理解教材、提升素養(yǎng)

鄭志剛

一、問題的提出

近日，筆者參加某校教學(xué)開放日活動，課題為蘇教版必修一§7.3.2《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》第一課時。評課時大家一致認(rèn)為：類比冪指對函數(shù)問題的研究內(nèi)容與研究方法，展開本節(jié)課的研究，關(guān)鍵是作出正余弦函數(shù)的圖象。當(dāng)然也有一些疑惑：（1）學(xué)生熟悉的是代數(shù)描點，為什么還要幾何描點，并且?guī)缀蚊椟c的方法前面沒學(xué)，之后也不再用，是否有必要講，如果要講怎么引入？（2）三角函數(shù)的性質(zhì)之前通過三角函數(shù)線已經(jīng)可以得出，這兒能不能不再描點而直接給出五點法作圖？再進(jìn)一步通過圖象觀察將性質(zhì)直觀寫出？

二、教學(xué)片段再現(xiàn)

片段A：

情境：三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用介紹;

問題1：你能說出正余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？

生：定義域、奇偶性、周期性。

問題2：要想全面了解函數(shù)的性質(zhì)，我們應(yīng)從哪個方面入手？

生：做出函數(shù)的圖象，用描點法，

師：函數(shù)的周期能給我們提示？

生：只需作出y=sinx在一個周期，即[0，2π]上圖象。

問題3：怎么準(zhǔn)確的描點（x0，sinx0）

師：借助三角函數(shù)線描點，教師展示幾何描點的過程與方法

反思：問題3的提出很突然，為什么要描點（x0，sinx0），描點為什么要借助三角函數(shù)線，沒有其他方法了嗎？教學(xué)設(shè)計的不自然將會導(dǎo)致學(xué)生分析問題解決問題的能力打折扣，時間長了就會陷入你講我記，你說我聽的局面，缺乏獨立思考。

片段B：

復(fù)習(xí)回顧：這節(jié)課研究三角函數(shù)的性質(zhì)，前面研究過嗎？

生：三角函數(shù)線與誘導(dǎo)公式可以得到函數(shù)的性質(zhì)

問題1：通過三角函數(shù)線和誘導(dǎo)公式可以得到正弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？如何得到？

生：觀察正弦線的變化，可以得到定義域、值域、單調(diào)性;由誘導(dǎo)公式可以得出正弦函數(shù)的奇偶性和周期性;（描述過程略）

問題2：你能作出函數(shù)的圖象嗎？

學(xué)生借助性質(zhì)作圖，教師展示并借助信息技術(shù)輔助作圖，師生共同分析得出五個關(guān)鍵點。

問題3：三角函數(shù)線與圖象都能得到函數(shù)的性質(zhì)，它們之間的關(guān)系是什么？

師生分析得出圖象上的點（x0，sinx0）對應(yīng)單位圓中的弧長與正弦線，教師介紹幾何描點的方法

反思：此種設(shè)計將性質(zhì)置于作圖之前，有值得借鑒之處，但是把幾何描點法作為圖象與三角函數(shù)線的關(guān)系研究，有為了教而教的感覺，缺乏單位圓在研究三角函數(shù)中所起的作用的理解。

三、幾點思考

1.注重發(fā)揮單位圓的作用，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

單位圓與三角函數(shù)有著直接的聯(lián)系，任意角、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)都可以借助單位圓得到認(rèn)識，在三角函數(shù)的研究中，借助單位圓的幾何直觀是非常重要的手段，這也是使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會數(shù)形結(jié)合地思考和解決問題的好機(jī)會。筆者查閱了人教版必修一教材，對此內(nèi)容的處理也是借助于正弦線幾何描點。對于畫正弦函數(shù)的圖象，教科書突出了單位圓的作用，先從作圖象上任意一點出發(fā)，明確作圖的原理，再用信息技術(shù)畫出足夠多的點，得到對圖象更直觀的認(rèn)識，能夠使學(xué)生更清楚知識的發(fā)生發(fā)展、歸納概括的過程[2]。后續(xù)的兩角差的余弦公式也利用單位圓進(jìn)行推導(dǎo)，使得單位圓成為整個三角函數(shù)研究的紐帶。

2.函數(shù)性質(zhì)研究的一致性與多樣性

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）提出三個關(guān)注：高中數(shù)學(xué)內(nèi)容主要分為四條主線，它們既相互獨立，又相互聯(lián)系，各個章節(jié)的設(shè)計要體現(xiàn)三個關(guān)注：關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的通性通法、數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)內(nèi)容的展開應(yīng)循序漸進(jìn)、螺旋上升，使教材成為一個有機(jī)的整體[1]。

三角函數(shù)作為函數(shù)內(nèi)容的一部分，是高中基本初等函數(shù)研究的最后一類，學(xué)生之前已經(jīng)有了研究冪指對函數(shù)的經(jīng)驗，借助這種經(jīng)驗展開三角函數(shù)的研究，學(xué)生比較熟悉也很自然，這也是研究函數(shù)問題的一般方法。但三角函數(shù)有它的特殊性，如周期性與奇偶性可以簡化作圖。性質(zhì)與圖象相互交融，一方面由圖象可以直觀得到性質(zhì)，另一方面由性質(zhì)可以輔助作圖，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)要使學(xué)生體驗研究函數(shù)圖象與性質(zhì)方法的一致性與多樣性。

3.教學(xué)目標(biāo)如何設(shè)定，教學(xué)難點如何突破

任何一節(jié)課，教學(xué)目標(biāo)直接決定一節(jié)課的教學(xué)定位。如果定位于教知識，那么本節(jié)課完全可以不用介紹幾何描點法，學(xué)生用特殊角三角函數(shù)值描點，老師再借助信息技術(shù)輔助作圖即可得到圖象;如果定位于教思想方法，那么就需要把三角函數(shù)放在函數(shù)的整體框架里，借助學(xué)生已有的經(jīng)驗自主建立研究三角函數(shù)的方法與內(nèi)容;如果定位于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)，那么就要思考本節(jié)課能夠培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以什么為載體去培養(yǎng)？很顯然，定位于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)立意更高，也是本輪新課程改革的最為關(guān)鍵的一個導(dǎo)向。

幾何描點法蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素，既有利用單位圓研究三角函數(shù)的整體性，也有著培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的任務(wù)，故筆者認(rèn)為應(yīng)該要講。但這是一個難點，如何突破難點呢？常見的辦法有類比、歸納、推廣等，筆者覺得可以采用從特殊到一般的處理辦法，利用追問圖象的準(zhǔn)確性，讓學(xué)生畫非特殊角的三角函數(shù)對應(yīng)的點，先描一個點，如（ ），通過這個問題的解決入手，再推廣到一般情況。

四、教學(xué)改進(jìn)

基于以上思考，筆者進(jìn)行了重新設(shè)計，在任教班級嘗試，效果較好。

問題1：今天我們研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，你能說出研究函數(shù)的方法與研究內(nèi)容嗎？

生：通過作出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象總結(jié)歸納函數(shù)性質(zhì);我們可以從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、特殊的點與線等方面去觀察研究。

問題2：我們已經(jīng)知道三角函數(shù)的哪些性質(zhì)？對我們作出三角函數(shù)圖象有什么幫助？

生1：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性好像也知道。

生2：只需作出一個周期內(nèi)的圖象，取[0，2π]上的圖象;

生3：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，我覺得取[-π，π]更好，這樣只需要作出[0，π]上的圖象，[-π，0]圖象可利用關(guān)于原點對稱作圖;（此處應(yīng)該有掌聲）

學(xué)生活動1：嘗試作出正弦函數(shù)圖象。

學(xué)生采用描點法，在[0，π]內(nèi)列出若干個特殊角三角函數(shù)值，再在坐標(biāo)系中描點連線作圖。

教師展示學(xué)生作圖，并追問，

追問1：（0，0）與（ ）之間圖象你怎么得到的？會不會是下凹的形狀？

生：那就在這個范圍內(nèi)再作幾個點。

追問2：如何描點（ ），困難在哪？有什么解決辦法？

生1：sin 是多少不知道，可以用計算器求出來，再描點。

生2：不需要，借助三角函數(shù)線，在單位圓中量出 的正弦線長度，即sin 的值，用尺規(guī)作圖就可以作出sin ;

追問3：如何在x軸上準(zhǔn)確描出 這個點？有哪條線長度是 嗎？

生1：取π近似值，除以7

生2： 角所對的單位圓弧長是 ，可以把這段曲線拉直后平移到x軸上。

追問4：能準(zhǔn)確作出任意一點（x0，sinx0）嗎？

生：取角x0對單位圓弧長為橫坐標(biāo)，x0在單位圓中的正弦線為縱坐標(biāo)（平移正弦線），即可作出該點。

學(xué)生活動2：信息技術(shù)展示幾何描點得出正弦函數(shù)圖象。

師生共同歸納[0，2π]五個關(guān)鍵點，以下過程略。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]高中數(shù)學(xué)教材編寫研究章建躍、李海東主編北京：人民教育出版社2020.12