)年縣 335500）

近年來(lái)，我國(guó)水利行業(yè)發(fā)展迅速，在西部地區(qū)建成了許多大型水電站，這些水電站具有裝機(jī)容量大、水頭、地下水位高等特點(diǎn)，且大多數(shù)是位于高山峽谷地方。因此，水工隧洞常深埋于地下水位以下的位置，導(dǎo)致隧洞圍巖在開(kāi)挖過(guò)程中面臨高地應(yīng)力和高滲透壓力帶來(lái)的一系列問(wèn)題[1]。由于在隧洞施工過(guò)程中，使得局部巖體應(yīng)力狀況發(fā)生變化，而巖石表面存在的裂紋在有效應(yīng)力作用下發(fā)生擴(kuò)展，因此，裂紋面受到的有效應(yīng)力是導(dǎo)致巖體破壞直接因素。在高滲透壓力和高地應(yīng)力條件下，裂紋的水力劈裂作用會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng)，這種由于水力劈裂現(xiàn)象造成的事故在國(guó)內(nèi)外也很常見(jiàn)[2，3]。崔少英等[4]通過(guò)對(duì)水工隧洞中水力劈裂臨界孔隙水壓力進(jìn)行研究，得出了3 種類型裂縫和無(wú)裂縫情況下的臨界孔隙水壓力計(jì)算方法。彭立鋒等[5]通過(guò)模型試驗(yàn)對(duì)高地溫水工高壓隧洞進(jìn)行了研究，得出高地應(yīng)力條件下水工隧洞水力劈裂位置與地應(yīng)力側(cè)限系數(shù)的關(guān)系。針對(duì)深埋水工隧洞出現(xiàn)的水力劈裂問(wèn)題，本文采用線彈性斷裂力學(xué)理論，重點(diǎn)分析在壓剪復(fù)合斷裂模式下廣義臨界水壓力與中心裂縫角度之間的關(guān)系。

1 圍巖壓力的計(jì)算

根據(jù)深埋水工隧洞在開(kāi)挖過(guò)程中圍巖所處應(yīng)力情況，計(jì)算圓形洞室圍巖中任意一點(diǎn)M（r，α）的應(yīng)力，其應(yīng)力分布圖如圖1 所示。圖中p 為豎直方向的壓應(yīng)力，p = γH ，γ 為圍巖容重，H 為洞室頂部與地面的距離；q 為水平方向的壓應(yīng)力，q=k0γH ，k0為側(cè)壓力系數(shù)。r0為洞室半徑，r 為從洞室中心位置算起的任意徑向距離，α 為圍巖中任意一點(diǎn)所處洞室方位角，σθ為切向應(yīng)力，σr為徑向應(yīng)力，τrθ為剪切應(yīng)力。

圖1 圍巖應(yīng)力分布圖

其中，σr，σα，τrθ可按文獻(xiàn)［6］進(jìn)行計(jì)算：

2 深埋水工隧洞圍巖力學(xué)模型的建立

由文獻(xiàn)［1］可知深埋水工隧洞圍巖處于高地應(yīng)力和高滲透壓力的特殊環(huán)境中，所以在運(yùn)用斷裂力學(xué)分析裂紋擴(kuò)展時(shí)，不能忽視水壓力這個(gè)重要因素。假設(shè)在單軸壓縮情況下，單位厚度巖體存在一條長(zhǎng)為2a，與加載方向的夾角為β 的中心裂縫，裂縫中作用有滲透壓力P，設(shè)裂縫尖端裂紋的擴(kuò)展方向與裂縫中軸線的夾角為θ0，則加載的荷載為σθ=( p+q )+2( p-q )cos 2α，如圖2 所示。

圖2 中心單裂縫巖體模型

裂縫面上的應(yīng)力狀態(tài)為：

根據(jù)式（5）可知，裂縫面上既存在正應(yīng)力σβ又存在剪應(yīng)力τβ，因此，裂紋擴(kuò)展失穩(wěn)問(wèn)題應(yīng)屬于Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋問(wèn)題。此時(shí)裂縫面上的正應(yīng)力σβ有兩種情況：當(dāng)σβ為拉應(yīng)力時(shí)，裂紋擴(kuò)展失穩(wěn)應(yīng)屬于拉剪復(fù)合型問(wèn)題；當(dāng)σβ為壓應(yīng)力時(shí)，擴(kuò)展失穩(wěn)應(yīng)屬于壓剪復(fù)合型問(wèn)題。

3 基于線彈性斷裂力學(xué)的斷裂判據(jù)

由線彈性斷裂力學(xué)可知，當(dāng)裂紋在復(fù)合型加載模式下，其擴(kuò)展往往不是沿著軸線方向擴(kuò)展的，而是與軸線成一定的夾角，這個(gè)夾角稱為斷裂角。最大周向應(yīng)力理論作為目前研究復(fù)合型斷裂問(wèn)題的重要方法，能很好地解決斷裂判據(jù)和斷裂角兩個(gè)方面的問(wèn)題。

Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型加載的裂紋端部區(qū)域應(yīng)力分量在極坐標(biāo)情況下的表達(dá)式為：

式中：θ 為裂紋尖端與x 軸之間的夾角。

最大周向應(yīng)力理論有以下假設(shè)：1）裂紋沿最大軸向拉應(yīng)力σθ所處截面進(jìn)行擴(kuò)展的，因此，該截面與原裂紋線之間的夾角即為斷裂角，用θ0表示（圖3）；2）裂紋開(kāi)始擴(kuò)展是因?yàn)樽畲笾芟驊?yīng)力達(dá)到某一臨界值，可以把這個(gè)臨界值作為材料的斷裂韌性KⅠc，此時(shí)裂紋的斷裂條件可表示為Ke=KⅠc。

圖3 斷裂角和最大軸向應(yīng)力理論

其中，θ0可按下式計(jì)算：

由最大周向應(yīng)力可知，裂紋擴(kuò)展沿著斷裂角θ0形成新的裂紋線方向。而應(yīng)力σθ( r，θ0)與新的裂紋線垂直，相當(dāng)于在Ⅰ型加載情況下的應(yīng)力σ（yr，0）。為此，根據(jù)Ⅰ型斷裂應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的定義引入一個(gè)相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子：

將式（8）代入式（9）可得：

將式（8）對(duì)θ 進(jìn)行求導(dǎo)，并令其為0，則可得到：

3.1 拉剪復(fù)合斷裂判據(jù)

當(dāng)σβ＜0 時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，這種情況屬于拉剪復(fù)合斷裂問(wèn)題。此時(shí)裂縫面是張開(kāi)型的，裂縫面間無(wú)滑動(dòng)摩擦，將式（11）中得到的θ0代入Ke中，得到：

若巖體開(kāi)裂則表明斷裂韌度Ke≥KⅠc，則可得到開(kāi)裂時(shí)的臨界水壓力：

由式（11）可知，拉剪復(fù)合裂紋失穩(wěn)起裂角與滲透水壓力相關(guān)，所以式（12）需進(jìn)行迭代計(jì)算。由式（4）可知，σα與水平方向的壓應(yīng)力q、豎直方向的壓應(yīng)力p 和方位角α 有關(guān)。本文選取α =0°，30°，60°，90°進(jìn)行討論。其中，q=k0p，在深埋水工隧洞條件下k0≥1/3。由此得到：

將式（14）代入式（13）即可得到不同方位角和拉剪狀態(tài)下巖體開(kāi)裂時(shí)的臨界水壓力。

在式（14）中引入一個(gè)廣義臨界水壓力

由式（14）和（15）可知，廣義臨界水壓力與β ，θ0，k0有關(guān)。由于參數(shù)較多，計(jì)算較為復(fù)雜，本文就不再討論了。

3.2 壓剪復(fù)合斷裂判據(jù)

當(dāng)σβ＞0 時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，這種情況屬于壓剪復(fù)合斷裂問(wèn)題。此時(shí)裂縫面被壓緊并閉合，裂紋失穩(wěn)的主要原因是由于裂縫面上的有效剪應(yīng)力迫使裂縫面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，有效剪應(yīng)力可按下式計(jì)算：

式中：φ 為裂縫面上的內(nèi)摩擦角；c 為裂縫面的粘聚力。

同樣，選取α=0°，30°，60°，90°進(jìn)行討論，由于σα取值是一致的，因此只需將式（14）代入式（17）即可得到壓剪復(fù)合狀態(tài)下巖體裂紋起裂時(shí)的臨界水壓力。

在式（17）中引入一個(gè)廣義臨界水壓力，可得：

由式（14）和（18）可知，廣義臨界水壓力與β ，φ，k0有關(guān)。其中，k0≥1/3，選取k0=1/3，1/3 ＜k0＜3（k0=2），k0=3，k0＞3（k0=4）進(jìn)行分析，根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的數(shù)據(jù)，取tan φ=0.365，得到在壓剪狀態(tài)下廣義臨界水壓力與裂紋方向之間的關(guān)系（圖4）。

由圖4 可知：1）隨著中心裂縫角度β 的增加，廣義臨界水壓力呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)（其中k0=1/3，α=90°與k0=3，α=0° 除 外），并 且 當(dāng)β=55° 時(shí)，廣義臨界水壓力取得最大值。2）當(dāng)α=0°時(shí)，廣義臨界水壓力隨側(cè)壓力系數(shù)k0的增加而減小，并在k0=3 時(shí)為0。由此表明，當(dāng)k0≥3時(shí)，水平方向水壓力不會(huì)對(duì)裂紋的擴(kuò)展起作用。3）當(dāng)α=30°時(shí)，廣義臨界水壓力與側(cè)壓力系數(shù)不相關(guān)，而是一固定值。4）當(dāng)0°＜α ＜90°時(shí)，廣義臨界水壓力則隨側(cè)壓力系數(shù)的增加而增加，且當(dāng)k0≥2，α=90°時(shí)，廣義臨界水壓力最大，由此表明，在豎直方向水壓力對(duì)裂紋的擴(kuò)展有較大的貢獻(xiàn)作用。

圖4 壓剪復(fù)合斷裂時(shí)裂紋方向與廣義臨界水壓的關(guān)系

4 結(jié)語(yǔ)

由于深埋水工隧洞在開(kāi)挖過(guò)程中圍巖的應(yīng)力狀況會(huì)發(fā)生變化，并且圍巖還處于高地應(yīng)力和高滲透壓力的環(huán)境中，這種環(huán)境會(huì)對(duì)巖體的破裂產(chǎn)生促進(jìn)作用，其中，水力劈裂現(xiàn)象更為顯著。

1）在拉剪復(fù)合斷裂模式下，廣義臨界水壓力與中心裂縫角度β 、斷裂角θ0和側(cè)壓力系數(shù)k0相關(guān)；而在壓剪復(fù)合狀態(tài)下，廣義臨界水壓力與中心裂縫角度β 、裂縫面間的內(nèi)摩擦角φ 和側(cè)壓力系數(shù)k0相關(guān)。

2）在壓剪復(fù)合斷裂下，當(dāng)中心裂縫角度β =55°時(shí)，其廣義臨界水壓力取得最大值，在圍巖中任意一點(diǎn)所處洞室方位角α=30°時(shí)，其廣義臨界水壓力是一固定值。此外，當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)k0≥2時(shí)，洞室豎直方向的水壓力對(duì)裂紋擴(kuò)展的貢獻(xiàn)最大；當(dāng)k0=1/3 時(shí)，洞室水平方向的水壓力對(duì)裂紋擴(kuò)展的貢獻(xiàn)最大。

3）深埋水工隧洞圍巖洞室的破壞是在高地應(yīng)力和高滲透壓力共同作用導(dǎo)致的。