基于三質(zhì)點(diǎn)模型的仿人機(jī)器人節(jié)能步行

何杰，張曉暉，肖曉暉，丁加濤

（武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，湖北武漢，430072）

仿人機(jī)器人具有人類(lèi)的外觀特征以及良好的環(huán)境適應(yīng)性，在家庭服務(wù)、搶險(xiǎn)救災(zāi)和野外探測(cè)等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外在仿人機(jī)器人樣機(jī)研制[1]、步態(tài)規(guī)劃[2-3]和步行控制[4-5]等方面取得了一定的研究成果。但是，為滿(mǎn)足實(shí)際應(yīng)用需求，需進(jìn)一步降低步行過(guò)程中的能量消耗。被動(dòng)步行和欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人在節(jié)能行走方面有一定的優(yōu)勢(shì)[6-7]，但是被動(dòng)步行的地形適應(yīng)能力差，只能實(shí)現(xiàn)下坡或者平地行走；而欠驅(qū)動(dòng)步行機(jī)器人需要特殊的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)并依賴(lài)復(fù)雜的步行控制策略。為此，本文針對(duì)全驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，研究低能耗的步態(tài)生成與優(yōu)化策略。給定目標(biāo)行走距離，傳統(tǒng)的能耗優(yōu)化方法首先使用能耗評(píng)價(jià)函數(shù)估算初始步行參數(shù)（包括步長(zhǎng)、步寬等）下所需能耗，然后，沿著降低系統(tǒng)總能耗的梯度方向更新步行參數(shù)以實(shí)現(xiàn)節(jié)能行走。事實(shí)上，總步行能耗取決于每個(gè)步行周期的單位能耗（unit energy cost，UEC）[8]。

為評(píng)估UEC，首先需要提出能耗評(píng)價(jià)指標(biāo)。一般來(lái)說(shuō)，可使用機(jī)器人的關(guān)節(jié)功率作為UEC 能耗評(píng)價(jià)函數(shù)。為計(jì)算關(guān)節(jié)功率，ZHANG 等[9-10]首先規(guī)劃出步態(tài)（包括質(zhì)心（center of mass，CoM）軌跡和擺動(dòng)腿軌跡），然后，從理論上分析期望的關(guān)節(jié)角速度和力矩。但是，該方法需要進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)迭代，耗時(shí)較長(zhǎng)。SHIN 等[11]建立電機(jī)電壓和電流與關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系模型來(lái)估計(jì)UEC，但是，建模過(guò)程比較繁雜。此外，關(guān)節(jié)功率本身難以直接指導(dǎo)機(jī)器人CoM 軌跡的生成。因此，一些研究者[12]利用動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，把集中質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)所需要的能量作為系統(tǒng)能耗。例如，基于線(xiàn)性倒立擺模型（linear inverted pendulum model， LIPM），BRAND?O 等[13]把集中質(zhì)點(diǎn)跟蹤目標(biāo)CoM 軌跡所需要的能耗當(dāng)做UEC，從而實(shí)現(xiàn)能耗優(yōu)化，但是，該工作并沒(méi)有建立CoM運(yùn)動(dòng)與UEC之間的數(shù)學(xué)模型。針對(duì)步態(tài)生成，首先需要保證步行穩(wěn)定性。最常用且有效的做法是保證零力矩點(diǎn)（zero moment point，ZMP）始終在足部支撐多邊形內(nèi)部[14]。仿生學(xué)研究表明，人類(lèi)在步行過(guò)程中能通過(guò)移動(dòng)ZMP位置（在雙足支撐域內(nèi)）降低能耗[10]。基于此，研究者們提出不同形式的參考ZMP 軌跡以實(shí)現(xiàn)高效行走。SHIN 等[11]在單足支撐相（single support phase，SSP）使用零ZMP位移并限定雙足相（double support phase，DSP）期間CoM加速度為零，最終通過(guò)優(yōu)化可行域內(nèi)的ZMP 運(yùn)動(dòng)獲得較低能耗。此外，ERBATUR 等[15-16]等使用了直線(xiàn)形和三角函數(shù)形的ZMP參考軌跡。雖然以上工作都提高了能量效率，但是并沒(méi)能解釋利用ZMP 移動(dòng)能夠降低能耗的機(jī)理。在之前的工作中，針對(duì)LIPM模型，建模分析步行能耗，提出了以質(zhì)心加速度最小化為目標(biāo)的能耗評(píng)價(jià)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上證明了合理規(guī)劃參考ZMP 軌跡能有效降低步行能耗。但是以上工作都是基于單質(zhì)點(diǎn)模型，存在較大的模型誤差。當(dāng)腿部質(zhì)量比較大時(shí)，可能導(dǎo)致步態(tài)失穩(wěn)。由于未能考慮軀干質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)，容易導(dǎo)致較大的關(guān)節(jié)力矩并降低能量效率。為平衡計(jì)算復(fù)雜度和模型精度，研究者提出了三質(zhì)點(diǎn)線(xiàn)性倒立擺模型（three-mass linear inverted pendulum model，3MLIPM）[17-18]。雖然文獻(xiàn)[19]利用該模型研究了能耗規(guī)律，但與文獻(xiàn)[11]的研究類(lèi)似，該工作同樣沒(méi)能充分利用雙足支撐域。

因此，本文基于3MLIPM，研究高能效步態(tài)的生成與優(yōu)化。首先，研究3MLIPM 下機(jī)器人步行能耗模型，提出適合三質(zhì)點(diǎn)模型的能耗評(píng)價(jià)指標(biāo)；然后，引入等效ZMP 和等效自然頻率的概念，利用無(wú)約束控制方法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)CoM 軌跡的生成，比較不同形式的參考ZMP 軌跡對(duì)應(yīng)的單位能耗，揭示ZMP 運(yùn)動(dòng)與能耗之間的關(guān)系；最后，修正步態(tài)參數(shù)輸入，進(jìn)一步降低使用3MLIPM 時(shí)雙足步行的能量消耗。

1 雙足步行能耗建模

1.1 單位能耗步行周期-UEWC

為便于分析行走過(guò)程中的能量消耗，定義表征單位能耗的步態(tài)周期（walking cycle of unit energy cost，UEWC），如圖1所示。該周期由前半單足支撐相（pre-half SSP，SSPpre），過(guò)渡雙足支撐相（transitional DSP，DSPtr）和后半單足支撐相（post-half SSP，SSPpost）組成。

圖1 單位能耗步行周期Fig.1 Definition of UEWC

由圖1 可見(jiàn)：SSPpre從倒立擺中心經(jīng)過(guò)當(dāng)前支撐腿正上方位置開(kāi)始，一直持續(xù)到擺動(dòng)腿落地；DSPtr為雙足支撐階段；SSPpost從下一擺動(dòng)腿離地開(kāi)始，直到倒立擺中心運(yùn)動(dòng)到下一支撐腿正上方位置。

在重力和地面反力作用下，不考慮踝關(guān)節(jié)力矩輸入，可以推斷：在SSPpre階段，倒立擺中心做加速運(yùn)動(dòng)；在SSPpost階段，倒立擺中心做減速運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，不難控制倒立擺中心在DSPtr前半段加速而在后半段減速。因此，相對(duì)于局部坐標(biāo)（圖1中ΣL所示），可以得到

式中：t為時(shí)間；th為半周期時(shí)刻；γ˙b和γ¨b分別為倒立擺中心沿x 軸或y 軸的水平速度和加速度；T 為單個(gè)周期時(shí)間。

1.2 3MLIPM運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

LIPM 假設(shè)機(jī)器人全部質(zhì)量集中在質(zhì)心[12]。雖然有利于簡(jiǎn)化計(jì)算，但是該模型不能反映實(shí)際質(zhì)量分布對(duì)雙足步行的影響。而3MLIPM假設(shè)3個(gè)分布于軀干、左腿和右腿的集中質(zhì)量塊[17-18]。雙足步行三質(zhì)點(diǎn)線(xiàn)性倒立擺模型如圖2 所示。圖2 中，mB，msu和msw分別表示軀干、支撐腿和擺動(dòng)腿的質(zhì)量。

圖2 雙足步行三質(zhì)點(diǎn)線(xiàn)性倒立擺模型Fig.2 3MLIPM for bipedal walking

考慮機(jī)器人實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)心偏移，可計(jì)算三質(zhì)心位置如下（以SSPpre階段運(yùn)動(dòng)右腿支撐為例）：

式中：[xB，yB，zB]T，[xsu，ysu，zsu]T和[xsw，ysw，zsw]T分別為軀干、支撐腿和擺動(dòng)腿質(zhì)心位置；[xb，yb，zb]T和[xsf，ysf，zsf]T分別為髖部中心位置和擺動(dòng)足位置；[cxb，cyb]T，[cxu，cyu]T和[cxw，cyw]T分別為軀干、支撐腿和擺動(dòng)腿質(zhì)心水平偏移量；[czb，czu，czw]T分別為軀干高度偏移量、支撐腿質(zhì)心高度和擺動(dòng)腿質(zhì)心高度（3MLIPM 中假設(shè)各質(zhì)量塊的質(zhì)心高度為恒定值）；wh為髖關(guān)節(jié)到髖部中心的側(cè)向水平距離。

從式（2）可見(jiàn)：在SSPpre階段，軀干和支撐腿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)只取決于髖部中心運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)腿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)由髖部中心運(yùn)動(dòng)和擺動(dòng)足部運(yùn)動(dòng)共同決定。此外，在SSPpost階段，也能得出同樣地結(jié)論。在DSPtr階段，三質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都只由髖部中心運(yùn)動(dòng)來(lái)決定。為簡(jiǎn)化篇幅，這里不進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。

1.3 3MPLIPM下步行能耗評(píng)估

由于3MLIPM 假設(shè)各質(zhì)點(diǎn)高度恒定，在不考慮地面摩擦導(dǎo)致額外能耗的情況下，步行過(guò)程中的能耗為推動(dòng)3 個(gè)質(zhì)量塊跟蹤期望的水平CoM 軌跡所需要的能量輸入。因此，UEC 的名義表達(dá)式如下：

式中：En為運(yùn)動(dòng)總耗能；EBn，Eswn和Esun分別為軀干、擺動(dòng)腿和支撐腿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)消耗的能量，γ˙B，γ˙sw和γ˙su分別為軀干、擺動(dòng)腿和支撐腿質(zhì)心水平速度，γ¨B，γ¨sw和γ¨su分別為軀干、擺動(dòng)腿和支撐腿質(zhì)心水平加速度。

1.3.1 軀干質(zhì)量塊名義單位能耗

假定水平質(zhì)心偏移量為恒定值的情況下，結(jié)合式（1）~（3），得出：

由于機(jī)器人上半身質(zhì)量一般遠(yuǎn)大于各腿部質(zhì)量，可以把髖部中心等效為上一節(jié)中倒立擺中心。由于倒立擺中心在[0，th]一直加速而在[th，T]一直減速，可作出如下推斷：

由此，式（4）可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

因此，使得EBn取最小值的條件是中間時(shí)刻髖部中心（倒立擺中心）速度最小。結(jié)合式（1）中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，可推斷出需要倒立擺中心在整個(gè)周期內(nèi)加速度最小。因此，本文提出如下能耗最優(yōu)指標(biāo)：

式中：J為單位周期內(nèi)的最優(yōu)能耗指標(biāo)。

1.3.2 支撐腿質(zhì)量塊名義單位能耗

以在UEWC 的初始時(shí)刻由左腿支撐為例，由圖1 的定義可知，在SSPpost期間，左腿將變成擺動(dòng)腿而右腿將轉(zhuǎn)變?yōu)橹瓮?。該部分所指的擺動(dòng)腿質(zhì)量塊，是從所處的運(yùn)動(dòng)階段來(lái)考慮的，并不是針對(duì)左腿或者右腿。由1.2節(jié)的分析可知，支撐腿質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只由髖部中心的運(yùn)動(dòng)決定。因此，在1個(gè)UEWC內(nèi)，Esun只取決于髖部中心運(yùn)動(dòng)：

同樣，式（7）是使Esun取最小值的條件。

1.3.3 擺動(dòng)腿質(zhì)量塊名義單位能耗

同支撐腿一樣，本文從運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的角度定義擺動(dòng)腿（跟左腿還是右腿無(wú)關(guān)）。以在UEWC的初始時(shí)刻由左腿支撐為例，在[0，tf]時(shí)間段內(nèi)，右腿為擺動(dòng)腿；在[tf，T]時(shí)間段內(nèi)，左腿為擺動(dòng)腿。但無(wú)論是左腿還是右腿，擺動(dòng)腿質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)都由式（2）決定，即由軀干中心和擺動(dòng)足部的運(yùn)動(dòng)共同決定。其中，在[ti，tf]內(nèi)，擺動(dòng)腿質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程的中xsf和ysf都為固定值，此時(shí)，擺動(dòng)腿質(zhì)心的速度和加速度都只由軀干中心的速度和加速度決定。

因此，針對(duì)擺動(dòng)腿質(zhì)量塊，結(jié)合式（2），Eswn由下式?jīng)Q定：

式中：γ˙sf和γ¨sf分別為擺動(dòng)足水平速度和加速度。

在冠狀面內(nèi)無(wú)側(cè)偏行走時(shí)，擺動(dòng)足側(cè)向速度和加速度都為0。因此，冠狀面運(yùn)動(dòng)需要的能耗只取決于倒立擺中心運(yùn)動(dòng)，能耗最優(yōu)指標(biāo)已經(jīng)由式（7）給出。

在矢狀面內(nèi)，根據(jù)圖1 定義，以向前行進(jìn)為例，擺動(dòng)足運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足如下約束：

同時(shí)，受冠狀面運(yùn)動(dòng)的啟發(fā)，要想獲得較小的能耗，期望擺動(dòng)足前向加速度為盡可能小。本文近似為0。由此，式（9）可以近似為：

考慮前向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，髖部中心和擺動(dòng)足速度一直不小于0。因此，式（11）取得最小值的必要條件是髖部中心加速度最小，即式（7）。

最終，本文以髖部中心全局加速度平方和最小作為能耗最優(yōu)指標(biāo)，即式（7）。雖然推導(dǎo)過(guò)程經(jīng)過(guò)大量簡(jiǎn)化，但是該目標(biāo)函數(shù)只是用做能耗評(píng)估而不是能耗精確計(jì)算，所以，這些簡(jiǎn)化是可以接受的。

2 質(zhì)心軌跡優(yōu)化

給定步行參數(shù)，如步長(zhǎng)、步寬和邁步周期等，擺動(dòng)足軌跡可以由多項(xiàng)式插值得出。為生成節(jié)能步態(tài)，該部分集中在CoM 軌跡的生成。為保證步行穩(wěn)定性，ZMP 軌跡應(yīng)保持在在雙足支撐區(qū)域以?xún)?nèi)，如圖3所示。

圖3 雙足步行足部支撐多邊形Fig.3 Foot support polygon of bipedal walking

由此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：給定參考ZMP 軌跡，求解最優(yōu)的CoM軌跡以獲得最小的單位能耗。

2.1 3MLIPM動(dòng)力學(xué)建模

使用3MLIPM模型，ZMP位移計(jì)算如下：

式中：pγ為ZMP 位移；px和py分別為沿x 軸（向前為正）和沿y 軸（向左為正）的ZMP 位置；mξ，γξ，zξ和z¨ξ分別為三質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、質(zhì)心水平位置、豎直高度和豎直方向加速度；g為重力加速度。

因此，給定參考ZMP 軌跡和擺動(dòng)足軌跡，倒立擺中心軌跡可以由式（2）和式（12）決定。由于線(xiàn)性倒立擺模型中假定固定的高度，式（12）可以整理為

式中：peqγ為等效ZMP 軌跡，ωeq為等效自然頻率，計(jì)算如下：

式中：mL為腿部質(zhì)量（mL=msu=msw）；mc為機(jī)器人總質(zhì)量（mc=mB+msu+msw）；ex，ey和ez計(jì)算如下：

如果假設(shè)msu=msw=0，式（13）~（15）的結(jié)果將與文獻(xiàn)[12]計(jì)算結(jié)果一致。

2.2 質(zhì)心軌跡生成

給定參考的ZMP 軌跡，對(duì)應(yīng)最小能耗的CoM軌跡應(yīng)該滿(mǎn)足式（7）提出的目標(biāo)函數(shù)。在文獻(xiàn)[8]中，通過(guò)改進(jìn)文獻(xiàn)[20]中的無(wú)約束優(yōu)化方法，提出了能跟蹤多種參考ZMP軌跡的CoM軌跡求解算法，并在LIPM 模型中得到了應(yīng)用。本文中，由于在式（13）中引用了等效ZMP 和等效自然頻率，仍然可以采用這種方法來(lái)求解3MLIPM 下最優(yōu)的質(zhì)心軌跡。

2.2.1 問(wèn)題描述

參考文獻(xiàn)[21]，定義質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定成分（γu）和穩(wěn)定成分（γs）如下：

利用式（13），可以推導(dǎo)各分量的動(dòng)力學(xué)模型：

跟蹤參考的ZMP軌跡（pdγ），存在如下特解：

定義各運(yùn)動(dòng)分量的誤差項(xiàng)如下：

由此，CoM軌跡可以通過(guò)下式?jīng)Q定：

2.2.2 求解推導(dǎo)

根據(jù)UEWC 定義，CoM 軌跡被分為3 段。為縮短篇幅，只討論在SSPpre階段質(zhì)心軌跡的生成。其他具體推導(dǎo)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

結(jié)合式（17）和（19），各分量誤差求解如下：

因此，給定SSPpre終止時(shí)刻穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)分量的邊界條件es（ti）≡0，式（20）中CoM軌跡計(jì)算如下：

考慮式（13），該階段的質(zhì)心加速度求解如下：

不失普遍性，使用多項(xiàng)式型ZMP 參考軌跡，表達(dá)形式如下：

式中：αi為多項(xiàng)式系數(shù)。

在文獻(xiàn)[8]中，發(fā)現(xiàn)拋物線(xiàn)形ZMP軌跡（n=2）能充分地利用步行穩(wěn)定支撐域并且能夠簡(jiǎn)化計(jì)算。因此，本文也采用2次型函數(shù)。有

最終，可以計(jì)算式（7）所示的目標(biāo)函數(shù)如下：

其中：W1，H1和Δpre分別為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，λ1= 1- e-2ωeqti，λ2= 1- e-ωeqti。

為便于表達(dá)， 引入以下變量： Ψ =[γu（ti），γs（tf）]T和Fpre=[γ*u（ti），γ*s（tf）]T，則式（26）可以寫(xiě)成：

式中：Wpre和Hpre分別為海森（Hessian）矩陣和一次項(xiàng)系數(shù)矩陣。

類(lèi)似地，在SSPpost階段，可以推導(dǎo)出：

式中：Wpost，Hpost和Δpost分別為對(duì)應(yīng)的海森（Hessian）矩陣，一次項(xiàng)系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)。具體推導(dǎo)過(guò)程可以見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

在DSPtr階段，可以推導(dǎo)出：

式中：Wtr，Htr和Δtr分別為對(duì)應(yīng)的海森（Hessian）矩陣，一次項(xiàng)系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)。

最終，式（7）中全局最優(yōu)指標(biāo)可以表達(dá)為

式中： W = Wpre+ Wtr+ Wpost， H = Hpre+ Htr+Hpost，Δ= Δpre+ Δtr+ Δpost。

最優(yōu)邊界條件求解為：

利用該邊界條件，可以求解出對(duì)應(yīng)最小UEC的質(zhì)心軌跡。

3 仿真與試驗(yàn)

3.1 數(shù)值仿真

利用Nao-H25 機(jī)器人模型，進(jìn)行步態(tài)生成和能耗評(píng)估的數(shù)值仿真。機(jī)器人樣機(jī)和對(duì)應(yīng)的三質(zhì)點(diǎn)模型如圖4 所示。機(jī)器人總高度為58 cm，總質(zhì)量為5.12 kg，每條腿各有5個(gè)自由度，行走過(guò)程中髖關(guān)節(jié)高310 mm。其他基本步行參數(shù)如表1所示。式（2）中軀干、支撐腿和擺動(dòng)腿質(zhì)心水平偏移量為0，軀干質(zhì)心高度偏移量也為0。默認(rèn)的步行周期為1.5 s，步長(zhǎng)（L）為60 mm，步寬（W）為100 mm，擺動(dòng)腿最大擺高為40 mm。

圖4 Nao機(jī)器人與三質(zhì)點(diǎn)模型Fig.4 Nao humanoid robot and three-mass model

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters setup for simulation

3.1.1 軌跡生成

為比較不同參考ZMP 軌跡對(duì)步態(tài)生成結(jié)果和能耗的影響，文獻(xiàn)[8]在3 種常見(jiàn)ZMP 參考軌跡的基礎(chǔ)上提出一種拋物線(xiàn)形軌跡。本文也使用這4種軌跡。以前向運(yùn)動(dòng)為例，這4 種參考軌跡分別為：ZMP 在單足相無(wú)位移且瞬間切換（ZMP-dot（無(wú)DSP）），有雙足支撐但ZMP 在單足相期間無(wú)位移（ZMP-dot），有雙足支撐且ZMP在單足相期間做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（ZMP-line），有雙足支撐且ZMP在單足相期間做拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（ZMP-parabola）。以步長(zhǎng)6 cm 為例，參考ZMP 軌跡如圖5（a）所示（雙足相占整個(gè)周期15%）。此外，行走過(guò)程中，擺動(dòng)腿水平軌跡通過(guò)2次多項(xiàng)式插值獲得。在有雙足支撐相和無(wú)雙足支撐相時(shí)，左足和右足的水平擺動(dòng)軌跡如圖5（b）所示。

從圖5（a）可見(jiàn)：利用足部穩(wěn)定支撐域，可以給出不同形式的ZMP 軌跡。本例中，在直線(xiàn)和拋物線(xiàn)形ZMP 參考軌跡中，在SSPpre和SSPpost階段，ZMP 分別移動(dòng)10 mm。跟蹤該參考軌跡，生成的軀干質(zhì)心位置、速度、加速度和等效ZMP 軌跡見(jiàn)圖6。

圖5 ZMP與足部運(yùn)動(dòng)參考軌跡Fig.5 Reference trajectories for ZMP movement and foot movement

結(jié)合圖6（a）（尤其是局放大圖）和圖6（b）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)使用這4 種參考ZMP 軌跡時(shí)，由于擺動(dòng)腿質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)，在UEWC 開(kāi)始階段，式（1）所假設(shè)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)關(guān)系不嚴(yán)格成立。此外，當(dāng)UEWC 臨近結(jié)束時(shí)，也出現(xiàn)同樣的現(xiàn)象。但是，進(jìn)一步分析圖6（a）和圖6（b），發(fā)現(xiàn)該階段只持續(xù)很短一段時(shí)間，并且這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)心加速度和速度都很小。因此，這一段的運(yùn)動(dòng)對(duì)總體能耗的影響有限。仍然可以認(rèn)為式（1）在整個(gè)UEWC內(nèi)成立。

觀察圖6（b）可發(fā)現(xiàn)：無(wú)論使用何種參考軌跡，在初始和終止時(shí)刻的軀干質(zhì)心速度都遠(yuǎn)小于中間時(shí)刻的軀干質(zhì)心速度。因此，式（5）的推論成立，可以認(rèn)為得到最優(yōu)指標(biāo)（7）的推導(dǎo)過(guò)程合理。

在一個(gè)UEWC 內(nèi)，各ZMP 參考軌跡下對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)值（Je）和名義單位能耗（En）見(jiàn)表2。作為對(duì)比，同樣使用圖5（a）所示的ZMP 參考軌跡，單質(zhì)點(diǎn)LIPM模型對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)值和名義單位能耗也一并列出。

圖6 不同參考ZMP軌跡下生成的質(zhì)心加速度，速度，位置和對(duì)應(yīng)的等效ZMP軌跡Fig.6 Generated CoM accelerations，velocities，positions and equivalent ZMP trajectories when using different ZMP trajectories

表2 不同ZMP參考下前向運(yùn)動(dòng)所需能耗Tab.2 Energy costs needed by forward motion when using different reference ZMP trajectories

從表2可見(jiàn)：無(wú)論是利用LIPM還是3MLIPM，系統(tǒng)名義能耗（En）都隨著ZMP可行域的充分利用而降低，并且拋物線(xiàn)形ZMP 軌跡所對(duì)應(yīng)的能量消耗最小。同樣地，相應(yīng)的能耗評(píng)價(jià)函數(shù)（Je）也逐漸減小，表明本文提出的基于質(zhì)心加速度優(yōu)化的能耗評(píng)價(jià)函數(shù)能反映步行系統(tǒng)實(shí)際能耗。

但是，從圖6（d）中看出，由于考慮了腿部質(zhì)量塊的擺動(dòng)，使用3MLIPM 時(shí)的等效ZMP 軌跡產(chǎn)生了明顯的附加運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致了額外的軀干質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（圖6（c））和額外的能量消耗。以同樣使用拋物線(xiàn)形ZMP 參考軌跡為例，3MLIPM 對(duì)應(yīng)的單位能耗En為4.00× 104，明顯大于LIPM 對(duì)應(yīng)的2.96×104。下文將修正3MLIPM 的邁步參數(shù)輸入，進(jìn)一步減少步行能耗。

3.1.2 不同模型總體能耗性能分析

綜合考慮矢狀面和冠狀面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，比較LIPM和3MLIPM時(shí)的單位步行總能耗。針對(duì)腿部質(zhì)量塊擺動(dòng)導(dǎo)致的軀干質(zhì)心附加運(yùn)動(dòng)，提出用于3MLIPM的修正算法以跟蹤目標(biāo)落腳點(diǎn)并降低能量消耗。

給定參考步長(zhǎng)、步寬、步行周期以及單足相期間ZMP的期望移動(dòng)距離，即可確定參考ZMP軌跡。上述分析發(fā)現(xiàn)，直接利用3MLIPM 時(shí)，等效的ZMP 軌跡產(chǎn)生了附加運(yùn)動(dòng)并且最終導(dǎo)致更多的能耗。由圖7 所示3MLIPM 對(duì)應(yīng)的等效ZMP 曲線(xiàn)可見(jiàn)：此等效軌跡對(duì)應(yīng)的等效步長(zhǎng)和步寬與期望步長(zhǎng)和步寬有較大的偏差（圖7中3個(gè)圓點(diǎn)代表期望落腳點(diǎn)）。因此，為實(shí)現(xiàn)預(yù)定的行走目標(biāo)（即跟蹤參考步長(zhǎng)和步寬）并降低所需的能量消耗，提出一種基于二分搜索的修正算法（稱(chēng)為3MLIPM-mod），用于校正名義步長(zhǎng)和步寬輸入。以步長(zhǎng)校正為例，校正算法流程可分為3步：

1）設(shè)定目標(biāo)步長(zhǎng)和0步長(zhǎng)為初始的步長(zhǎng)上邊界和下邊界，分別記為L(zhǎng)max和Lmin，使用式（14）計(jì)算等效ZMP 軌跡，并記錄2 條等效ZMP 軌跡終止時(shí)刻的位移分別為Pmax和Pmin；

2）取Lmax和Lmin的1/2作為新的步長(zhǎng)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的等效ZMP 軌跡，并按照二分法思想更新Pmax和Pmin以及Lmax和Lmin；

3）循環(huán)步驟2），直到Pmax與Pmin與目標(biāo)落腳點(diǎn)的誤差小于給定的邊界，以對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)作為校正后的步長(zhǎng)輸入。

以期望步長(zhǎng)為60 mm，步寬為100 mm 為例，經(jīng)校正后輸入步長(zhǎng)和步寬應(yīng)分別為58 mm 和78 mm。

最終，3種方法生成的等效ZMP軌跡對(duì)比如圖7（a）所示。觀察3MLIPM-mod 對(duì)應(yīng)的等效ZMP 曲線(xiàn)，基本實(shí)現(xiàn)以預(yù)定落腳點(diǎn)為中心的運(yùn)動(dòng)。生成的軀干質(zhì)心軌跡如圖7（b）所示（圓點(diǎn)為目標(biāo)落腳點(diǎn)位置）。其中“期望ZMP”表示LIPM 和3MLIPM的參考ZMP 軌跡。從圖7（b）可見(jiàn)：利用3MLIPMmod方法生成的質(zhì)心軌跡側(cè)向偏擺明顯減少。以2個(gè)UEWC 為例，3 種策略下名義能耗對(duì)比見(jiàn)圖8。顯然，經(jīng)過(guò)修正，3MLIPM-mod 獲得最佳的能耗表現(xiàn)。同時(shí)，利用拋物線(xiàn)形ZMP 參考軌跡，獲得了最小能耗。

3.2 樣機(jī)試驗(yàn)

3.2.1 試驗(yàn)環(huán)境設(shè)置

試驗(yàn)中，機(jī)器人行走過(guò)程中的能量消耗反映在各關(guān)節(jié)所消耗的電能上。在一定時(shí)間內(nèi)，機(jī)器人總能耗計(jì)算如下：

式中：N 為關(guān)節(jié)總數(shù)；Uj和Ij分別為各關(guān)節(jié)電機(jī)電壓和電流；T1和T2分別為步行的開(kāi)始和終止時(shí)間。

默認(rèn)的行走步長(zhǎng)為60 mm，步寬為100 mm，步行周期為1.5 s，雙足相占比為15%。機(jī)器人底層通訊頻率為100 Hz。試驗(yàn)過(guò)程中機(jī)器人行走總距離為500 mm。為了減輕軀干擺動(dòng)，采用PD 反饋控制器調(diào)整上半身姿態(tài)。為保證試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，每組步態(tài)分別進(jìn)行5次試驗(yàn)，將平均值作為最終結(jié)果。使用python 語(yǔ)言進(jìn)行編程，在主頻2.8 GHz 的單核CPU 上，每個(gè)控制循環(huán)（包括CoM軌跡生成和關(guān)節(jié)角度的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解）在2 ms內(nèi)完成，因此，本文提出的步態(tài)生成算法能夠滿(mǎn)足實(shí)時(shí)應(yīng)用需求。

3.2.2 試驗(yàn)結(jié)果

考慮機(jī)器人驅(qū)動(dòng)能力和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍限制，只使用帶有雙足相的參考ZMP 軌跡。此外，通過(guò)3.1 節(jié)的分析，使用3MLIPM-mod 策略以生成三質(zhì)點(diǎn)模型下的軀干質(zhì)心軌跡。同時(shí)，也進(jìn)行單質(zhì)點(diǎn)模型試驗(yàn)以作為對(duì)比。以使用拋物線(xiàn)形ZMP 參考軌跡為例，利用3MLIPM-mod 策略時(shí)機(jī)器人某次行走的實(shí)際ZMP和CoM軌跡如圖9所示（長(zhǎng)方形代表每個(gè)足部落腳區(qū)域）。從圖9 可見(jiàn)：雖然實(shí)際ZMP和CoM有比較大的晃動(dòng)，但是ZMP軌跡始終處在步行支撐域以?xún)?nèi)，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定行走。

圖9 拋物線(xiàn)形參考ZMP軌跡下參考軌跡與實(shí)際軌跡對(duì)比Fig.9 References and real trajectories of bipedal walking when using the parabolic ZMP reference

表3 所示為使用LIPM 和3MLIPM-mod 下機(jī)器人在使用不同參考ZMP 軌跡對(duì)應(yīng)的能量消耗。由表3可見(jiàn)：拋物線(xiàn)形參考軌跡可以更好地利用足部支撐域以實(shí)現(xiàn)節(jié)能行走。如利用LIPM和3MLIPMmod 時(shí)，拋物線(xiàn)形ZMP 對(duì)應(yīng)的能耗分別是固定ZMP軌跡時(shí)能耗的86.1%和85.8%。此外，在同一參考ZMP 軌跡下，3MLIPM-mod 所需的能耗都比LIPM的要小，因此，修正三質(zhì)點(diǎn)模型后，可以有效降低系統(tǒng)能耗。結(jié)合ZMP穩(wěn)定域的利用，最終，使用拋物線(xiàn)參考軌跡的三質(zhì)點(diǎn)模型比使用固定ZMP參考軌跡的單質(zhì)點(diǎn)模型節(jié)能16.4%。

表3 不同模型下機(jī)器人實(shí)際能耗Tab.3 Actual energy cost of bipedal walking when using different models

4 結(jié)論

1）面向三質(zhì)點(diǎn)模型，以集中質(zhì)量跟蹤目標(biāo)軌跡所需要的能量輸入作為系統(tǒng)能耗，提出了以加速度平方和最小為目標(biāo)的二次型能耗評(píng)估函數(shù)。該指標(biāo)能反映系統(tǒng)能耗，并且能夠直接指導(dǎo)質(zhì)心軌跡的生成。

2）基于二次型能耗評(píng)價(jià)函數(shù)，提出求解最優(yōu)質(zhì)心軌跡的無(wú)約束優(yōu)化算法，該算法能跟蹤不同形式的參考ZMP軌跡并能給出CoM解析解。試驗(yàn)表明該步態(tài)生成算法能滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性需求，生成的軌跡可行。

3）為消除腿部質(zhì)量擺動(dòng)對(duì)導(dǎo)致的軀干質(zhì)心的附加運(yùn)動(dòng)，使用基于二分搜索的修正算法，修正三質(zhì)點(diǎn)線(xiàn)性倒立擺的步行參數(shù)輸入。拋物線(xiàn)形參考軌跡能有效提高能量效率。修正后的三質(zhì)點(diǎn)模型也有助于降低能耗。