圓錐擺模型中雙球問題的探討

朱 挺

(江蘇省啟東中學(xué),江蘇 南通 226200)

圓錐擺模型是高中物理中常見的一類模型，是在一根質(zhì)量和伸長不計的細(xì)線下系一個可以視為質(zhì)點(diǎn)的擺球，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。擺球受豎直向下的重力和沿擺線方向的拉力作用，兩個力的合力提供了擺球做圓周運(yùn)動的向心力。

由基本的圓錐擺模型衍生出的雙球問題是該模型中較復(fù)雜的一類問題，需要針對擺線傾角和擺長的特點(diǎn)，結(jié)合受力規(guī)律進(jìn)行綜合分析。

1 等傾雙球問題

例1：如圖1所示,質(zhì)量相等的甲、乙兩個小球,沿光滑玻璃漏斗內(nèi)壁做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動,甲在乙的上方,則它們運(yùn)動的( )。

圖1

A. 向心力F甲>F乙

B. 線速度v甲>v乙

C. 角速度ω甲>ω乙

D. 向心加速度a甲>a乙

圖2

由于兩小球做圓錐擺運(yùn)動時“擺線”的傾角相等，所以小球的受力方向一致，向心加速度的大小相等，這是解決問題的關(guān)鍵，再運(yùn)用圓周運(yùn)動的向心力公式來求得線速度、角速度等。

2 等高雙球問題

例2：如圖3所示，兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛著小球,細(xì)線上端固定在同一點(diǎn),若兩個小球以相同的角速度繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,則兩個小球在運(yùn)動過程中的相對位置關(guān)系示意圖正確的是( )。

圖3

圖4

在等高問題中，由于角速度相等這一前提條件，雖然兩球的擺長和擺線的傾角不同，通過分離變量的方法，不難發(fā)現(xiàn)懸點(diǎn)到軌道平面等高的這一隱藏結(jié)果。

3 等長雙球問題

例3：內(nèi)壁光滑的半球形碗固定不動,其軸線垂直于水平面,兩個質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在如圖5所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,則( )。

圖5

A. 球A的線速度等于球B的線速度

B. 球A的角速度大于球B的角速度

C. 球A的向心加速度小于球B的向心加速度

D. 球A對碗壁的壓力等于球B對碗壁的壓力

圖6

本題中的兩球的運(yùn)動更具一般性，所以在處理問題時，還是從受力分析出發(fā)，在擺長相同的情況下，尋找相關(guān)物理量與傾角的關(guān)系，從而找到解決問題的突破口。

4 臨界雙球問題

例4：如圖7所示,半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上,轉(zhuǎn)臺繞過容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,質(zhì)量不同的小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜止,A、B和球心O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角分別為α和β,α>β，則( )。

圖7

A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量

B.A、B受到的摩擦力可能同時為零

C. 若A不受摩擦力,則B受沿容器壁向上的摩擦力

D. 若ω增大,A、B受到的摩擦力可能都增大

圖8

若繼續(xù)增加ω，則摩擦力方向?qū)聪?。在豎直方向上有：FNcosα+fsinα=mg；在水平方向上有：FNsinα+fcosα=mω2Rsinα，且f隨著ω的增加而增加，直至A與容器發(fā)生相對滑動。

讀者可以自行計算A與容器發(fā)生相對運(yùn)動的臨界角速度，可見本題答案與A、B的質(zhì)量無關(guān)，故選項A錯誤；由于傾角不同，A、B兩物體的臨界角速度不同，所以選項B錯誤；因?yàn)棣?β，所以當(dāng)A的臨界角速度大于B，A不受摩擦力時，B所受摩擦力沿容器壁向下，所以選項C錯誤；當(dāng)角速度大于A的臨界角速度時，則A、B摩擦力均沿容器壁向下，且隨著角速度的增加而增加，選項D正確。

本題從運(yùn)動小球受力分析出發(fā)，列出相關(guān)的方程，找到臨界點(diǎn)出現(xiàn)的規(guī)律，從而全面、直觀地分析整個運(yùn)動過程。

綜上所述，在圓錐擺模型中的雙球問題的處理上，我們應(yīng)該抓住問題的主要特征，從受力分析出發(fā)，建立相關(guān)物理量與擺角、擺長之間的聯(lián)系，找到解決問題的辦法。