干濕循環(huán)作用下基于Laplace分布的裂土應(yīng)變硬化損傷模型

周峙，張家銘，寧伏龍，羅易

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，湖北武漢，430074；2.地質(zhì)探測與評估教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430074）

裂土是一種弱膨脹和強(qiáng)收縮的黏性土，在安徽沿江壟崗地區(qū)廣泛發(fā)育。長期的濕度周期性變化導(dǎo)致該類特殊土裂隙叢生，在荷載作用下極易誘發(fā)工程問題[1-2]。為揭示裂土災(zāi)變力學(xué)機(jī)理，探究合適裂土的本構(gòu)關(guān)系，干濕循環(huán)作用的影響不可忽視。裂隙的萌生、發(fā)展本質(zhì)上是微裂隙、空洞、微孔隙等“天然缺陷”發(fā)生連續(xù)損傷的宏觀結(jié)果[3]。在損傷力學(xué)框架內(nèi)研究裂隙土體的本構(gòu)關(guān)系是適宜的。唐春安[4]將統(tǒng)計(jì)損傷理論引入了巖土工程的變形模擬，曹文貴等[5-7]遵循該思路開展了不同角度的研究工作，例如，研究損傷閾值對巖石變形過程影響[8]。巖石應(yīng)變硬化與軟化的轉(zhuǎn)變[9-10]，初始損傷對巖石力學(xué)變形的影響[11]，高溫?zé)釗p傷本構(gòu)模型[12-13]，不同強(qiáng)度準(zhǔn)則下的巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型[14-15]以及巖石硬化損傷流變模型[16]等。以上研究表明，統(tǒng)計(jì)損傷模型可以很好地模擬巖石材料的力學(xué)性能規(guī)律。受此啟發(fā)，學(xué)者們基于宏觀力學(xué)試驗(yàn)，采用統(tǒng)計(jì)損傷理論研究特殊性土體變形過程，發(fā)現(xiàn)諸如黃土[17]、風(fēng)積土[18]、高液限黏土[19]和凍土[20]等特殊性土的三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線均呈應(yīng)變硬化型。此外，盧再華等[21]基于室內(nèi)CT、核磁共振試驗(yàn)結(jié)果，研究了干濕循環(huán)對損傷變量和損傷演化規(guī)律的影響。但是，目前的研究仍然有以下幾方面需要值得關(guān)注：1）僅考慮荷載或環(huán)境單一因素對土體損傷狀態(tài)的影響。實(shí)質(zhì)上，裂土損傷的物理本質(zhì)是環(huán)境和外載作用下缺陷逐漸加劇的過程，因此本構(gòu)關(guān)系中應(yīng)同時(shí)考慮二者的作用。2）對于土體材料，多數(shù)學(xué)者采用具有峰值效應(yīng)的Weibull和Normal概率密度函數(shù)表征損傷演化方程，盡管Weibull 分布中的模型參數(shù)在一定范圍內(nèi)可以模擬巖土材料的軟化-硬化過程的轉(zhuǎn)變，但是多數(shù)土體變形模型研究中并未考慮初始損傷門檻值的影響。由于土體與巖體壓縮性不同，在圍壓的影響下會(huì)導(dǎo)致土體固結(jié)，引起經(jīng)過干濕循環(huán)后的裂土出現(xiàn)“愈合效應(yīng)”，提高初始損傷門檻值，進(jìn)而影響?zhàn)ね猎谑芎沙跗诘木€彈性變化過程。為此，本文在統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)框架內(nèi)，針對裂土應(yīng)變硬化特性，嘗試假定裂土微元強(qiáng)度服Laplace 分布，同時(shí)考慮初始損傷門檻影響，引入雙損傷變量分別描述裂土干濕循環(huán)開裂和荷載作用下?lián)p傷演化規(guī)律。通過與不同循環(huán)次數(shù)和圍壓下的裂土三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證模型的合理性與適用性。

1 干濕循環(huán)與荷載作用下裂土應(yīng)變硬化特點(diǎn)及模型

圖1所示為含初始損傷的裂土應(yīng)變硬化模型曲線示意圖。由圖1可見：對于應(yīng)變硬化的裂土，加荷初期（OM 段）應(yīng)變變化較緩，隨著應(yīng)力增加，達(dá)到轉(zhuǎn)折點(diǎn)M 后，應(yīng)變變化增快，彈性模量逐漸降低（MN 段）。因此，轉(zhuǎn)折點(diǎn)M 可以認(rèn)為是初始損傷門檻，即初始損傷點(diǎn)，對應(yīng)的偏應(yīng)力qc0和軸向應(yīng)變εc0為初始損傷閾值。f0（ε）為未達(dá)到初始損傷門檻值的軸向應(yīng)力-應(yīng)變函數(shù)，f1（ε）為超過初始損傷門檻值的應(yīng)力-應(yīng)變函數(shù)，f1'（εc0）為f1（ε）在初始損傷門檻εc0的導(dǎo)數(shù)。

圖1 含初始損傷的裂土應(yīng)變硬化模型曲線Fig.1 Curve of strain hardening model with initial damage

圖2 所示為圍壓對初始損傷門檻的影響示意圖，其中，E0為初始狀態(tài)彈性模量，EN為N次干濕循環(huán)狀態(tài)下的彈性模量，ENd為N 次干濕循環(huán)狀態(tài)下和荷載水平作用下的彈性模量，qN，c0為第N次循環(huán)后試樣的初始損傷應(yīng)力門檻值。由圖2可知：在干濕循環(huán)過程中，初始狀態(tài)彈性模量E0逐漸降低至N 次干濕循環(huán)狀態(tài)下的彈性模量EN。但是，隨著圍壓增加，脹縮裂隙發(fā)生“愈合效應(yīng)”，導(dǎo)致應(yīng)力水平作用下的ENd在（EN，E0）范圍內(nèi)變化，相應(yīng)初始損傷應(yīng)力門檻值也在N次循環(huán)狀態(tài)和初始無損狀態(tài)（qN，c0，qc0）之間變化。在干濕循環(huán)作用和荷載水平作用下，應(yīng)力未達(dá)到相應(yīng)損傷門檻值前，土體仍然被假定為線彈性體，當(dāng)應(yīng)力超過初始損傷閾值后，土體開始逐漸屈服，損傷不斷擴(kuò)展演化直至土體破壞。

圖2 圍壓對初始損傷門檻的影響示意圖Fig.2 Schematic diagram of the influence of confining pressure on initial damage threshold

因此，基于上述裂土應(yīng)變硬化特點(diǎn)，干濕循環(huán)與圍壓作用下且同時(shí)考慮初始損傷門檻值影響的裂土應(yīng)變硬化損傷模型可由分段函數(shù)表示：

式中：偏應(yīng)力q = σ1- σ3，σ1和σ3分別為最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力；qc0為初始損傷應(yīng)力門檻值。

2 損傷演化方程和本構(gòu)模型建立

2.1 損傷變量的確定

分別定義干濕循環(huán)作用下?lián)p傷變量DN和荷載作用下?lián)p傷變量為DNd。DN表示N 次干濕循環(huán)后，裂土因干濕循環(huán)造成的損傷，可以采用初始彈性模量的折減進(jìn)行表征。

受荷時(shí)，裂土微單元體應(yīng)力水平超過一定強(qiáng)度時(shí)，單元產(chǎn)生新的破裂，定義荷載作用下的損傷變量DNd表示為N次循環(huán)后的破壞微元數(shù)Sf與總微元數(shù)S的比值，即

若總微元數(shù)S 足夠大時(shí)，可采用Laplace 分布表示DNd。因此，假設(shè)經(jīng)歷干濕循環(huán)作用后的微元體的概率密度函數(shù)P（F）為

式中：F為隨機(jī)分布變量，表示微元強(qiáng)度；m0和T0為Laplace 分布參數(shù)，分別反映不同干濕循環(huán)后試樣的平均微元強(qiáng)度和彈性模量的變化。

微元強(qiáng)度FNd在一定強(qiáng)度范圍即[FNd，F(xiàn)Nd+dFNd]內(nèi)，微元體間發(fā)生斷裂形成損傷，在這一過程中損傷的微元數(shù)目為S。

因此，式（3）可表示為

2.2 損傷演化方程的確定

LEMAITRE[22]認(rèn)為，對于受損彈脆性材料，在真實(shí)應(yīng)變ε作用下，受損狀態(tài)下的應(yīng)力等效于有效應(yīng)變作用下虛擬的無損狀態(tài)的應(yīng)力，即

式中：E和E*分別為無損材料與受損材料的材料特征模量；σ為作用于含損傷材料的有效應(yīng)力；σ*為作用于無損材料的等效應(yīng)力；D為損傷變量。采用張全勝等[23]推廣應(yīng)變等價(jià)原理，對于基準(zhǔn)狀態(tài)（初始未損傷）、干濕循環(huán)狀態(tài)，有：

式中：A0為初始狀態(tài)微元材料承載有效面積；AN為干濕循環(huán)狀態(tài)微元材料承載有效面積；σ0為初始未損傷時(shí)微元材料承載有效應(yīng)力；σN為干濕循環(huán)N次后的微元材料承載有效應(yīng)力。

聯(lián)立式（7）~（9）可知：

式（11）即為干濕循環(huán)后的統(tǒng)計(jì)損傷模型，當(dāng)在圍壓作用下，若裂隙完全閉合，認(rèn)為土體達(dá)到未損傷狀態(tài)，即DN= 0。

同樣，以干濕循環(huán)后的試樣為基準(zhǔn)狀態(tài)，再次對干濕循環(huán)荷載作用的試樣采用應(yīng)變等效原則，

式中：ANd為干濕循環(huán)N 次后，荷載作用狀態(tài)的微元材料承載有效面積；σNd為干濕循環(huán)N 次后，荷載作用狀態(tài)的微元材料承載有效應(yīng)力。則有

式中：εNd為干濕循環(huán)N 次后，荷載作用狀態(tài)的微元材料應(yīng)變，式（13）即為干濕循環(huán)后荷載作用下的統(tǒng)計(jì)損傷模型。

聯(lián)立式（10）和（13）可知：

其中，Dtotal= DNd+ DN- DNDNd，表示干濕循環(huán)后試樣在荷載作用下的總損傷變量。

將式（2），（6）和（13）代入式（14）可知，干濕循環(huán)和荷載作用下，同時(shí)考慮初始損傷門檻值的影響的總損傷演化方程為

式中：qN，c0為N 次干濕循環(huán)后的初始損傷應(yīng)力門檻值。

由式（15）可知，當(dāng)圍壓作用下，若裂隙完全閉合時(shí)，EN= E0，總損傷演化方程退化為僅為荷載作用下的損傷方程。

2.3 本構(gòu)模型的確定

將式（15）代入式（7），根據(jù)廣義虎克定律，N次干濕循環(huán)后的土體在荷載作用下，同時(shí)考慮初始損傷門檻值的影響時(shí)，裂土的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)方程為

式中：（i，j，k）分別為（1，2，3）或（2，3，1）或（3，1，2）；v為泊松比；σi，σj和σk為主應(yīng)力；εi，εj和εk為主應(yīng)變。

2.4 干濕循環(huán)后微元強(qiáng)度FNd的確定

通過式（16）可知，要確定損傷變量Dtotal，必須求解出表征干濕循環(huán)后荷載水平下的微元強(qiáng)度FNd。因此，假定裂土在三向應(yīng)力狀態(tài)下，經(jīng)干濕循環(huán)后荷載水平下微觀破壞準(zhǔn)則可用有效應(yīng)力和土體材料參數(shù)表示：

式中：σe*為裂土微元體有效應(yīng)力；f （σe*）為微元體應(yīng)力函數(shù)。當(dāng)f （σe*）≥FNd時(shí)，干濕循環(huán)后應(yīng)力水平下微單元體發(fā)生破壞。根據(jù)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，

式中：c 和φ 分別為黏聚力與內(nèi)摩擦角；σ1*和σ3*分別為最大有效主應(yīng)力和最小等效主應(yīng)力。假定微元強(qiáng)度FNd破壞服從Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，則有

將基準(zhǔn)狀態(tài)變?yōu)楦蓾裱h(huán)后的狀態(tài)，使D=DNd，由式（7）可知：

則

其中i=1，2，3，分別表示有效應(yīng)力的3 個(gè)主應(yīng)力分量，由廣義虎克定律可知：

在常規(guī)三軸狀態(tài)下，σ2=σ3，將式（21）代入式（22），可知干濕循環(huán)和荷載作用下的損傷變量為

聯(lián)立式（19），（21）和（23），可知干濕循環(huán)后荷載作用下的微元強(qiáng)度為

3 模型參數(shù)確定

本構(gòu)模型中，干濕循環(huán)后彈性模量EN、泊松比v、內(nèi)摩擦角φ 和軸向應(yīng)力與應(yīng)變均可通過常規(guī)三軸試驗(yàn)獲取。由于裂土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線為硬化型，并不存在峰值點(diǎn)，因此，采用線性擬合獲取統(tǒng)計(jì)損傷模型的參數(shù)。

聯(lián)立式（6）和（23），對函數(shù)兩邊分別取對數(shù)：

圖4所示為不同圍壓和循環(huán)次數(shù)的裂土本構(gòu)模型參數(shù)變化規(guī)律。由圖4（a）和4（c）可知：微元強(qiáng)度均值m0與循環(huán)次數(shù)呈反比，與圍壓呈正比；5次干濕循環(huán)后，微元平均強(qiáng)度m0降幅顯著，相比初始狀態(tài)降低39.7%~78.5%，說明干濕循環(huán)對微元強(qiáng)度有顯著影響，增大圍壓會(huì)導(dǎo)致平均強(qiáng)度m0增加。由圖4（b）和4（d）可知：反映試樣的彈性模量變化趨勢的T0也表現(xiàn)出與微元平均強(qiáng)度變化的相似規(guī)律，5次干濕循環(huán)后，T0相比未循環(huán)試樣降低53.51%。

圖3 不同干濕循環(huán)次數(shù)下模型參數(shù)擬合圖Fig.3 Fitting diagram of model parameters under different dry-wet cycles

圖4 不同圍壓和循環(huán)次數(shù)的裂土本構(gòu)模型參數(shù)變化規(guī)律Fig.4 Variation of parameters of the constitutive model of cracked soil with different confining pressures and cycles

4 討論與驗(yàn)證

研究試樣取自安徽池州長江公路大橋接線某邊坡，裂土試樣縮限為8.2%，飽和含水率為36%，天然干密度為1.59 g/cm3，相對密度為2.71。采用西安康拓力儀器設(shè)備有限公司研制的三軸試驗(yàn)系統(tǒng)，對初始試樣經(jīng)歷5，8和12次循環(huán)的共計(jì)48個(gè)試樣，分別進(jìn)行100，150，200 和300 kPa 圍壓下的固結(jié)不排水剪切平行試驗(yàn)（CU），設(shè)置破壞軸向應(yīng)變?yōu)?5%，控制剪切速率為0.075 mm/min，采用60 s間隔自動(dòng)計(jì)數(shù)，軸向應(yīng)變1%時(shí)刻所對應(yīng)的偏應(yīng)力增量與軸向應(yīng)變增量的比值作為本次研究的初始彈性模量E0。

4.1 圍壓與干濕循環(huán)次數(shù)對初始損傷應(yīng)力門檻值的影響

根據(jù)試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，參考文獻(xiàn)[7]，對應(yīng)力應(yīng)變曲線中偏應(yīng)力取對數(shù)，并繪制ln（σ1- σ3）與ε1相關(guān)圖。限于篇幅，僅列出圍壓為300 kPa時(shí)的初始損傷應(yīng)力門檻值隨干濕循環(huán)次數(shù)變化圖，如圖5所示，圖5中的拐點(diǎn)值即為損傷應(yīng)力初始門檻值。由圖5可知：在相同圍壓下（300 kPa），隨著干濕循環(huán)次數(shù)增加，初始損傷應(yīng)力門檻值逐漸左移遞減。相比未循環(huán)時(shí)試樣，5，8 和12 次循環(huán)后試樣的初始損傷應(yīng)力門檻值分別降低37.77%，45.67%和57.43%。

圖6所示為初始損傷應(yīng)力門檻值隨干濕循環(huán)次數(shù)變化，由圖6可知：隨著圍壓增加，初始損傷應(yīng)力門檻值總體呈增大趨勢。以12 次循環(huán)后的試樣為例，300 kPa 應(yīng)力水平下的試樣初始損傷應(yīng)力門檻值比100 kPa應(yīng)力水平下高74.27 kPa，表明圍壓對干濕循環(huán)階段產(chǎn)生的裂隙有壓密作用，導(dǎo)致干濕循環(huán)造成的損傷程度降低。值得注意的是，在前8次循環(huán)的過程中，由于裂隙發(fā)育隨機(jī)性，導(dǎo)致圍壓200 kPa時(shí)的初始損傷應(yīng)力門檻值略小于圍壓150 kPa初始損傷應(yīng)力門檻值。

圖5 不同干濕循環(huán)的初始損傷應(yīng)力門檻值（圍壓σ3=300 kPa）Fig.5 Initial damage stress threshold values of different dry-wet cycles（σ3=300 kPa）

圖6 初始損傷應(yīng)力門檻值隨干濕循環(huán)次數(shù)變化Fig.6 Threshold value of initial damage stress varies with dry-wet cycles

4.2 模型與試驗(yàn)曲線驗(yàn)證

圖7 不同干濕循環(huán)次數(shù)的三軸試驗(yàn)與理論曲線圖的對比Fig.7 Comparison between the triaxial test curves and the theoretical curves of different wet-dry cycles

將模型參數(shù)代入式（16）可獲得干濕循環(huán)和荷載作用下考慮損傷門檻值的裂土應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線，將其與試驗(yàn)曲線進(jìn)行對比驗(yàn)證，如圖7 所示。對比圖7（a）和7（d）可知：在較低圍壓下，經(jīng)歷5~12次干濕循環(huán)后的裂土試樣全應(yīng)力-應(yīng)變曲線顯著低于未經(jīng)干濕循環(huán)的試樣全應(yīng)力-應(yīng)變曲線，破壞時(shí)的剪應(yīng)力顯著降低；隨著圍壓增加，線彈性階段變化的斜率逐漸變陡，初始損傷應(yīng)力門檻值逐漸提高，導(dǎo)致因干濕循環(huán)造成的試樣初始損傷逐漸減弱，引起干濕循環(huán)后試樣應(yīng)力-應(yīng)變曲線與初始狀態(tài)間的降幅縮小，因此，圍壓具有降低初始損傷的作用。

試驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果吻合度較高，理論結(jié)果可反映裂土在干濕循環(huán)和荷載作用下的強(qiáng)度和變形隨干濕循環(huán)次數(shù)和圍壓變化的整體趨勢，表明所提出裂土應(yīng)變硬化損傷模型能夠較充分地反映裂土在濕度交替環(huán)境和外載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程，且隨著圍壓逐漸增高，模型的符合程度越高。

值得注意的是，由圖7（a）和7（b）可知：對于初始狀態(tài)（0 次循環(huán)）的試樣在較低圍壓時(shí)（100 kPa 和150 kPa），模型的理論峰值應(yīng)力與實(shí)測峰值應(yīng)力略有偏差，達(dá)到14.14%~16.13%，其原因在于模型假設(shè)初始狀態(tài)是無損材料，未循環(huán)時(shí)不存在任何微裂隙、孔隙等天然缺陷，導(dǎo)致理論計(jì)算損傷應(yīng)力門檻值較試驗(yàn)值偏低。在實(shí)際過程中，完全無損材料是不存在的，試樣受天然缺陷壓密閉合影響，初始損傷門檻值提高，導(dǎo)致試驗(yàn)最大剪應(yīng)力高于理論剪應(yīng)力。但是，隨著圍壓的壓密裂隙作用，上述影響會(huì)逐漸降低，如圖7（c）和7（d）所示；隨著圍壓增加，初始狀態(tài)的試樣的理論峰值應(yīng)力與實(shí)測峰值應(yīng)力相對誤差縮小至2.29%~5.48%。

5 結(jié)論

1）本文所建立的本構(gòu)模型能充分反映干濕循環(huán)作用后裂土受荷時(shí)的應(yīng)變硬化特征，模擬裂土在干濕循環(huán)和圍壓共同作用下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。干濕循環(huán)次數(shù)愈多，圍壓愈高，模型吻合程度越高。

2）基于Laplace 分布的損傷演化規(guī)律能較好地反映裂土損傷規(guī)律，模型參數(shù)易獲取，且具有明確的物理意義。反映平均微元強(qiáng)度與彈性模量的Laplace 分布參數(shù)m0與T0均與圍壓呈正比，與干濕循環(huán)次數(shù)呈反比。

3）模型在低圍壓和低循環(huán)次數(shù)時(shí)忽略天然缺陷的壓密作用，導(dǎo)致理論初始應(yīng)力損傷門檻值偏小，圍壓的壓密裂隙作用或者干濕循環(huán)促使天然損傷擴(kuò)展至初始裂隙損傷，模型的吻合程度提高。