帶Lévy跳的時滯捕食-食餌隨機(jī)模型的最優(yōu)捕獲

邱 宏，劉思棋，鄧文敏

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

隨著生物數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，人們通過建立數(shù)學(xué)模型對生物種群的生存狀況展開研究。1798年，Malthus[1]利用Malthus 種群模型預(yù)測了人口數(shù)量的增長趨勢。19世紀(jì)初期，有學(xué)者共同建立Lotka-Volterra 模型[2-3]研究種群之間的競爭關(guān)系，利用大數(shù)律將問題進(jìn)行簡化，從而對確定性模型進(jìn)行研究。實際上生物會受到隨機(jī)環(huán)境因素的干擾[4-6]，因此,確定性模型并不能真實地反映生物的生存狀況[7]，如：部分地區(qū)出現(xiàn)干旱或寒流等現(xiàn)象會在一段時間內(nèi)抑制當(dāng)?shù)厣锏姆敝常@種對生物產(chǎn)生小程度干擾的因素被稱為白噪聲[8-10]；真實的生態(tài)環(huán)境中也會出現(xiàn)地震和火山爆發(fā)等情況，此類現(xiàn)象被統(tǒng)稱為Lévy 跳噪聲[11]，其特點(diǎn)是概率小，一旦發(fā)生便會對周圍生物種群產(chǎn)生巨大影響。因此，有學(xué)者將這兩種環(huán)境因素逐漸引入確定性模型中[12-13]，開始對生物隨機(jī)種群模型進(jìn)行研究。

此外，生物從出生到獨(dú)立生存會產(chǎn)生時滯效應(yīng)，Ruan[14]指出時滯會對系統(tǒng)平衡產(chǎn)生影響。將時滯的因素考慮到已有的隨機(jī)種群模型中，并分析時滯對所研究種群的影響[15-16]。目前，基于單種群和兩種群最優(yōu)捕獲策略的研究已取得一定成果[17-18]，但關(guān)于兩生物的種群模型并不足以反映自然界中物種之間的關(guān)系，因此，有必要研究在不同環(huán)境噪聲的影響下，具有時滯的三種群模型的最優(yōu)捕獲問題。

1 研究與方法

1.1 模型構(gòu)建

為了更加真實反映出自然界中生物種群之間的關(guān)系，主要討論受白噪聲和Lévy 跳影響的具有時滯的兩捕食者-單食餌的三種群捕食模型。

初始條件:xi（θ）=φi（θ），θ∈[-τ，0]，τ=max{τ12，τ13，τ21，τ23，τ31，τ32}。模型表示為

其中：τ 為時滯；φi（θ）為定義在[-τ，0]上的連續(xù)函數(shù)，φi（θ）＞0，i=1，2，3；x1（t）為食餌的種群數(shù)量，x2（t）和x3（t）為兩捕食者的種群數(shù)量，xi（t-）為xi（t）的左極限；hi為xi（t）的捕獲努力量，hi＞0；ri為xi（t）的增長率，r2，r3＜0；aij為物種i 與物種j 間的競爭系數(shù)，a21，a31＜0（dt，dv）=N（dt，dv）-η（dv）dt，N 為泊松計數(shù)測度，η 為N在可測子集Z 上的特征測度且η（Z）＜+∞；γ 表示Lévy 跳的影響程度；α 為白噪聲強(qiáng)度；B（t）為定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立的布朗運(yùn)動。

1.2 符號說明與假設(shè)

從生態(tài)意義角度[19]出發(fā)，合理假設(shè)1+γi（v）＞0，v∈Z；考慮到物種的增長率受白噪聲影響[20]，假設(shè)ri→ri+αi（t）。為了便于討論，定義符號如下

假設(shè)1A，A1，A2，A3＞0，說明當(dāng)沒有隨機(jī)擾動時，式（1）有正平衡解[21]。

假設(shè)2a11＞a12+a13，a22＞-a21+a23，a33＞-a31+a32[22]。

假設(shè)3存在正常數(shù)k1，使得 Z∫（ln（1+γi（v）））2×η（dv）＜k1，i=1，2，3[23]。

假設(shè)4+（）T是正定矩陣[23]。

定義1如果則種群x（t）趨于滅絕；如果〈x〉*＞0，則種群x（t）在時間平均意義上持久。

引理1任意的初始條件（φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ））∈C，式（1）都有唯一幾乎確定的全局解x（t）=（x1（t），x（2t），x（3t））T∈，有

且存在常數(shù)k2＞0，使得

注引理1 的證明與文獻(xiàn)[18]中定理5.1 及文獻(xiàn)[19]中定理3.1 相似。

引理2連續(xù)函數(shù)[24]y（t），有

1）存在正常數(shù)T，λ0和λ，使得對所有t≥T，lny（t）≤，則

2）存在正常數(shù)T，λ0和λ，使得對所有t≥T，lny（t）≥，則

引理3假設(shè){Mt}t≥0是一個消失在時間為0 的局部鞅，則，推出

其中，〈M，M〉（t）是邁耶尖括號過程[25]。

引理4初始條件：mi（θ）=φi（θ），θ∈[-τ，0]，τ=max{τ21，τ31}，i=1，2，3；令Qi=bi-ai1b1/a11，i=2，3。有如下模型

存在：

1）如果b1＜0，則

2）如果b1≥0，Q2≥0，Q3≥0，則

3）如果b1≥0，Q2＜0，Q3＜0，則

4）如果b1≥0，Q2≥0，Q3＜0，則

5）如果b1≥0，Q2＜0，Q3≥0，則

證明1）對式（4）的一個等式利用伊藤公式，兩邊同時除以t，可推得

又b2＜0，結(jié)合伊藤公式，由引理2 及式（6）可知，同理

2）由于b1≥0，根據(jù)引理2 及式（5）有

則

計算-t-（1a21ln m（1t）+a11ln m（2t）），由于=0，因此，當(dāng)Q2，Q3≥0 時，

引理4 中3）～5）的證明與上述相似，省略。

證畢。

注由引理4 知，對1 ≤i ≤3，t→+∞，〈mi（t）〉始終等于一個常數(shù)。由于xi（t）≤mi（t），由比較定理[26]，對任意的≥0，當(dāng)t∈[0，τe)時，有

定理1若假設(shè)1～假設(shè)3 成立，令Γ1=r1/β1，Γ2=則Γ1＞Γ2＞Γ3。

1）如果Γ1＜1，則

2）如果Γ1＞1＞Γ2，則

3）如果Γ2＞1＞Γ3，則

4）如果Γ3＞1，則2，3。

證明1）由于a21，a31，r2＜0，β1，β2，β3，r1＞0，則即Γ1＞Γ2＞Γ3。

對式（1）應(yīng)用伊藤公式，兩邊同時除以t，由于a11＞0，a12＞0，a13＞0，則

2）由于Γ2＜1＜Γ1，由式（10）及引理2 可知，由引理4 中3）可知結(jié)合比較定理可得

3）計算（ln m1（t）A13/A33+ln m3（t）-ln m2（t）A23/A33）/t，由式（9）可知，對任意的ε＞0，存在T2，使得當(dāng)t＞T2，可推得

計算（A12ln m1（t）/A22-ln m3（t）A32/A22+ln m2（t））/t，當(dāng)時，令t 充分大，有

即對任意ε＞0，存在T3，使得當(dāng)t＞T3時

將式（14）代入式（1），可推出

由引理2 可知

同理可得〈x3（t）〉*≥（A3-3）/A，結(jié)合式（12）可得，同理可證得

2 依分布穩(wěn)定性

定理2如果假設(shè)2 成立，則式（1）是依分布穩(wěn)定的[27]。

證明令xi（t）和（t）是式（1）初始值分別為x（θ）和的兩個解。ni為第i 個對角元素的余子式，其中

由Kirchioff 矩陣樹定理[28]可知，有ni＞0，i=1，2，3。令

由伊藤公式計算得

根據(jù)文獻(xiàn)[29]中定理2.3 可知

其中，L1為常數(shù)且L1＞0，則E（x1（t））一致連續(xù)。同理，E（x2（t）），E（x3（t））也一致連續(xù)。由Barbalat 引理[30]可知

其中，U={g：R3→R|‖g（x1）-g（x2）‖≤‖x1-x2‖，|g（·）|≤1}。對任意g∈U，當(dāng)t，s＞0 時，有

即對任意t ≥T，s＞0，有

因此，對任意的x（θ）∈C，{p（t，x（θ），·）| t＞0}是空間P 中關(guān)于度量dU的柯西列。令ω（θ）≡0，則存在唯一σ（·）∈P（），使得

由于式（1）是全局吸引的，則

證畢。

3 最優(yōu)捕獲策略

定理3當(dāng)假設(shè)1～假設(shè)4 成立時，令

1）如果Γ3|hi=λi＞1，λi≥0，i=1，2，3，則OHE 為H*=P，且MESY 為

2）如果1）不能成立，則式（1）不存在最優(yōu)捕獲策略。

證明1）令G={H=（{h1，h2，h3）T∈|Γ3＞1，hi＞0，i=1，2，3}}。由定理1 知，如果H∈G，則定理1 中的4）成立；如果H*存在，則H*∈G，顯然P∈G，G 非空。由定理2 知，式（1）有唯一的不變測度φ（·），由文獻(xiàn)[18]中定理3.2.6 可知，φ（·）是遍歷的，且由文獻(xiàn)[31]中定理3.4.3 可知，φ（·）是強(qiáng)混合的。因此，由式（16）知，對任意的H∈G，有

假設(shè)P=（λ1，λ2，λ3）T是下列方程

注式（1）中，當(dāng)γ（·）=0 且τ=0 時，令N=（r1-由定理3 知，OHE 為為

4 結(jié)果與分析

令r1=1.6，r2=-0.21，r3=-0.01，A=τ=，A11=4.021，A12=-1.883，A13=-0.069，Δ2=1.267，Δ3=0.471，是正定矩陣，0.001 1。

1）圖1表示白噪聲對種群最優(yōu)捕獲策略的影響。令γ=（-0.044 1，-0.044 1，-0.044 1）T，圖1中α 取值不同時，Y（H*）的平均漸進(jìn)值結(jié)果如下：當(dāng)α2/2=（0.03，0.09，0.03）T時，=（0.7404，0.3096，0.153）T，Y（）=0.701 5；當(dāng)α2/2=（0.03，0.1，0.03）T時=（0.741 4，0.3042，0.153）T，Y（）=0.7007；當(dāng)α2/2=（0.05，0.1，0.03）T時，=（0.732 4，0.298 1，0.150 8）T，Y（）=0.6826；當(dāng)α2/2=（0.2，0.1，0.04）T時，=（0.664 8，0.252 6，0.129 3）T，Y（）=0.5546。

圖1 白噪聲對最優(yōu)捕獲策略的影響Fig.1 Effects of white noise on optimal harvesting strategy

2）圖2表示Lévy 跳噪聲對種群最優(yōu)捕獲策略的影響。令α2/2=（0.03，0.10，0.03）T，圖2中γ 取值不同時，Y（H*）的平均漸進(jìn)值結(jié)果如下：當(dāng)γ=（-0.044 1，-0.044 1，-0.044 1）T時=（0.741 4，0.304 2，0.153）T，Y（）=0.700 7；當(dāng)γ=（-0.0441，-0.0755，-0.0441）T時=（0.7416，0.3031，0.153）T，Y（）=0.700 5；當(dāng)γ=（-0.044 1，-0.642 3，-0.428 5）T時=（0.783 4，0.092 7，0.088 8）T，Y（）=0.683 8；當(dāng)γ=（-0.195 3，-0.044 0，-0.044 1）T時=（0.731 9，0.297 8，0.150 7）T，Y（）=0.681 7。

圖2 Lévy 跳噪聲對最優(yōu)捕獲策略的影響Fig.2 Effects of Lévy jump on MESY

5 結(jié)語

研究在Lévy 跳、白噪聲和時滯的擾動下，兩捕食者-單食餌的三種群模型的最優(yōu)捕獲問題。首先根據(jù)合理的假設(shè)和相關(guān)定理得出：①當(dāng)Γ1＞Γ2＞Γ3＞1時，物種在平均意義上可持續(xù)生存，且；②當(dāng)假設(shè)2 成立時，式（1）是依分布穩(wěn)定的；③種群的最優(yōu)捕獲努力量為最大持續(xù)產(chǎn)量為；④時滯對兩捕食者和食餌的最優(yōu)捕獲策略沒有影響，而種群的最優(yōu)捕獲努力量和最大持續(xù)產(chǎn)量會隨著白噪聲的增強(qiáng)而減少，隨著Lévy 跳強(qiáng)度的減小而減少。

文中研究了在3 種不同的環(huán)境擾動下關(guān)于兩個捕食者單食餌模型的最優(yōu)捕獲問題。關(guān)于種群模型的研究大多只考慮了一種或兩種環(huán)境干擾因素，為了更加真實地反映大自然中的種群問題，應(yīng)對同時在多種環(huán)境下具有連續(xù)時滯的種群模型的最優(yōu)捕獲問題進(jìn)行更加深入的研究。