武 周 虎
(青島理工大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院,山東 青島 266033)
隨著國(guó)內(nèi)外交通基礎(chǔ)設(shè)施的快速發(fā)展,各種隧道工程建設(shè)的規(guī)模和數(shù)量日益增大。由于缺乏合適的已知曲線(xiàn)方程,現(xiàn)行隧道橫斷面的內(nèi)輪廓線(xiàn)除采用單心圓(含橢圓)外,主要由三心圓[1]、四心圓[2]、五心圓[3]等多圓弧拼接而成,還有直壁邊墻,既有尖拱,也有坦拱,隧道內(nèi)輪廓線(xiàn)形狀及尺寸可謂種類(lèi)繁多[4-6]。對(duì)于不同的圍巖穩(wěn)定性和山巖壓力條件,要使結(jié)構(gòu)支撐的作用力最小,隧道橫斷面的最佳寬高比應(yīng)等于地應(yīng)力比值的平方根[7];對(duì)于公路隧道,還需要根據(jù)道路等級(jí)、車(chē)道數(shù)、車(chē)型、車(chē)速、單/雙向行駛等條件確定建筑限界范圍,進(jìn)行隧道橫斷面形狀、開(kāi)挖、結(jié)構(gòu)和襯砌施工等設(shè)計(jì)[8,9]。
由于圍巖的介質(zhì)材料和初始地應(yīng)力場(chǎng)等邊界條件是不能改變的客觀存在,所以在設(shè)計(jì)過(guò)程中,可通過(guò)改變施工步序、支護(hù)手段、襯砌參數(shù),及調(diào)整洞室斷面的幾何形狀及尺寸等措施,來(lái)改善圍巖應(yīng)力分布,確保圍巖穩(wěn)定。隧道橫斷面形狀設(shè)計(jì)方案不是唯一的,有許多方案可供選擇,這就有個(gè)優(yōu)化問(wèn)題[10]。要科學(xué)合理確定各個(gè)圓心的位置、半徑和圓心角,將建筑限界完全包容在內(nèi)輪廓線(xiàn)內(nèi),使幾段圓弧畫(huà)出來(lái)的閉合誤差最小,且繪圖與優(yōu)化設(shè)計(jì)快捷、方便,目前尚缺乏設(shè)計(jì)與建造的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。僅以四心圓隧道橫斷面的內(nèi)輪廓線(xiàn)為例,就有半徑r1、r2、r3和圓心角φ1、φ2或切點(diǎn)高度h1、h2共5個(gè)獨(dú)立變量[11];各種類(lèi)型隧道橫斷面幾何形狀和尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法更是繁多復(fù)雜[12,13]。由多圓弧或直線(xiàn)段拼接而成的隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn),連接點(diǎn)(切點(diǎn))處雖然能滿(mǎn)足曲線(xiàn)的連續(xù)光滑,但其1階導(dǎo)數(shù)不光滑,2階導(dǎo)數(shù)不連續(xù),出現(xiàn)曲率突變現(xiàn)象,受力條件變差[14]。尋求一種科學(xué)合理的隧道內(nèi)輪廓線(xiàn)方程是解決這個(gè)問(wèn)題的根本途徑。
筆者基于寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下的保守物質(zhì)等濃度線(xiàn)方程,以隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)的最大高度和最大寬度為參數(shù),定義了一種新型Wu’s曲線(xiàn)——異形橢圓,給出了異形橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;分析了異形橢圓橫斷面的幾何性質(zhì)及分類(lèi),提出了異形橢圓隧道橫斷面的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。研究結(jié)果可為異形橢圓隧道橫斷面設(shè)計(jì)提供理論支持。
在寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下,保守物質(zhì)平面二維對(duì)流擴(kuò)散簡(jiǎn)化方程的濃度C(x,y)分布如式(1)[15]:
(1)
式中:x為自排放口沿河流流向的縱向坐標(biāo);y為垂直于x軸的橫向坐標(biāo),坐標(biāo)原點(diǎn)取在河流中心排放點(diǎn);d為河流的平均水深;U為河流的平均流速;m為單位時(shí)間保守物質(zhì)的排放質(zhì)量;Ey為橫向擴(kuò)散系數(shù)。
武周虎等[16]在保守物質(zhì)濃度C(x,y)=Ca(常數(shù))條件下,對(duì)式(1)進(jìn)行了數(shù)學(xué)推演,給出了等濃度線(xiàn)所包圍圖形的最大長(zhǎng)度Ls、最大半寬度bs和最大半寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)Lc分別為:
(2)
(3)
(4)
式中:e為數(shù)學(xué)常數(shù),e≈2.718;其它符號(hào)同前。
令式(1)中濃度C(x,y)=Ca,將分母根號(hào)下的縱向坐標(biāo)x除以L(fǎng)s,得到歸一化縱向坐標(biāo)(x/Ls),再乘以式(2)等號(hào)右邊的縱向最大長(zhǎng)度表達(dá)式;對(duì)式(1)中exp()的橫向坐標(biāo)y除以bs得到歸一化橫向坐標(biāo)(y/bs),再乘以式(3)右邊的橫向最大半寬度表達(dá)式。整理得到保守物質(zhì)歸一化等濃度線(xiàn)(Wu’s曲線(xiàn))方程[17,18]:
(5)
式(5)反映的是一種由最大長(zhǎng)度和最大半寬度所表示的二參數(shù)曲線(xiàn),近似于橢圓形狀,但只有單對(duì)稱(chēng)軸x。筆者將其定義為“異形橢圓”。該曲線(xiàn)來(lái)源于保守物質(zhì)平面二維對(duì)流擴(kuò)散簡(jiǎn)化方程求解出來(lái)的濃度分布等值線(xiàn),根據(jù)動(dòng)量、熱量和質(zhì)量傳遞的相似性原理,可以推斷應(yīng)力與質(zhì)量擴(kuò)散之間也存在相似性關(guān)系。因此,該曲線(xiàn)極具研究?jī)r(jià)值。
將式(5)中的對(duì)稱(chēng)軸縱向坐標(biāo)x改用對(duì)稱(chēng)軸縱向坐標(biāo)z表示,坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)底部中點(diǎn)處。定義異形橢圓對(duì)稱(chēng)軸縱向坐標(biāo)z向上的最大高度為H=Ls,表示隧道橫斷面高度;非對(duì)稱(chēng)軸橫向坐標(biāo)y方向的最大寬度為W=2bs,表示隧道橫斷面寬度。則,有異形橢圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(6)
表1及圖1分別為異形橢圓式(6)與青島膠州灣海底隧道(單向3車(chē)道)橫斷面[2]及某高速公路隧道(單向2車(chē)道)橫斷面[5]的參數(shù)及內(nèi)輪廓線(xiàn)對(duì)比。
表1 異形橢圓與隧道內(nèi)輪廓線(xiàn)特性參數(shù)Table 1 Characteristic parameters of heteromorphic ellipse and tunnel inner outline
圖1 異形橢圓與隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)(單位:cm)Fig. 1 Heteromorphic ellipse and inner outline of tunnel cross-section
由表1及圖1可以看出:
1)異形橢圓與青島膠州灣海底隧道四心圓橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)吻合較好,主要差別出現(xiàn)在隧道橫斷面的仰拱部位。異形橢圓的仰拱更加平坦,橫斷面最大寬度相應(yīng)的縱向位置坐標(biāo)zw下移,有利于建筑限界的整體布置下移,可以減少路基底下的回填工程量。
2)異形橢圓與某高速公路隧道三心圓橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)吻合較好,主要差別出現(xiàn)在隧道橫斷面的拱腳部位。
鑒于異形橢圓與三心圓、四心圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)吻合較好,筆者創(chuàng)造性提出異形橢圓(即Wu’s曲線(xiàn))隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)形狀。
將式(6)等號(hào)兩邊開(kāi)平方根,再同乘以W。由于異形橢圓的單軸對(duì)稱(chēng)性,在z∈[0,H]區(qū)間上對(duì)2y(z)求定積分,則,異形橢圓面積S按式(7)計(jì)算:
(7)
進(jìn)行變量替換,令z/H=ζ,積分上限變?yōu)?,則有
(8)
可見(jiàn),異形橢圓面積等于異形橢圓面積系數(shù)、高度和寬度的乘積。
(9)
(10)
形心即異形橢圓的幾何中心。對(duì)于密度均勻的實(shí)物體,形心與質(zhì)心重合。對(duì)于只有單對(duì)稱(chēng)軸的異形橢圓,形心一定在其對(duì)稱(chēng)軸上,但需要通過(guò)對(duì)非對(duì)稱(chēng)軸面積矩的計(jì)算來(lái)確定具體位置。根據(jù)總面積矩等于各分面積矩之和的原理,有:
(11)
(12)
(13)
因此,異形橢圓的形心位于對(duì)稱(chēng)軸上相對(duì)高度坐標(biāo)z′c=zc/H≈0.465處,該處的高度低于中位線(xiàn)(即異形橢圓半高度)的7.05%。
圖2 不同壓縮系數(shù)θ的異形橢圓Fig. 2 Heteromorphic ellipse with different compression coefficient θ
由圖2可以看出,當(dāng)壓縮系數(shù)θ由小到大變化時(shí),異形橢圓的形狀由高瘦向?qū)捙肿兓?,更像一個(gè)自然圖形,如:圖2(a)形似玉米棒,圖2(d)形似面包形狀,而圖2(b)、(c)形似梨、桃、蘋(píng)果等形狀。由此得到,壓縮系數(shù)θ可以反映異形橢圓的形狀變化特征。因此,可按壓縮系數(shù)θ對(duì)異形橢圓形狀進(jìn)行分類(lèi),如表2。
表2 基于壓縮系數(shù)θ的異形橢圓形狀分類(lèi)Table 2 Shape classification of heteromorphic ellipse based on compression coefficient θ
根據(jù)高等數(shù)學(xué)平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的積分定義,異形橢圓的周長(zhǎng)L積分式為:
(14)
對(duì)式(6)兩邊求導(dǎo),整理得到:
(15)
令ζ=z/H,且θ=W/H,將式(15)代入式(14),得:
(16)
式中:Th為異形橢圓系數(shù)。
參照橢圓的周長(zhǎng)定理,由式(16)定義異形橢圓的周長(zhǎng)定理:異形橢圓的周長(zhǎng)L等于異形橢圓系數(shù)Th與異形橢圓半寬度W/2和半高度H/2之和的乘積。
由異形橢圓系數(shù)的表達(dá)式可以看出,異形橢圓系數(shù)Th只是壓縮系數(shù)θ的函數(shù)。在[0.01,100]區(qū)間上給定一系列θ值,采用數(shù)值積分方法,對(duì)異形橢圓系數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分運(yùn)算,得到一系列相應(yīng)的Th或θ值,從而可得異形橢圓系數(shù)與壓縮系數(shù)的關(guān)系曲線(xiàn)。圖3為在相同條件下異形橢圓系數(shù)及橢圓系數(shù)(摘自數(shù)學(xué)手冊(cè))與壓縮系數(shù)θ的關(guān)系曲線(xiàn)。
圖3 異形橢圓系數(shù)Th及橢圓系數(shù)T與壓縮系數(shù)θ的關(guān)系曲線(xiàn)Fig. 3 Relation curves of heteromorphic elliptic coefficient Th,elliptic coefficient T and compression coefficient θ
由圖3可以看出:
1)橢圓系數(shù)T關(guān)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)壓縮系數(shù)θ=1左右對(duì)稱(chēng),即在寬高比與高寬比相等條件下,橢圓系數(shù)相等。
2)在壓縮系數(shù)θ相同的條件下,異形橢圓系數(shù)Th與橢圓系數(shù)T存在以下3種關(guān)系:①Th>T;②當(dāng)2種橢圓的θ→ 1時(shí),Th與T的相對(duì)差值較大;③當(dāng)2種橢圓的θ< 0.1或θ> 10時(shí),Th與T的相對(duì)差值較小。
3)θ=1時(shí),異形橢圓為標(biāo)準(zhǔn)型,異形橢圓系數(shù)Th=3.191 244,橢圓系數(shù)T=π,Th比T大1.58%;標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的面積系數(shù)μ異形橢圓/Th=0.249 227,該值僅比圓的面積系數(shù)μ圓/π小-0.31%,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓具有周長(zhǎng)一定條件下面積近似最大的特點(diǎn)。
4)一個(gè)有趣的現(xiàn)象是:異形橢圓系數(shù)的最小值Th,min=3.190 820出現(xiàn)在壓縮系數(shù)θ=1.05處,而不是在θ=1處。當(dāng)θ< 1.05時(shí),Th隨著θ的增大而單調(diào)下降;θ>1.05時(shí),Th隨著θ的增大單調(diào)上升。
曲率表示曲線(xiàn)在某一點(diǎn)的彎曲程度,曲率越大,曲線(xiàn)的彎曲程度越大。曲率的倒數(shù)為曲率半徑,異形橢圓的曲率半徑ρ與其形狀(壓縮系數(shù)θ)和尺寸大小密切相關(guān)。在θ相同條件下,異形橢圓尺寸越大,曲線(xiàn)上相應(yīng)點(diǎn)的ρ越大,曲線(xiàn)的彎曲程度越小。
(17)
(18)
(19)
曲率半徑公式如式(20):
(20)
考慮到異形橢圓的單軸對(duì)稱(chēng)性,繪制出半邊y、y′、y″及ρ曲線(xiàn)進(jìn)行分析,如圖4。
圖4 單位標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓半邊y、y′、y″和 ρ曲線(xiàn) Fig. 4 Half curves of unit standard-type heteromorphic ellipse y, y′, y″ and ρ
由圖4可以看出:
1)在(0,1)區(qū)間上,單位標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓y=f(z)存在1階、2階連續(xù)導(dǎo)數(shù),表明異形橢圓和1階導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)均為光滑曲線(xiàn)。
2)在[0,1]區(qū)間上,單位標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的ρ是連續(xù)變化的,ρ隨著z變化的函數(shù)曲線(xiàn)呈“2”字形變化,即:當(dāng)z→0時(shí),ρ→∞;隨著z的逐漸增大,ρ迅速減小,當(dāng)z=0.0427時(shí),ρ達(dá)到極小值ρmin=0.248 2;隨后,隨著z的增大,ρ逐漸增大,當(dāng)z=0.677 9時(shí),ρ達(dá)到極大值ρmax=1.645 7;之后,隨著z的增大,ρ再次減小,當(dāng)z=1.000 0時(shí),ρ=0.339 8。
3)需要注意的是,在異形橢圓壓縮系數(shù)θ和尺寸大小不同的情況下,曲率半徑ρ隨著z變化的函數(shù)曲線(xiàn)仍然具有“2”字形變化規(guī)律,只是ρ的數(shù)值和極值點(diǎn)位置發(fā)生了改變。
在JTG D 70—2004《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》的單向公路隧道建筑限界與控制點(diǎn)詳圖中,添加坐標(biāo)系和各控制點(diǎn)編號(hào),取隧道中線(xiàn)與異形橢圓對(duì)稱(chēng)軸z重合,車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0,y0),如圖5,圖中:H0為建筑限界高度;W0為行車(chē)道寬度;H1為檢修道或人行道空間高度;H2為建筑限界頂角下緣高度;LL、LR為左、右側(cè)向?qū)挾龋籆為余寬;J(R)為檢修道(人行道)寬度;h為檢修道或人行道的高度;EL、ER為建筑限界左、右頂角寬度;i為隧道路面橫坡;hw為通風(fēng)機(jī)、內(nèi)裝設(shè)備等安裝所需的隧道中線(xiàn)最小高度。
在圖5中隧道橫斷面建筑限界各控制點(diǎn)編號(hào)k=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,…,n;控制點(diǎn)數(shù)n=9。當(dāng)自然通風(fēng)量可以滿(mǎn)足隧道通風(fēng)需要時(shí),可不設(shè)Ⅸ號(hào)控制點(diǎn),此時(shí)控制點(diǎn)數(shù)n=8。
圖5 建筑限界與控制點(diǎn)Fig. 5 Construction clearance and control point
根據(jù)圖5中隧道建筑限界控制點(diǎn)的幾何關(guān)系,可推算得到各控制點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,見(jiàn)表3。
轉(zhuǎn)化運(yùn)作機(jī)制還沒(méi)有有效形成 目前,學(xué)校雖然制定了科技成果轉(zhuǎn)化、專(zhuān)利的管理辦法,提出科技成果轉(zhuǎn)化實(shí)施中,學(xué)校和課題組的股份或收益分配比例基本為30:70,但是就目前來(lái)看,對(duì)科技成果價(jià)值進(jìn)行評(píng)估這方面的辦法確實(shí)存在缺陷。對(duì)科技成果價(jià)值評(píng)估本身的難度很大,評(píng)估低了會(huì)涉及國(guó)有資產(chǎn)流失,評(píng)估高了會(huì)沒(méi)有市場(chǎng)。在科技成果轉(zhuǎn)化過(guò)程中,科技成果價(jià)值評(píng)估可以說(shuō)是一個(gè)非常重要且關(guān)鍵的問(wèn)題,同時(shí)是進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化的必要環(huán)節(jié)。然而關(guān)于科技成果價(jià)值評(píng)估辦法,不是隨便就可以制定的,而是需要由國(guó)有資產(chǎn)管理、計(jì)財(cái)以及科技等部門(mén)來(lái)聯(lián)合進(jìn)行制定。
表3 建筑限界控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式Table 3 Coordinate expression of construction clearance control points
由表3可以看出,建筑限界各控制點(diǎn)的縱向坐標(biāo)z和橫向坐標(biāo)y表達(dá)式為車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0,y0)和幾何尺寸的函數(shù)。前者路面中線(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)由優(yōu)化計(jì)算確定,后者建筑限界的各幾何尺寸由道路等級(jí)、車(chē)道數(shù)、車(chē)型、車(chē)速、單雙向行駛等設(shè)計(jì)條件,根據(jù)JTG D 70—2004《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》的要求確定。
由式(6)變形得到異形橢圓的顯函數(shù)方程:
(21)
為了達(dá)到建筑限界的任何點(diǎn)均在異形橢圓之內(nèi)的設(shè)計(jì)要求,異形橢圓至少應(yīng)將建筑限界完全包容在內(nèi),即異形橢圓必須套進(jìn)隧道橫斷面建筑限界各控制點(diǎn)。圖6為異形橢圓與建筑限界對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)示意。
圖6 異形橢圓與建筑限界對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)示意Fig. 6 Control points corresponding to heteromorphic ellipse and construction clearance
圖6中,在縱向坐標(biāo)z相同的條件下,異形橢圓上與建筑限界對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)編號(hào)依次為k′=Ⅰ′、Ⅱ′、…、Ⅸ′)。要達(dá)到隧道洞室凈空面積最小的目標(biāo),就應(yīng)該使得滿(mǎn)足建筑限界的異形橢圓面積最小。
目標(biāo)函數(shù)是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案好壞的標(biāo)準(zhǔn)。一般而言,目標(biāo)函數(shù)可以表示為問(wèn)題變量的解析表達(dá)式。目標(biāo)函數(shù)可以是一個(gè),也可以是多個(gè),但應(yīng)盡量使目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目少一些。對(duì)異形橢圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)進(jìn)行優(yōu)化,可選擇滿(mǎn)足約束條件的單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法,其約束條件和目標(biāo)函數(shù)的確定如下:
設(shè)異形橢圓與建筑限界各對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)的水平距離為dk,為確保異形橢圓上對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)在建筑限界控制點(diǎn)之外或重合,要求dk≥ 0,即
dk=|f(zk)|-|yk|≥0,(k=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,…,n)
(22)
以隧道洞室凈空面積最小為目標(biāo),根據(jù)異形橢圓的面積式(8),可得到目標(biāo)函數(shù)
S=min(μWH)=μmin(WH)
(23)
異形橢圓隧道橫斷面的優(yōu)化計(jì)算分為3種情形:①控制點(diǎn)數(shù)n=9;②控制點(diǎn)數(shù)n=8或9,給定隧道橫斷面寬高比W/H,即異形橢圓的壓縮系數(shù)θ;③控制點(diǎn)數(shù)n=8,給定最大寬度W或最大高度H限定值。針對(duì)這3種情形,在對(duì)應(yīng)的給定條件下,同時(shí)滿(mǎn)足約束條件式(22),采用目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法——傳統(tǒng)優(yōu)化算法或智能優(yōu)化算法進(jìn)行異形橢圓隧道設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)步驟如下:
2)運(yùn)行單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法程序(如MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。
3)根據(jù)優(yōu)化計(jì)算結(jié)果,即目標(biāo)函數(shù)式(23)的最小值,給出異形橢圓隧道橫斷面的寬度W和高度H及車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0,y0)。
某雙向四車(chē)道高速公路穿山隧道工程,采用分離式獨(dú)立雙洞設(shè)計(jì)方案,設(shè)計(jì)時(shí)速80 km/h[5]。隧道單洞右幅行車(chē)道的建筑限界形狀如圖5,限界尺寸為:H0=500 cm,W0=750 cm,H1=250 cm,H2=400 cm,LL=50 cm,LR=75 cm,C=25cm,J(R)=50 cm,h=35 cm,EL=50 cm,ER=75 cm,i=0.015,hw=200 cm。建筑限界最大范圍為1 025 cm× 500 cm,考慮通風(fēng)機(jī)、內(nèi)裝設(shè)備等安裝所需的隧道中線(xiàn)最小高度,控制點(diǎn)數(shù)n=9。
在設(shè)計(jì)實(shí)例中,異形橢圓隧道橫斷面的優(yōu)化計(jì)算屬于3.4優(yōu)化計(jì)算中的情形①,控制點(diǎn)數(shù)n=9。
根據(jù)表3中控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算,化簡(jiǎn)得到該隧道工程建筑限界控制點(diǎn)坐標(biāo)和由式(21)計(jì)算得出的異形橢圓對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù),如表4。
表4 建筑限界與異形橢圓對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)坐標(biāo)及優(yōu)化結(jié)果Table 4 Coordinate of control point corresponding to the construction clearance and heteromorphic ellipse and optimization results
在表4中,取隧道三心圓橫斷面[5]的最大寬度和最大高度作為異形橢圓優(yōu)化計(jì)算的初始寬度和高度W=1 100 cm和H=825 cm,有z0=143.500 cm,取y0=0,使優(yōu)化計(jì)算的收斂過(guò)程更快。
在約束條件式(22)條件下,運(yùn)行單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法程序,求目標(biāo)函數(shù)式(23)的最小值。經(jīng)過(guò)優(yōu)化計(jì)算和設(shè)計(jì)參數(shù)取整,最后得到滿(mǎn)足約束條件的異形橢圓與建筑限界各對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)水平距離ds的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4(右列),目標(biāo)函數(shù)最小值為S=728 021 cm2,相應(yīng)的異形橢圓隧道橫斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)為最大寬度W=1 110 cm和最大高度H=825 cm,車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0=121 cm,y0=-17 cm)。
據(jù)此繪制滿(mǎn)足設(shè)計(jì)條件的異形橢圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn),見(jiàn)圖7,同時(shí)繪出三心圓內(nèi)輪廓線(xiàn),以進(jìn)行比較。圖中:r1=550 cm,圓心坐標(biāo)(x1,y1)=(275,0),圓心角φ1=2×103°45′24″;r2=120 cm,圓心坐標(biāo)(x2,y2)=(172.7,±417.7),圓心角為φ2=61°50′53″的兩段圓弧;r3=1 800 cm,圓心坐標(biāo)(x3,y3)=(1 800,0),圓心角φ3=2×14°23′43″。
圖7 異形橢圓與三心圓隧道橫斷面(單位:cm)Fig. 7 Tunnel cross-section of heteromorphic ellipse and three centered circle
由圖7和表4中的優(yōu)化結(jié)果可知,單洞右幅行車(chē)道建筑限界的主要約束為Ⅰ、Ⅳ和Ⅴ號(hào)控制點(diǎn)。在設(shè)計(jì)參數(shù)取整后,建筑限界上這3個(gè)控制點(diǎn)外側(cè)與異形橢圓對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)的水平距離均為1 cm;滿(mǎn)足通風(fēng)機(jī)、內(nèi)裝設(shè)備等安裝所需的隧道中線(xiàn)最小高度的Ⅸ號(hào)控制點(diǎn)在z軸上zⅨ=821 cm處,即Ⅸ號(hào)控制點(diǎn)頂部與異形橢圓最高點(diǎn)的垂直距離為4 cm??傮w來(lái)看,經(jīng)過(guò)優(yōu)化計(jì)算所得到的異形橢圓與建筑限界的符合程度高。
將異形橢圓與三心圓隧道橫斷面進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn):
1)與三心圓相比,異形橢圓橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)的寬度增大10 cm,面積減小12 414 cm2(三心圓面積為740 435 cm2),高度相同。表明,異形橢圓可節(jié)省隧道洞室凈空土石方量1.68%。
2)異形橢圓的壓縮系數(shù)θ=W/H=1.35,由圖3可得異形橢圓系數(shù)Th=3.20,由式(16)可計(jì)算得到異形橢圓的周長(zhǎng)L=3 096 cm,而三心圓周長(zhǎng)為3 156 cm。表明,異形橢圓可節(jié)省隧道洞室支護(hù)與襯砌施工材料1.90%。
3)異形橢圓的1階、2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)均存在,曲率半徑呈現(xiàn)連續(xù)變化規(guī)律,而三心圓橫斷面的3個(gè)曲率半徑在連接點(diǎn)(切點(diǎn))出現(xiàn)突變現(xiàn)象,受力條件差。
4)由圖7可以看出,異形橢圓上部與三心圓橫斷面大致吻合,下部克服了三心圓橫斷面的拱腳外凸現(xiàn)象,可節(jié)省仰拱開(kāi)挖和回填工程量。
5)異形橢圓橫斷面只需要2個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù),相比三心圓橫斷面需要4個(gè)獨(dú)立參數(shù),優(yōu)化設(shè)計(jì)更加便捷,且易于掌握和誤差控制。
1)基于河流二維對(duì)流擴(kuò)散物質(zhì)的等濃度線(xiàn)方程,定義了一種新型二參數(shù)異形橢圓內(nèi)輪廓線(xiàn)方程,給出了異形橢圓面積、周長(zhǎng)、形心坐標(biāo)、壓縮系數(shù)和曲率半徑的計(jì)算公式;對(duì)異形橢圓進(jìn)行了形狀分類(lèi):標(biāo)準(zhǔn)型(θ=1),H型(0<θ<1),W型(θ>1)。
2)異形橢圓的面積等于異形橢圓面積系數(shù)、高度與寬度的乘積;周長(zhǎng)等于異形橢圓系數(shù)與異形橢圓半高度和半寬度之和的乘積。
3)根據(jù)單向公路隧道建筑限界,給出了控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式;按照將建筑限界完全包容在內(nèi)和隧道洞室凈空面積最小的原則,提出了異形橢圓橫斷面的約束條件、目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。
4)異形橢圓與建筑限界的符合程度高,與三心圓橫斷面相比,異形橢圓具有設(shè)計(jì)參數(shù)少、曲率半徑變化連續(xù)、隧道洞室凈空面積小、支護(hù)與襯砌周長(zhǎng)短、仰拱開(kāi)挖和回填工程量小等優(yōu)點(diǎn)。