液驅(qū)并聯(lián)機構(gòu)多維力加載系統(tǒng)滑模解耦控制

趙勁松，孫鑫宇，董杰，王春發(fā)，徐嘉祥，王志鵬

（1.燕山大學(xué)河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室，河北秦皇島，066004；2.浙江大學(xué)流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江杭州，310027；3.燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北秦皇島，066004）

基于Stewart 平臺的液驅(qū)并聯(lián)機構(gòu)多維力加載系 統(tǒng) （electro-hydraulic multi-dimensional force loading system with parallel mechanism， EHMDLPM）具有自由度多、結(jié)構(gòu)緊湊、剛度大和承載能力強的優(yōu)點[1-2]，因此，它被廣泛應(yīng)用在機器人、數(shù)控機床、醫(yī)療器械以及航空航天機械等多個領(lǐng)域[3-4]。EH-MDLPM 各通道間存在耦合力干擾，傳統(tǒng)控制方法難以滿足其動態(tài)性能和加載精度要求[5-6]，因此，針對上述問題，研究相應(yīng)的控制方法具有重要意義。

針對飛行模擬器操縱負荷力加載控制系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象，王輝等[7]采用前饋補償和PID 反饋調(diào)節(jié)相結(jié)合的復(fù)合控制算法提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，但力加載跟蹤仍存在約8%的相對誤差；王博等[8]采用PID控制及動壓反饋控制將正交并聯(lián)六自由度力控系統(tǒng)加載誤差降低到1%，然而，該系統(tǒng)存在嚴重輸出力耦合現(xiàn)象；UKIDVE等[9]假設(shè)雅可比矩陣恒定不變，利用此性質(zhì)設(shè)計出具有容錯能力的并聯(lián)機構(gòu)，提高其運動精度且實現(xiàn)工作范圍局部解耦；YANG 等[10]利用3 個RPRS 支腿支撐運動平臺，其他支腿關(guān)節(jié)軸垂直基面且相互平行，實現(xiàn)并聯(lián)機構(gòu)工作范圍全域解耦，但該機構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且搭建困難；趙春紅等[11]提出二階滑?？刂破?，抑制外界波形干擾，提高驅(qū)動液壓缸活塞運動軌跡的輸出精度與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；張達等[12]提出自適應(yīng)滑模控制器，有效估計并克服3-UPS/PU 并聯(lián)機構(gòu)關(guān)節(jié)摩擦干擾，消除驅(qū)動的抖振現(xiàn)象，提高系統(tǒng)控制精度與動態(tài)品質(zhì)；劉希等[13]提出自適應(yīng)反演滑模控制器，實現(xiàn)并聯(lián)運動平臺支鏈電液伺服運動快速、穩(wěn)定和高精度位置控制，且對系統(tǒng)的外加干擾具有很強的魯棒性；黃道敏等[14]提出分數(shù)階積分滑模控制器，提高六自由度水下機械手系統(tǒng)收斂的快速性與抗干擾能力?？紤]到并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)固有屬性、柔性負載引起的耦合影響和力控系統(tǒng)解耦的復(fù)雜性，將滑?？刂朴糜贓H-MDLPM中進一步研究。

本研究以降低EH-MDLPM 耦合力為目的，建立其模型，分析其耦合機理，并采用改進的滑?？刂破魈岣呦到y(tǒng)控制性能。基于Lyapunov 定理分析該控制方法的穩(wěn)定性。通過實驗，驗證改進滑模控制方法在參數(shù)時變系統(tǒng)中的有效性，為EHMDLPM解耦提供了一種有效控制方法。

1 系統(tǒng)建模

圖1 所示為Stewart 平臺結(jié)構(gòu)簡圖。由圖1 可見：多維力加載系統(tǒng)采用Stewart平臺為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，上平臺通過胡克鉸，活塞桿以及液壓缸筒連接下平臺。以上平臺中心為坐標(biāo)原點，建立與上平臺固連的動坐標(biāo)系OP- XPYPZP，當(dāng)上平臺至運動中心位置時，動坐標(biāo)系重合于慣性坐標(biāo)系O-XYZ，Ai為第i 個上鉸點在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量，Bi為第i個下鉸點在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量。工作時，活塞桿伸縮，輸出力和位移，通過胡克鉸將力和位移傳遞到上平臺，實現(xiàn)上平臺廣義空間六自由度力加載。

1.1 動力學(xué)建模

EH-MDLPM動力學(xué)建模如下[15]。

Stewart平臺的運動學(xué)反解矩陣方程為

式中：l 為6 個液壓缸的位置矩陣；A 為上平臺各鉸點在動坐標(biāo)系下的位置矩陣；B為下平臺各鉸點在慣性坐標(biāo)系下的位置矩陣；C為上平臺中心在慣性坐標(biāo)系下的位置矩陣；R為動坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

工作空間中EH-MDLPM動力學(xué)模型為

式中：Mq（q）為自由度空間廣義質(zhì)量矩陣；Gq（q）為自由度空間重力項矩陣；Kq為彈性負載在工作空間的剛度矩陣；q 為上平臺的廣義位移；為上平臺的廣義加速度；J為廣義速度與缸伸縮速度的雅可比矩陣；Fa為各支腿輸出的力矢量。

關(guān)節(jié)空間中EH-MDLPM動力學(xué)方程為

根據(jù)上述建模可建立多維力加載系統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)框圖，如圖2所示，表示各支腿液壓缸輸出力克服重力、彈性力及其慣性力從而產(chǎn)生位移。

圖2 多維力加載系統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)框圖Fig.2 Dynamic diagram of parallel mechanism of multi-dimensional loading system

1.2 液壓動力元件建模

EH-MDLPM 采用非對稱液壓缸作為執(zhí)行機構(gòu)進行力加載，閥控非對稱液壓缸原理圖如圖3 所示，圖3中p1為活塞桿無桿腔壓力；A1為活塞桿無桿腔面積；q1為活塞桿無桿腔流量；p2為活塞桿有桿腔壓力；A2為活塞桿有桿腔面積；q2為活塞桿有桿腔流量；ps為進油壓力；p0為出油壓力。

圖3 閥控非對稱液壓缸原理圖Fig.3 Schematic diagram of valve controlled asymmetric cylinder

液壓動力元件建模分為閥的流量方程、液壓缸流量方程以及力平衡方程[16]。

伺服閥流量方程為

式中：qL為負載流量；xv為伺服閥閥芯位移；pL為負載壓力；Kq為伺服閥的流量增益；Kc為伺服閥的流量-壓力系數(shù)。

非對稱液壓缸流量方程為

式中：Cta為系統(tǒng)泄漏系數(shù)；Ctc為油缸總泄漏系數(shù)；Vt為液壓缸有效容積；βe為液壓油體積彈性模量；p˙L為負載壓力變化率；xp為活塞桿位移；x˙p為活塞桿速度。

非對稱液壓缸負載力平衡方程為

式中：m 為負載與活塞桿折算到活塞上的總質(zhì)量；Bp為負載與活塞桿的黏性阻尼系數(shù)；FL為活塞桿上的外負載力；x¨p為活塞桿加速度。

對式（4）~（6）進行拉氏變換，得

根據(jù)式（7）建立單通道伺服閥控非對稱液壓缸的方框圖，如圖4 所示，圖4中，Kce為總流量-壓力系數(shù)，其中，Kce=Ctc+Kc。由圖4可見：空載流量部分用于活塞運動消耗，剩余的流量在壓縮和泄漏的作用下產(chǎn)生負載壓力，進而作用于活塞面積上，驅(qū)動外部負載。

圖4 閥控非對稱液壓缸方框圖Fig.4 Block scheme of valve control asymmetric hydraulic cylinder

1.3 系統(tǒng)整體建模

EH-MDLPM 上平臺與伺服閥控非對稱液壓缸活塞桿可視為剛性連接，并且Ml和Gl中分別包括上平臺與活塞桿映射至關(guān)節(jié)空間中的質(zhì)量項與重力項，因此，力平衡方程可重新寫為

高頻響伺服閥在0.5 Hz 以內(nèi)的低頻段工作時，控制信號與伺服閥閥芯位移的傳遞關(guān)系可視為比例環(huán)節(jié)，表示為

式中：u 為伺服閥驅(qū)動電信號；Ka為伺服閥放大系數(shù)。

由式（8）可知：6套閥控非對稱液壓缸的輸出力組成的力矢量即為EH-MDLPM動力學(xué)模型的輸入力矢量。因此，結(jié)合圖2 和圖4，即可得到EHMDLPM在關(guān)節(jié)空間中的整體力控模型，如圖5所示，其中6個通道采用規(guī)格型號相同的伺服閥與非對稱液壓缸，具有相等的性能參數(shù)，被視為常數(shù)項的CtaPs與干擾項的Gl（l）沒有加入方框圖中。

2 系統(tǒng)耦合分析

根據(jù)式（7）可以得到閥控非對稱液壓缸輸出力為

式中：I為單位矩陣。

結(jié)合式（8）~（10）可得，在各位姿下閥控非對稱液壓缸輸出力Fa為

式中：G1（s）為驅(qū)動信號到閥控非對稱液壓缸輸出力的傳遞函數(shù)。

由式（11）可知：映射至關(guān)節(jié)空間的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為非對角陣，在進行多維力加載過程中第i 通道的控制信號會影響第j（ j ≠i）通道的輸出力，因此，EH-MDLPM存在動力學(xué)耦合。

結(jié)合關(guān)節(jié)空間單通道力閉環(huán)P控制，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

式中：Kp為控制器矩陣；Fd為各支腿指令的力矢量。

圖5 液驅(qū)并聯(lián)機構(gòu)多維力加載系統(tǒng)模型Fig.5 Model of electro-hydraulic multi-dimensional force loading system with parallel mechanism

由式（12）可知，Ml與Kl均不是對角陣，在自由度空間中，由輸出力Fa到輸入指令Fd的傳遞函數(shù)矩陣中系數(shù)項不是對角陣。因此，在進行多維力加載時，各通道之間存在嚴重的輸出力耦合現(xiàn)象[17]。

3 滑?？刂聘倪M及其穩(wěn)定性分析

3.1 名義模型計算

為了進行多維力加載系統(tǒng)的滑模控制器設(shè)計，首先需知其名義模型，名義模型所需的有關(guān)參數(shù)如表1所示。

EH-MDLPM 上平臺和閥控非對稱液壓缸映射至關(guān)節(jié)空間中的實際質(zhì)量矩陣與彈性負載映射至關(guān)節(jié)空間中的實際剛度矩陣不能準(zhǔn)確獲得，但EHMDLPM 各部分的方程形式是相同的。式（3）所表達的機理模型中實際質(zhì)量陣M1和實際剛度陣Kl與二者各自對應(yīng)的名義質(zhì)量陣M*l和名義剛度陣K*l并不相同，但其相應(yīng)的各元素數(shù)值大致接近，用M*l和K*l對系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子項補償，并作為滑模控制器設(shè)計的名義模型，從而降低設(shè)計難度，并起到濾波作用。因此，把系統(tǒng)Fa與v的傳遞函數(shù)簡化為

表1 多維力加載系統(tǒng)名義模型參數(shù)Table 1 Nominal model of multi-dimensional force loading system

式中：v 為整體模型（分子項補償前和補償后）驅(qū)動信號。式（13）可進一步簡化為

其中：M*l為上平臺和活塞桿映射至關(guān)節(jié)空間中的名義質(zhì)量矩陣；K*l為彈性負載映射至關(guān)節(jié)空間的名義剛度矩陣；K*ce為名義總流量-壓力系數(shù)；K*q為伺服閥的名義流量增益；Δ（Ml）為關(guān)節(jié)空間的實際質(zhì)量矩陣與名義質(zhì)量矩陣的誤差；Δ（Kl）為關(guān)節(jié)空間的實際剛度矩陣與名義剛度矩陣的誤差；Δδ 為實際矩陣取逆與矩陣誤差的乘積。

Δδ有界，假設(shè)Δδ ≤α，式中：α為常數(shù)矩陣。

定義

將式（16）代入式（14），式（14）可以重新寫為

根據(jù)式（17）進行滑?？刂破髟O(shè)計。與式（17）方程形式相似，加入分子項補償?shù)睦碚撃Ｐ蜑?/p>

其中，A3，A2，A1和A0分別為通過實驗得到的實際值。

EH-MDLPM 是三階單輸入單輸出的非線性系統(tǒng)，結(jié)合文獻[18-19]設(shè)計滑模控制器。第i個通道的滑模控制器設(shè)計過程如下所示。結(jié)合式（18），定義

式中：Anii（i = 0，1，2，3）為An的各對角元素。

3.2 控制器設(shè)計

第i個通道力跟蹤誤差ei為

式中：Fai為第i通道的輸出力矢量；Fdi為第i通道的指令力矢量。

定義第i個通道滑模面為

根據(jù)線性化反饋技術(shù)，結(jié)合所設(shè)計的名義模型和滑模面，第i個通道滑?？刂坡煽稍O(shè)計為

其中，

結(jié)合式（18），（20）和（26），第i 個通道滑?？刂坡蔀?/p>

式中：sgn（s0i）為第i個通道滑模面的符號函數(shù)。

由式（29）可知，增大切換增益ρi導(dǎo)致伺服閥電信號的抖振增大。

3.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式（21）可得

當(dāng)名義模型與實際模型的輸出力相等時，將式（29）和（30）代入式（17）可得到如下關(guān)系式：

將式（32）代入式（31），可得

其中：

令

由式（34）可知，ΔA3ii，ΔA2ii，ΔA1ii和ΔA0ii均為有界的建模誤差；Δvi為第i個通道滑模控制律的建模誤差，可得建模誤差Δχi（t）有界。由于輸出力的導(dǎo)數(shù)與輸出力頻率有關(guān)，因此，增大輸出力的頻率會導(dǎo)致Δχi（t）數(shù)值增大。

設(shè)Lyapunov函數(shù)為

結(jié)合式（36）和式（37）可得，Lyapunov 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為成立。

從改進的滑模控制穩(wěn)定性條件可知，當(dāng)切換增益ρi大于不確定邊界時，滑?？刂破鞯目刂坡蓈i可接近滑模面。當(dāng)vi沿滑模面移動時，si趨于0。此時，c1和c2越大，e越小，從而保證了動態(tài)力跟蹤精度。

EH-MDLPM 各力加載通道間存在耦合力，耦合力可以被視為是一種干擾[20]，由式（38）可以看出，滑?？刂茰p輕控制信號的抖動現(xiàn)象，降低干擾的影響，提高動態(tài)跟蹤性能。

4 實驗驗證

4.1 實驗方案

液驅(qū)并聯(lián)機構(gòu)多維力加載系統(tǒng)由機械結(jié)構(gòu)、液壓系統(tǒng)和控制系統(tǒng)3部分組成。機械結(jié)構(gòu)主體采用Stewart 平臺，選取伺服閥控非對稱缸驅(qū)動?？刂葡到y(tǒng)采用基于Matlab/xPC Target的快速原型控制技術(shù)，其組成如圖6所示，上位機和下位機分別采用PC 機與工控機。在上位機中采用MATLAB/Simulink 軟件搭建模型與編寫程序并編譯為C 語言，通過網(wǎng)線將上位機中編譯的代碼傳輸至下位機中運行。下位機裝有AD 和DA 板卡，位移傳感器、拉壓力傳感器與六維力傳感器采集的信號經(jīng)調(diào)理輸入到AD 板卡，DA 板卡輸出信號經(jīng)調(diào)理至伺服閥，形成閉環(huán)系統(tǒng)，且上位機實時監(jiān)控系統(tǒng)運行狀態(tài)。

4.2 實驗結(jié)果

4.2.1 PI控制

在PI 控制作用下，當(dāng)向Fx和Fy自由度力加載通道方向各輸入400 N/0.5 Hz的正弦力信號，向Fz自由度力加載通道方向輸入0 N的力信號，向Rx和Rz自由度力加載通道方向各輸入50 N·m/0.5 Hz 的正弦力矩信號，向Ry自由度力加載通道方向輸入0 N·m的力矩信號時，調(diào)整PI控制器參數(shù)，使力加載跟蹤性能達到最佳，此時，各自由度方向力加載通道的力加載跟蹤性能曲線如圖7所示。

由圖7可見：在PI控制作用下，其他自由度通道對Fz自由度力加載通道產(chǎn)生范圍為-192~251.8 N的耦合力，其他自由度通道對Ry自由度力加載通道產(chǎn)生范圍為-11.5~14.1 N·m的耦合力矩。Fx自由度力加載通道的力跟蹤曲線存在一定幅值衰減，Rx和Rz自由度力加載通道呈現(xiàn)較大的相位滯后，并且受到其他自由度通道對其產(chǎn)生的耦合力影響，導(dǎo)致Rx自由度力加載通道的力矩跟蹤范圍擴大到-71.8~63.3 N·m，Rz自由度力加載通道的力矩跟蹤范圍值擴大到-48.8~79.7 N·m。因此，EH-MDLPM各自由度存在嚴重的耦合力，并且在動態(tài)跟蹤過程中存在幅值衰減和相位滯后現(xiàn)象。

4.2.2 滑?？刂?/p>

在滑?？刂谱饔孟?，當(dāng)向Fx和Fy自由度力加載通道方向各輸入400 N/0.5 Hz的正弦力信號，向Fz自由度力加載通道方向輸入0 N的力信號，向Rx和Rz自由度力加載通道方向各輸入50 N·m/0.5 Hz的正弦力矩信號，向Ry自由度力加載通道方向輸入0 N·m的力矩信號時，調(diào)整滑?？刂破鲄?shù)，使力加載跟蹤性能達到最佳，此時，各自由度方向力加載通道的力加載跟蹤性能曲線如圖8所示。

由圖8可見：在滑模控制作用下，其他自由度通道對Fz自由度力加載通道產(chǎn)生范圍為-32.3~27.7 N的耦合力，其他自由度通道對Ry自由度力加載通道產(chǎn)生范圍為-3.8~4.9 N·m 的耦合力矩。與PI 控制器相比，F(xiàn)z自由度力加載通道的耦合力范圍縮小86.5%，Ry自由度力加載通道的耦合力矩范圍縮小66%，F(xiàn)x自由度力加載通道的力跟蹤曲線幅值衰減得到改善，F(xiàn)y自由度力加載通道的動態(tài)跟蹤性能得到提高，Rx和Rz自由度加載通道的力矩跟蹤曲線相位滯后得到改善，受到其他自由度通道對其產(chǎn)生的耦合力影響減小。

通過以上多維力加載實驗可知，在滑模控制器下EH-MDLPM的耦合力降低，耦合力干擾受到抑制，從而實現(xiàn)解耦，并且動態(tài)跟蹤性能得到提高。

圖6 實驗方案Fig.6 Experimental scheme

圖7 PI控制各自由度力加載通道跟蹤曲線Fig.7 Tracking curve of each force loading channel by PI control

圖8 滑模控制各力加載通道跟蹤曲線Fig.8 Tracking curve of each force loading channel by sliding mode control

5 結(jié)論

1）提出了一種改進的滑?？刂扑惴ǎ撍惴ㄓ行Ы档土讼到y(tǒng)參數(shù)時變與模型攝動對EHMDLPM控制精度的影響。

2）建立了機構(gòu)動力學(xué)模型，系統(tǒng)廣義質(zhì)量和廣義剛度為非對角陣是導(dǎo)致EH-MDLPM各通道間輸出力耦合的主要因素。

3）通過Lyapunov 理論分析了改進的滑?？刂平Y(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，與切換增益、機構(gòu)參數(shù)、液壓缸參數(shù)及伺服閥參數(shù)相關(guān)的穩(wěn)定條件，即ρi>|Δχ A3ii|。

4）與PI 控制相比，改進的滑?？刂岂詈狭p小了86.5%，耦合力矩減小了66%，提高了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度與輸出精度。