一種新型異形橢圓隧道橫斷面的性質(zhì)及優(yōu)化設(shè)計(jì)

武 周 虎

(青島理工大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033)

0 引 言

隨著國(guó)內(nèi)外交通基礎(chǔ)設(shè)施的快速發(fā)展，各種隧道工程建設(shè)的規(guī)模和數(shù)量日益增大。由于缺乏合適的已知曲線(xiàn)方程，現(xiàn)行隧道橫斷面的內(nèi)輪廓線(xiàn)除采用單心圓(含橢圓)外，主要由三心圓[1]、四心圓[2]、五心圓[3]等多圓弧拼接而成，還有直壁邊墻，既有尖拱，也有坦拱，隧道內(nèi)輪廓線(xiàn)形狀及尺寸可謂種類(lèi)繁多[4-6]。對(duì)于不同的圍巖穩(wěn)定性和山巖壓力條件，要使結(jié)構(gòu)支撐的作用力最小，隧道橫斷面的最佳寬高比應(yīng)等于地應(yīng)力比值的平方根[7]；對(duì)于公路隧道，還需要根據(jù)道路等級(jí)、車(chē)道數(shù)、車(chē)型、車(chē)速、單/雙向行駛等條件確定建筑限界范圍，進(jìn)行隧道橫斷面形狀、開(kāi)挖、結(jié)構(gòu)和襯砌施工等設(shè)計(jì)[8,9]。

由于圍巖的介質(zhì)材料和初始地應(yīng)力場(chǎng)等邊界條件是不能改變的客觀存在，所以在設(shè)計(jì)過(guò)程中，可通過(guò)改變施工步序、支護(hù)手段、襯砌參數(shù)，及調(diào)整洞室斷面的幾何形狀及尺寸等措施，來(lái)改善圍巖應(yīng)力分布，確保圍巖穩(wěn)定。隧道橫斷面形狀設(shè)計(jì)方案不是唯一的，有許多方案可供選擇，這就有個(gè)優(yōu)化問(wèn)題[10]。要科學(xué)合理確定各個(gè)圓心的位置、半徑和圓心角，將建筑限界完全包容在內(nèi)輪廓線(xiàn)內(nèi)，使幾段圓弧畫(huà)出來(lái)的閉合誤差最小，且繪圖與優(yōu)化設(shè)計(jì)快捷、方便，目前尚缺乏設(shè)計(jì)與建造的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。僅以四心圓隧道橫斷面的內(nèi)輪廓線(xiàn)為例，就有半徑r1、r2、r3和圓心角φ1、φ2或切點(diǎn)高度h1、h2共5個(gè)獨(dú)立變量[11]；各種類(lèi)型隧道橫斷面幾何形狀和尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法更是繁多復(fù)雜[12,13]。由多圓弧或直線(xiàn)段拼接而成的隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)，連接點(diǎn)(切點(diǎn))處雖然能滿(mǎn)足曲線(xiàn)的連續(xù)光滑，但其1階導(dǎo)數(shù)不光滑，2階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，出現(xiàn)曲率突變現(xiàn)象，受力條件變差[14]。尋求一種科學(xué)合理的隧道內(nèi)輪廓線(xiàn)方程是解決這個(gè)問(wèn)題的根本途徑。

筆者基于寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下的保守物質(zhì)等濃度線(xiàn)方程，以隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)的最大高度和最大寬度為參數(shù)，定義了一種新型Wu’s曲線(xiàn)——異形橢圓，給出了異形橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；分析了異形橢圓橫斷面的幾何性質(zhì)及分類(lèi)，提出了異形橢圓隧道橫斷面的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。研究結(jié)果可為異形橢圓隧道橫斷面設(shè)計(jì)提供理論支持。

1 異形橢圓方程的由來(lái)與標(biāo)準(zhǔn)化

1.1 異形橢圓方程由來(lái)

在寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下，保守物質(zhì)平面二維對(duì)流擴(kuò)散簡(jiǎn)化方程的濃度C(x,y)分布如式(1)[15]：

(1)

式中：x為自排放口沿河流流向的縱向坐標(biāo)；y為垂直于x軸的橫向坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取在河流中心排放點(diǎn)；d為河流的平均水深；U為河流的平均流速；m為單位時(shí)間保守物質(zhì)的排放質(zhì)量；Ey為橫向擴(kuò)散系數(shù)。

武周虎等[16]在保守物質(zhì)濃度C(x,y)=Ca(常數(shù))條件下，對(duì)式(1)進(jìn)行了數(shù)學(xué)推演，給出了等濃度線(xiàn)所包圍圖形的最大長(zhǎng)度Ls、最大半寬度bs和最大半寬度對(duì)應(yīng)的縱向坐標(biāo)Lc分別為：

(2)

(3)

(4)

式中：e為數(shù)學(xué)常數(shù)，e≈2.718；其它符號(hào)同前。

令式(1)中濃度C(x,y)=Ca，將分母根號(hào)下的縱向坐標(biāo)x除以L(fǎng)s，得到歸一化縱向坐標(biāo)(x/Ls)，再乘以式(2)等號(hào)右邊的縱向最大長(zhǎng)度表達(dá)式；對(duì)式(1)中exp()的橫向坐標(biāo)y除以bs得到歸一化橫向坐標(biāo)(y/bs)，再乘以式(3)右邊的橫向最大半寬度表達(dá)式。整理得到保守物質(zhì)歸一化等濃度線(xiàn)(Wu’s曲線(xiàn))方程[17,18]：

(5)

式(5)反映的是一種由最大長(zhǎng)度和最大半寬度所表示的二參數(shù)曲線(xiàn)，近似于橢圓形狀，但只有單對(duì)稱(chēng)軸x。筆者將其定義為“異形橢圓”。該曲線(xiàn)來(lái)源于保守物質(zhì)平面二維對(duì)流擴(kuò)散簡(jiǎn)化方程求解出來(lái)的濃度分布等值線(xiàn)，根據(jù)動(dòng)量、熱量和質(zhì)量傳遞的相似性原理，可以推斷應(yīng)力與質(zhì)量擴(kuò)散之間也存在相似性關(guān)系。因此，該曲線(xiàn)極具研究?jī)r(jià)值。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何特征分析

將式(5)中的對(duì)稱(chēng)軸縱向坐標(biāo)x改用對(duì)稱(chēng)軸縱向坐標(biāo)z表示，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)底部中點(diǎn)處。定義異形橢圓對(duì)稱(chēng)軸縱向坐標(biāo)z向上的最大高度為H=Ls，表示隧道橫斷面高度；非對(duì)稱(chēng)軸橫向坐標(biāo)y方向的最大寬度為W=2bs，表示隧道橫斷面寬度。則，有異形橢圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(6)

表1及圖1分別為異形橢圓式(6)與青島膠州灣海底隧道(單向3車(chē)道)橫斷面[2]及某高速公路隧道(單向2車(chē)道)橫斷面[5]的參數(shù)及內(nèi)輪廓線(xiàn)對(duì)比。

表1 異形橢圓與隧道內(nèi)輪廓線(xiàn)特性參數(shù)Table 1 Characteristic parameters of heteromorphic ellipse and tunnel inner outline

圖1 異形橢圓與隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)(單位：cm)Fig. 1 Heteromorphic ellipse and inner outline of tunnel cross-section

由表1及圖1可以看出：

1)異形橢圓與青島膠州灣海底隧道四心圓橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)吻合較好，主要差別出現(xiàn)在隧道橫斷面的仰拱部位。異形橢圓的仰拱更加平坦，橫斷面最大寬度相應(yīng)的縱向位置坐標(biāo)zw下移，有利于建筑限界的整體布置下移，可以減少路基底下的回填工程量。

2)異形橢圓與某高速公路隧道三心圓橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)吻合較好，主要差別出現(xiàn)在隧道橫斷面的拱腳部位。

鑒于異形橢圓與三心圓、四心圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)吻合較好，筆者創(chuàng)造性提出異形橢圓(即Wu’s曲線(xiàn))隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)形狀。

2 異形橢圓的幾何性質(zhì)

2.1 面 積

將式(6)等號(hào)兩邊開(kāi)平方根，再同乘以W。由于異形橢圓的單軸對(duì)稱(chēng)性，在z∈[0，H]區(qū)間上對(duì)2y(z)求定積分，則，異形橢圓面積S按式(7)計(jì)算：

(7)

進(jìn)行變量替換，令z/H=ζ，積分上限變?yōu)?，則有

(8)

可見(jiàn)，異形橢圓面積等于異形橢圓面積系數(shù)、高度和寬度的乘積。

(9)

(10)

2.2 形心坐標(biāo)

形心即異形橢圓的幾何中心。對(duì)于密度均勻的實(shí)物體，形心與質(zhì)心重合。對(duì)于只有單對(duì)稱(chēng)軸的異形橢圓，形心一定在其對(duì)稱(chēng)軸上，但需要通過(guò)對(duì)非對(duì)稱(chēng)軸面積矩的計(jì)算來(lái)確定具體位置。根據(jù)總面積矩等于各分面積矩之和的原理，有：

(11)

(12)

(13)

因此，異形橢圓的形心位于對(duì)稱(chēng)軸上相對(duì)高度坐標(biāo)z′c=zc/H≈0.465處，該處的高度低于中位線(xiàn)(即異形橢圓半高度)的7.05%。

2.3 壓縮系數(shù)θ及形狀分類(lèi)

圖2 不同壓縮系數(shù)θ的異形橢圓Fig. 2 Heteromorphic ellipse with different compression coefficient θ

由圖2可以看出，當(dāng)壓縮系數(shù)θ由小到大變化時(shí)，異形橢圓的形狀由高瘦向?qū)捙肿兓?，更像一個(gè)自然圖形，如：圖2(a)形似玉米棒，圖2(d)形似面包形狀，而圖2(b)、(c)形似梨、桃、蘋(píng)果等形狀。由此得到，壓縮系數(shù)θ可以反映異形橢圓的形狀變化特征。因此，可按壓縮系數(shù)θ對(duì)異形橢圓形狀進(jìn)行分類(lèi)，如表2。

表2 基于壓縮系數(shù)θ的異形橢圓形狀分類(lèi)Table 2 Shape classification of heteromorphic ellipse based on compression coefficient θ

2.4 周 長(zhǎng)

根據(jù)高等數(shù)學(xué)平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的積分定義，異形橢圓的周長(zhǎng)L積分式為：

(14)

對(duì)式(6)兩邊求導(dǎo)，整理得到：

(15)

令ζ=z/H，且θ=W/H，將式(15)代入式(14)，得：

(16)

式中：Th為異形橢圓系數(shù)。

參照橢圓的周長(zhǎng)定理，由式(16)定義異形橢圓的周長(zhǎng)定理：異形橢圓的周長(zhǎng)L等于異形橢圓系數(shù)Th與異形橢圓半寬度W/2和半高度H/2之和的乘積。

由異形橢圓系數(shù)的表達(dá)式可以看出，異形橢圓系數(shù)Th只是壓縮系數(shù)θ的函數(shù)。在[0.01，100]區(qū)間上給定一系列θ值，采用數(shù)值積分方法，對(duì)異形橢圓系數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分運(yùn)算，得到一系列相應(yīng)的Th或θ值，從而可得異形橢圓系數(shù)與壓縮系數(shù)的關(guān)系曲線(xiàn)。圖3為在相同條件下異形橢圓系數(shù)及橢圓系數(shù)(摘自數(shù)學(xué)手冊(cè))與壓縮系數(shù)θ的關(guān)系曲線(xiàn)。

圖3 異形橢圓系數(shù)Th及橢圓系數(shù)T與壓縮系數(shù)θ的關(guān)系曲線(xiàn)Fig. 3 Relation curves of heteromorphic elliptic coefficient Th,elliptic coefficient T and compression coefficient θ

由圖3可以看出：

1)橢圓系數(shù)T關(guān)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)壓縮系數(shù)θ=1左右對(duì)稱(chēng)，即在寬高比與高寬比相等條件下，橢圓系數(shù)相等。

2)在壓縮系數(shù)θ相同的條件下，異形橢圓系數(shù)Th與橢圓系數(shù)T存在以下3種關(guān)系：①Th>T；②當(dāng)2種橢圓的θ→ 1時(shí)，Th與T的相對(duì)差值較大；③當(dāng)2種橢圓的θ< 0.1或θ> 10時(shí)，Th與T的相對(duì)差值較小。

3)θ=1時(shí)，異形橢圓為標(biāo)準(zhǔn)型，異形橢圓系數(shù)Th=3.191 244，橢圓系數(shù)T=π，Th比T大1.58%；標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的面積系數(shù)μ異形橢圓/Th=0.249 227，該值僅比圓的面積系數(shù)μ圓/π小-0.31%，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓具有周長(zhǎng)一定條件下面積近似最大的特點(diǎn)。

4)一個(gè)有趣的現(xiàn)象是：異形橢圓系數(shù)的最小值Th,min=3.190 820出現(xiàn)在壓縮系數(shù)θ=1.05處，而不是在θ=1處。當(dāng)θ< 1.05時(shí)，Th隨著θ的增大而單調(diào)下降；θ>1.05時(shí)，Th隨著θ的增大單調(diào)上升。

2.5 曲率半徑ρ

曲率表示曲線(xiàn)在某一點(diǎn)的彎曲程度，曲率越大，曲線(xiàn)的彎曲程度越大。曲率的倒數(shù)為曲率半徑，異形橢圓的曲率半徑ρ與其形狀(壓縮系數(shù)θ)和尺寸大小密切相關(guān)。在θ相同條件下，異形橢圓尺寸越大，曲線(xiàn)上相應(yīng)點(diǎn)的ρ越大，曲線(xiàn)的彎曲程度越小。

(17)

(18)

(19)

曲率半徑公式如式(20)：

(20)

考慮到異形橢圓的單軸對(duì)稱(chēng)性，繪制出半邊y、y′、y″及ρ曲線(xiàn)進(jìn)行分析，如圖4。

圖4 單位標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓半邊y、y′、y″和 ρ曲線(xiàn) Fig. 4 Half curves of unit standard-type heteromorphic ellipse y, y′, y″ and ρ

由圖4可以看出：

1)在(0，1)區(qū)間上，單位標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓y=f(z)存在1階、2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，表明異形橢圓和1階導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)均為光滑曲線(xiàn)。

2)在[0，1]區(qū)間上，單位標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的ρ是連續(xù)變化的，ρ隨著z變化的函數(shù)曲線(xiàn)呈“2”字形變化，即：當(dāng)z→0時(shí)，ρ→∞；隨著z的逐漸增大，ρ迅速減小，當(dāng)z=0.0427時(shí)，ρ達(dá)到極小值ρmin=0.248 2；隨后，隨著z的增大，ρ逐漸增大，當(dāng)z=0.677 9時(shí)，ρ達(dá)到極大值ρmax=1.645 7；之后，隨著z的增大，ρ再次減小，當(dāng)z=1.000 0時(shí)，ρ=0.339 8。

3)需要注意的是，在異形橢圓壓縮系數(shù)θ和尺寸大小不同的情況下，曲率半徑ρ隨著z變化的函數(shù)曲線(xiàn)仍然具有“2”字形變化規(guī)律，只是ρ的數(shù)值和極值點(diǎn)位置發(fā)生了改變。

3 異形橢圓橫斷面的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

3.1 建筑限界控制點(diǎn)幾何關(guān)系

在JTG D 70—2004《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》的單向公路隧道建筑限界與控制點(diǎn)詳圖中，添加坐標(biāo)系和各控制點(diǎn)編號(hào)，取隧道中線(xiàn)與異形橢圓對(duì)稱(chēng)軸z重合，車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0，y0)，如圖5，圖中：H0為建筑限界高度；W0為行車(chē)道寬度；H1為檢修道或人行道空間高度；H2為建筑限界頂角下緣高度；LL、LR為左、右側(cè)向?qū)挾龋籆為余寬；J(R)為檢修道(人行道)寬度；h為檢修道或人行道的高度；EL、ER為建筑限界左、右頂角寬度；i為隧道路面橫坡；hw為通風(fēng)機(jī)、內(nèi)裝設(shè)備等安裝所需的隧道中線(xiàn)最小高度。

在圖5中隧道橫斷面建筑限界各控制點(diǎn)編號(hào)k=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，n；控制點(diǎn)數(shù)n=9。當(dāng)自然通風(fēng)量可以滿(mǎn)足隧道通風(fēng)需要時(shí)，可不設(shè)Ⅸ號(hào)控制點(diǎn)，此時(shí)控制點(diǎn)數(shù)n=8。

圖5 建筑限界與控制點(diǎn)Fig. 5 Construction clearance and control point

3.2 建筑限界控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式

根據(jù)圖5中隧道建筑限界控制點(diǎn)的幾何關(guān)系，可推算得到各控制點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，見(jiàn)表3。

轉(zhuǎn)化運(yùn)作機(jī)制還沒(méi)有有效形成 目前，學(xué)校雖然制定了科技成果轉(zhuǎn)化、專(zhuān)利的管理辦法，提出科技成果轉(zhuǎn)化實(shí)施中，學(xué)校和課題組的股份或收益分配比例基本為30:70，但是就目前來(lái)看，對(duì)科技成果價(jià)值進(jìn)行評(píng)估這方面的辦法確實(shí)存在缺陷。對(duì)科技成果價(jià)值評(píng)估本身的難度很大，評(píng)估低了會(huì)涉及國(guó)有資產(chǎn)流失，評(píng)估高了會(huì)沒(méi)有市場(chǎng)。在科技成果轉(zhuǎn)化過(guò)程中，科技成果價(jià)值評(píng)估可以說(shuō)是一個(gè)非常重要且關(guān)鍵的問(wèn)題，同時(shí)是進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化的必要環(huán)節(jié)。然而關(guān)于科技成果價(jià)值評(píng)估辦法，不是隨便就可以制定的，而是需要由國(guó)有資產(chǎn)管理、計(jì)財(cái)以及科技等部門(mén)來(lái)聯(lián)合進(jìn)行制定。

表3 建筑限界控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式Table 3 Coordinate expression of construction clearance control points

由表3可以看出，建筑限界各控制點(diǎn)的縱向坐標(biāo)z和橫向坐標(biāo)y表達(dá)式為車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0，y0)和幾何尺寸的函數(shù)。前者路面中線(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)由優(yōu)化計(jì)算確定，后者建筑限界的各幾何尺寸由道路等級(jí)、車(chē)道數(shù)、車(chē)型、車(chē)速、單雙向行駛等設(shè)計(jì)條件，根據(jù)JTG D 70—2004《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》的要求確定。

3.3 約束條件與目標(biāo)函數(shù)

由式(6)變形得到異形橢圓的顯函數(shù)方程：

(21)

為了達(dá)到建筑限界的任何點(diǎn)均在異形橢圓之內(nèi)的設(shè)計(jì)要求，異形橢圓至少應(yīng)將建筑限界完全包容在內(nèi)，即異形橢圓必須套進(jìn)隧道橫斷面建筑限界各控制點(diǎn)。圖6為異形橢圓與建筑限界對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)示意。

圖6 異形橢圓與建筑限界對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)示意Fig. 6 Control points corresponding to heteromorphic ellipse and construction clearance

圖6中，在縱向坐標(biāo)z相同的條件下，異形橢圓上與建筑限界對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)編號(hào)依次為k′=Ⅰ′、Ⅱ′、…、Ⅸ′)。要達(dá)到隧道洞室凈空面積最小的目標(biāo)，就應(yīng)該使得滿(mǎn)足建筑限界的異形橢圓面積最小。

目標(biāo)函數(shù)是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案好壞的標(biāo)準(zhǔn)。一般而言，目標(biāo)函數(shù)可以表示為問(wèn)題變量的解析表達(dá)式。目標(biāo)函數(shù)可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)，但應(yīng)盡量使目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目少一些。對(duì)異形橢圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)進(jìn)行優(yōu)化，可選擇滿(mǎn)足約束條件的單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法，其約束條件和目標(biāo)函數(shù)的確定如下：

設(shè)異形橢圓與建筑限界各對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)的水平距離為dk，為確保異形橢圓上對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)在建筑限界控制點(diǎn)之外或重合，要求dk≥ 0，即

dk=|f(zk)|-|yk|≥0，(k=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，n)

(22)

以隧道洞室凈空面積最小為目標(biāo)，根據(jù)異形橢圓的面積式(8)，可得到目標(biāo)函數(shù)

S=min(μWH)=μmin(WH)

(23)

3.4 優(yōu)化計(jì)算

異形橢圓隧道橫斷面的優(yōu)化計(jì)算分為3種情形：①控制點(diǎn)數(shù)n=9；②控制點(diǎn)數(shù)n=8或9，給定隧道橫斷面寬高比W/H，即異形橢圓的壓縮系數(shù)θ；③控制點(diǎn)數(shù)n=8，給定最大寬度W或最大高度H限定值。針對(duì)這3種情形，在對(duì)應(yīng)的給定條件下，同時(shí)滿(mǎn)足約束條件式(22)，采用目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法——傳統(tǒng)優(yōu)化算法或智能優(yōu)化算法進(jìn)行異形橢圓隧道設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)步驟如下：

2)運(yùn)行單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法程序(如MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

3)根據(jù)優(yōu)化計(jì)算結(jié)果，即目標(biāo)函數(shù)式(23)的最小值，給出異形橢圓隧道橫斷面的寬度W和高度H及車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0，y0)。

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

某雙向四車(chē)道高速公路穿山隧道工程，采用分離式獨(dú)立雙洞設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)時(shí)速80 km/h[5]。隧道單洞右幅行車(chē)道的建筑限界形狀如圖5，限界尺寸為：H0=500 cm，W0=750 cm，H1=250 cm，H2=400 cm，LL=50 cm，LR=75 cm，C=25cm，J(R)=50 cm，h=35 cm，EL=50 cm，ER=75 cm，i=0.015，hw=200 cm。建筑限界最大范圍為1 025 cm× 500 cm，考慮通風(fēng)機(jī)、內(nèi)裝設(shè)備等安裝所需的隧道中線(xiàn)最小高度，控制點(diǎn)數(shù)n=9。

在設(shè)計(jì)實(shí)例中，異形橢圓隧道橫斷面的優(yōu)化計(jì)算屬于3.4優(yōu)化計(jì)算中的情形①，控制點(diǎn)數(shù)n=9。

根據(jù)表3中控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，化簡(jiǎn)得到該隧道工程建筑限界控制點(diǎn)坐標(biāo)和由式(21)計(jì)算得出的異形橢圓對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)，如表4。

表4 建筑限界與異形橢圓對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)坐標(biāo)及優(yōu)化結(jié)果Table 4 Coordinate of control point corresponding to the construction clearance and heteromorphic ellipse and optimization results

在表4中，取隧道三心圓橫斷面[5]的最大寬度和最大高度作為異形橢圓優(yōu)化計(jì)算的初始寬度和高度W=1 100 cm和H=825 cm，有z0=143.500 cm，取y0=0，使優(yōu)化計(jì)算的收斂過(guò)程更快。

在約束條件式(22)條件下，運(yùn)行單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法程序，求目標(biāo)函數(shù)式(23)的最小值。經(jīng)過(guò)優(yōu)化計(jì)算和設(shè)計(jì)參數(shù)取整，最后得到滿(mǎn)足約束條件的異形橢圓與建筑限界各對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)水平距離ds的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4(右列)，目標(biāo)函數(shù)最小值為S=728 021 cm2，相應(yīng)的異形橢圓隧道橫斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)為最大寬度W=1 110 cm和最大高度H=825 cm，車(chē)道中線(xiàn)上路面點(diǎn)坐標(biāo)(z0=121 cm，y0=-17 cm)。

據(jù)此繪制滿(mǎn)足設(shè)計(jì)條件的異形橢圓隧道橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)，見(jiàn)圖7，同時(shí)繪出三心圓內(nèi)輪廓線(xiàn)，以進(jìn)行比較。圖中：r1=550 cm，圓心坐標(biāo)(x1,y1)=(275，0)，圓心角φ1=2×103°45′24″；r2=120 cm，圓心坐標(biāo)(x2,y2)=(172.7，±417.7)，圓心角為φ2=61°50′53″的兩段圓弧；r3=1 800 cm，圓心坐標(biāo)(x3,y3)=(1 800，0)，圓心角φ3=2×14°23′43″。

圖7 異形橢圓與三心圓隧道橫斷面(單位:cm)Fig. 7 Tunnel cross-section of heteromorphic ellipse and three centered circle

由圖7和表4中的優(yōu)化結(jié)果可知，單洞右幅行車(chē)道建筑限界的主要約束為Ⅰ、Ⅳ和Ⅴ號(hào)控制點(diǎn)。在設(shè)計(jì)參數(shù)取整后，建筑限界上這3個(gè)控制點(diǎn)外側(cè)與異形橢圓對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)的水平距離均為1 cm；滿(mǎn)足通風(fēng)機(jī)、內(nèi)裝設(shè)備等安裝所需的隧道中線(xiàn)最小高度的Ⅸ號(hào)控制點(diǎn)在z軸上zⅨ=821 cm處，即Ⅸ號(hào)控制點(diǎn)頂部與異形橢圓最高點(diǎn)的垂直距離為4 cm?？傮w來(lái)看，經(jīng)過(guò)優(yōu)化計(jì)算所得到的異形橢圓與建筑限界的符合程度高。

將異形橢圓與三心圓隧道橫斷面進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：

1)與三心圓相比，異形橢圓橫斷面內(nèi)輪廓線(xiàn)的寬度增大10 cm，面積減小12 414 cm2(三心圓面積為740 435 cm2)，高度相同。表明，異形橢圓可節(jié)省隧道洞室凈空土石方量1.68%。

2)異形橢圓的壓縮系數(shù)θ=W/H=1.35，由圖3可得異形橢圓系數(shù)Th=3.20，由式(16)可計(jì)算得到異形橢圓的周長(zhǎng)L=3 096 cm，而三心圓周長(zhǎng)為3 156 cm。表明，異形橢圓可節(jié)省隧道洞室支護(hù)與襯砌施工材料1.90%。

3)異形橢圓的1階、2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)均存在，曲率半徑呈現(xiàn)連續(xù)變化規(guī)律，而三心圓橫斷面的3個(gè)曲率半徑在連接點(diǎn)(切點(diǎn))出現(xiàn)突變現(xiàn)象，受力條件差。

4)由圖7可以看出，異形橢圓上部與三心圓橫斷面大致吻合，下部克服了三心圓橫斷面的拱腳外凸現(xiàn)象，可節(jié)省仰拱開(kāi)挖和回填工程量。

5)異形橢圓橫斷面只需要2個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，相比三心圓橫斷面需要4個(gè)獨(dú)立參數(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)更加便捷，且易于掌握和誤差控制。

5 結(jié) 論

1)基于河流二維對(duì)流擴(kuò)散物質(zhì)的等濃度線(xiàn)方程，定義了一種新型二參數(shù)異形橢圓內(nèi)輪廓線(xiàn)方程，給出了異形橢圓面積、周長(zhǎng)、形心坐標(biāo)、壓縮系數(shù)和曲率半徑的計(jì)算公式；對(duì)異形橢圓進(jìn)行了形狀分類(lèi)：標(biāo)準(zhǔn)型(θ=1)，H型(0<θ<1)，W型(θ>1)。

2)異形橢圓的面積等于異形橢圓面積系數(shù)、高度與寬度的乘積；周長(zhǎng)等于異形橢圓系數(shù)與異形橢圓半高度和半寬度之和的乘積。

3)根據(jù)單向公路隧道建筑限界，給出了控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式；按照將建筑限界完全包容在內(nèi)和隧道洞室凈空面積最小的原則，提出了異形橢圓橫斷面的約束條件、目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

4)異形橢圓與建筑限界的符合程度高，與三心圓橫斷面相比，異形橢圓具有設(shè)計(jì)參數(shù)少、曲率半徑變化連續(xù)、隧道洞室凈空面積小、支護(hù)與襯砌周長(zhǎng)短、仰拱開(kāi)挖和回填工程量小等優(yōu)點(diǎn)。