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    縱向數(shù)據(jù)下基于復(fù)合分位數(shù)回歸的經(jīng)驗(yàn)似然推斷

    2020-06-22 02:39:38劉佳樂
    關(guān)鍵詞:置信位數(shù)正態(tài)分布

    劉佳樂 黃 彬

    (北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

    引 言

    縱向數(shù)據(jù)經(jīng)常出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物醫(yī)學(xué)研究中,它通過對相同的個(gè)體進(jìn)行多次重復(fù)測量得到,因而具有組內(nèi)相關(guān)、組間獨(dú)立的特點(diǎn);同時(shí)由于重復(fù)測量,一個(gè)個(gè)體的突變往往會使數(shù)據(jù)產(chǎn)生一系列的異常值,因此如何處理組內(nèi)相關(guān)性,提高估計(jì)的效率和穩(wěn)健性,一直是縱向數(shù)據(jù)研究的重要內(nèi)容。Koenker[1-2]提出的分位數(shù)回歸是研究縱向數(shù)據(jù)的一種重要方法,該方法不僅能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健估計(jì),還可描述響應(yīng)變量的整個(gè)條件分布??v向數(shù)據(jù)下的分位數(shù)回歸最大的困難是估計(jì)相關(guān)矩陣,許多學(xué)者利用特定的相關(guān)結(jié)構(gòu)[3-5],或結(jié)合經(jīng)驗(yàn)似然(EL)[4]、二次推斷函數(shù)(QIF)[5]、高斯copula函數(shù)以及改進(jìn)Cholesky分解(MCD)法[6]等方法將數(shù)據(jù)相關(guān)性納入估計(jì)方程中,從而得到更有效的估計(jì)。

    當(dāng)數(shù)據(jù)相互獨(dú)立時(shí),Zou等[7]提出了復(fù)合分位數(shù)回歸(CQR)估計(jì),該方法充分利用多個(gè)分位數(shù)信息,從而進(jìn)一步提高了參數(shù)估計(jì)的效率,因此CQR方法被廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜數(shù)據(jù)中。在縱向數(shù)據(jù)下,Tang等[8]利用EL和QIF方法構(gòu)造權(quán)重,得到參數(shù)的加權(quán)CQR估計(jì);Lv等[6]利用MCD分解對相關(guān)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì),并與CQR方法相結(jié)合得到了參數(shù)的有效估計(jì); Zhao等[9]利用廣義矩估計(jì)(GMM)方法[10]將CQR和QIF方法相結(jié)合,得到了參數(shù)的復(fù)合分位數(shù)二次推斷函數(shù)估計(jì)(CQRQIF)。

    統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要問題是對興趣參數(shù)置信域的構(gòu)造,通過EL得到的置信域具有一些很好的性質(zhì),如域保持性、變換不變性以及置信域的形狀完全由數(shù)據(jù)決定等。Zhao等[11-12]基于CQR和EL方法研究了線性模型和部分線性模型下參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì),并利用經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比的漸近卡方分布得到參數(shù)的置信域,該方法無需估計(jì)漸近方差,且比一些已有方法更加有效和穩(wěn)健,但是它們僅考慮獨(dú)立數(shù)據(jù)的情形。

    在縱向數(shù)據(jù)下,本文進(jìn)一步研究基于CQR的線性模型的EL推斷,利用QIF的思想將工作相關(guān)矩陣的逆表示為某些基矩陣的線性組合,從而將數(shù)據(jù)組內(nèi)相關(guān)性納入估計(jì)方程中;將CQR和EL方法相結(jié)合,得到了參數(shù)的復(fù)合分位數(shù)回歸經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)(CQREL)估計(jì),證明了所得估計(jì)的漸近正態(tài)性;另外,無需預(yù)先估計(jì)漸近方差,利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從漸近卡方分布,得到興趣參數(shù)的置信域;數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)一步說明所得CQREL估計(jì)方法能更有效和更穩(wěn)健地估計(jì)參數(shù)。

    1 參數(shù)估計(jì)方法

    1.1 CQREL方法

    (1)

    式中,β為未知的回歸參數(shù),εij為隨機(jī)誤差,εi=(εi1,…,εimi)T與Xi相互獨(dú)立,且其均值為0,即E(εi)=0。假設(shè)縱向數(shù)據(jù)滿足不同個(gè)體間相互獨(dú)立,且相同個(gè)體內(nèi)存在某種相關(guān)性;當(dāng)忽略數(shù)據(jù)組內(nèi)相關(guān)性時(shí),令0<τ1<τ2<…<τK, 可用復(fù)合分位數(shù)回歸(CQR)[13]方法估計(jì)參數(shù)

    (2)

    式中,Zik=(Xi,Dik),Dik為第k列全為1且其余列全為0的mi×K矩陣;Sik(θ)=ψτk(yi-Zikθ),ψτk(u)=(ψτk(u1),…,ψτk(us))T,u=(u1,…,us)T為任意的s維向量,ψτk(ui)=τk-1(ui<0)。

    (3)

    給定Ri(α),E(Ui(θ0))=0,將CQR和EL方法相結(jié)合,重新組合Ui(θ0)(i=1,…,n)的信息,得到θ的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比函數(shù)為

    對給定的θ,當(dāng)0位于{Ui(θ),i=1,…,n}的凸包之內(nèi)時(shí),ln(θ)存在且唯一。利用拉格朗日乘子法可將ln(θ)表示為

    式中,λ=λ(θ)為拉格朗日乘子,且滿足

    最小化ln(θ),得到θ的CQREL為

    (4)

    值得注意的是,無需估計(jì)討厭參數(shù)和未知常數(shù)al,l=1,…,L,可以在R語言中通過軟件包emplik和optim來求解最小化問題式(4)。另外,與CQRQIF[9]相比,本文的CQREL方法不需選擇一個(gè)正定的權(quán)重矩陣,而且構(gòu)造置信域的形狀完全由數(shù)據(jù)本身決定,無需預(yù)先估計(jì)漸近方差,特別當(dāng)漸近方差較難估計(jì)時(shí),這一優(yōu)勢尤為重要。

    1.2 估計(jì)的漸近性質(zhì)

    對任意的i=1,…,n,j=1,…,mi,假設(shè)下列條件成立:

    (1)Ω=E(Ui(θ0)Ui(θ0)T)是正定矩陣;

    (2)εij的分布函數(shù)F(·)是二階連續(xù)可微的,其密度函數(shù)f(·)有界,且f(·)>0;

    (3)Xij一致有界;

    (4)β所在的參數(shù)空間為B,且B為Rp的緊子集,其真值β0為B的內(nèi)點(diǎn)。

    為了便于證明,引入以下記號:

    ① 令Δik=f(b0k)Imi,Γ=(Γ1,Γ2);

    證明:由文獻(xiàn)[15]可知,是θ0的相合估計(jì),用‖·‖表示歐幾里德范數(shù)。記由文獻(xiàn)[16]得

    (5)

    且式(5)在Θn={θ∶‖θ-θ0‖=O(n-1/2)}上一致成立。由文獻(xiàn)[17]有

    λ(θ)=Ω-1Dn(θ)+op(n-1/2)

    (6)

    且式(6)在Θn上一致成立。由條件式(1)~(4)和式(5)、(6),將ln(θ)泰勒展開得到

    (7)

    由條件式(1)~(4)可知,式 (5)、 (6)與式(7)在Θn上一致成立,且有

    (8)

    另外有

    (9)

    則當(dāng)n→∞時(shí), 有

    由式(7)、(9)可得

    本文感興趣的參數(shù)是β,所以可以利用profile經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對β進(jìn)行檢驗(yàn)或構(gòu)造β的置信域。欲檢驗(yàn)H0∶β=β0, 需定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

    從而有

    (10)

    2 數(shù)值模擬

    考慮以下4種不同的誤差分布情況進(jìn)行模擬。

    ①多元正態(tài)分布。假設(shè)εi滿足多元正態(tài)分布,即εi~N(0,Σε(ρ))(Σε(ρ)為一階自回歸結(jié)構(gòu),相關(guān)系數(shù)ρ=0.7)。

    ②多元t分布。假設(shè)εi滿足自由度為2的t分布,即εi~t2(0,Σε(ρ)),Σε(ρ)同情形①。

    ③有異常值的多元正態(tài)分布。從情形①產(chǎn)生的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)選取2%的yij各加減20。

    ④有異常值的多元t分布。從情形②產(chǎn)生的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)選取2%的yij各加減20。

    模擬中樣本容量n分別取100、 200,為簡單起見,取mi=m=5,模擬次數(shù)為300。數(shù)據(jù)由如下模型生成

    式中,i=1,…,n,j=1,…,m,β=(β1,β2)T,β1=-1,β2=2,Xij=(xij1,xij2)T,xij1~N(0,1),xij2~N(0,1)。

    將本文提出的CQREL方法分別與最小二乘經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)(LSEL)和CQRQIF方法進(jìn)行比較,采用均方誤差根(RMSE)評估不同估計(jì)的表現(xiàn)

    模擬中,將工作相關(guān)矩陣Ri分別指定為獨(dú)立(WI)、可交換(EX)和一階自回歸(AR1)結(jié)構(gòu)。對基于CQR的估計(jì)方法,均選取9個(gè)不同的分位數(shù)τ1=0.1,…,τ9=0.9。

    表1~4給出了4種情形下β估計(jì)的RMSE均值(Mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(SD)。 限于篇幅,表中只列出了n=100的情形,當(dāng)n=200時(shí)也得到了類似的結(jié)果,且RMSE有更小的Mean和SD,同樣驗(yàn)證了3種估計(jì)的相合性。

    表1 情形①下RMSE的模擬結(jié)果

    a—β1;b—β2。

    表2 情形②下RMSE的模擬結(jié)果

    a—β1;b—β2。

    表3 情形③下RMSE的模擬結(jié)果

    a—β1;b—β2。

    表4 情形④下RMSE的模擬結(jié)果

    a—β1;b—β2。

    由表1~4可以看出,對于3種方法,忽略了數(shù)據(jù)相關(guān)結(jié)構(gòu)(WI)的估計(jì)結(jié)果均較差,因此研究縱向數(shù)據(jù)時(shí)考慮組內(nèi)的相關(guān)結(jié)構(gòu)是很有必要的。當(dāng)誤差服從正態(tài)分布(表1)時(shí),LSEL的結(jié)果優(yōu)于CQREL和CQRQIF;當(dāng)誤差服從非正態(tài)分布(表2)或數(shù)據(jù)存在異常值時(shí)(表3、4), CQREL和CQRQIF因其RMSE有更小的Mean和SD值,明顯優(yōu)于LSEL。說明CQREL和CQRQIF方法所得估計(jì)具有更好的有效性和穩(wěn)健性。CQREL和CQREL兩種方法具有相近的結(jié)果,原因主要是兩種方法的估計(jì)有相同的漸近協(xié)方差陣。

    接下來考慮參數(shù)β的區(qū)間估計(jì)?;?00次模擬結(jié)果,表5給出了4種情形下(Case1、Case2、Case3、Case4)95%置信域的平均覆蓋率(CP)。從表中可以看出,當(dāng)考慮相關(guān)性時(shí),無論哪種情形,基于CQR的兩種方法的CP值均接近95%;而LSEL只在情形①下表現(xiàn)較好,當(dāng)誤差服從非正態(tài)分布或數(shù)據(jù)存在異常值時(shí),其CP值均偏離95%。

    表5 參數(shù)95%置信域的平均覆蓋率

    為了比較CQREL和CQRQIF的置信域性質(zhì),圖1給出了情形①下兩種方法的置信域。從圖中可以看出,基于AR1相關(guān)結(jié)構(gòu)的估計(jì)比基于EX相關(guān)結(jié)構(gòu)有更小的置信區(qū)域,并且在CP值都接近95%的情況下,CQREL方法所得的置信域在精度上明顯高于CQRQIF。

    綜上所述,當(dāng)誤差服從非正態(tài)分布或數(shù)據(jù)存在異常值時(shí),本文的CQREL方法比LSEL方法有更好的估計(jì)效率和穩(wěn)健性;另外,盡管CQREL與CQRQIF方法所得估計(jì)RMSE的Mean、SD和置信域的CP均有相近的結(jié)果,但是CQREL能得到精度更高的置信域,從而比CQRQIF有更好的有限樣本性質(zhì)。

    3 結(jié)束語

    在縱向數(shù)據(jù)下,本文將CQR和EL方法相結(jié)合,得到了模型參數(shù)更加有效且穩(wěn)健的估計(jì)。同時(shí)在理論上證明了所得估計(jì)和經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近性質(zhì)。借助QIF的思想考慮數(shù)據(jù)相關(guān)性,在估計(jì)過程中無需估計(jì)工作相關(guān)矩陣中的討厭參數(shù),并且所構(gòu)造的置信域的形狀完全由數(shù)據(jù)本身決定,無需預(yù)先估計(jì)漸近方差。通過數(shù)值模擬得到了更加有效和穩(wěn)健的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,并且在平均覆蓋概率接近95%的情況下,構(gòu)造出精度更高的置信域。

    本文僅究了縱向數(shù)據(jù)下線性模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題,未來可將該方法推廣到部分線性變系數(shù)模型、單指標(biāo)模型等半?yún)?shù)模型中,同時(shí)考慮響應(yīng)變量缺失的情況。

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