沙堡的最佳3維幾何形狀

唐明陽(yáng) 于晶晶 張明智

（1湖北大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430062；2 湖北大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430062；3 湖北大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430062）

一、問(wèn)題分析

眾所周知，沙堡不能長(zhǎng)時(shí)間保持固定形狀。潮汐和波浪，雨水，空氣濕度以及沙水比對(duì)沙丘都有不同程度的侵蝕。顯然，這與力有關(guān)，例如海浪撞擊、雨水沖刷，沙與水的比例可以改變沙粒之間的動(dòng)摩擦系數(shù)。因此，我們對(duì)砂粒進(jìn)行了受力分析。

首先，為了研究在波浪和潮汐作用下沙丘基礎(chǔ)的最佳三維幾何形狀，我們分析了直接受到波浪影響的沙粒。在本文中，我們假設(shè)物理量θ代表沙丘切線平面與地面之間的角度。我們研究了沒(méi)有波浪的自然狀態(tài)，和沙粒在波浪作用下脫離沙丘之前的臨界狀態(tài)。我們假設(shè)海浪是作用在砂粒水平方向上的恒定力，并通過(guò)函數(shù)關(guān)系，可得最佳角度。

根據(jù)對(duì)第一個(gè)問(wèn)題的分析，我們認(rèn)為在下雨時(shí)，沙子會(huì)受到垂直向下的力和沿傾斜平面的向下力。這是因?yàn)橐恍┯晁ㄟ^(guò)滲透進(jìn)入谷粒之間，并在谷粒上具有垂直向下的力，而其他雨水則以徑流的形式聚集在沙丘表面上，并且沿著斜坡在谷粒上具有向下的力。進(jìn)行了砂粒的受力分析，得到了波浪力的大小與角度θ之間的關(guān)系，并繪制了圖像。同時(shí)，由于角度仍然是一個(gè)固定值，因此第一個(gè)問(wèn)題確定的最佳三維幾何模型仍然是下雨時(shí)的最佳基礎(chǔ)模型。

由于還有其他因素會(huì)影響沙堡的穩(wěn)定性，因此與海的距離，沙堡的體積以及沙堡中的沙子材料都可以提高其穩(wěn)定

二、問(wèn)題假設(shè)

1.不同沙丘的地基距海水相同。

2.不同的沙丘基礎(chǔ)使用完全相同的沙粒。

3.在第一個(gè)問(wèn)題的建立確定最佳三維沙堡結(jié)構(gòu)的模型的過(guò)程中，假定不同的沙堡地基使用相同的水沙混合比。

4.在第一個(gè)問(wèn)題的建立確定最佳三維沙堡結(jié)構(gòu)的模型的過(guò)程中，假定在沙子上的波浪力是水平方向的恒定力，并忽略空氣阻力，空氣濕度等的影響。

5.在建立確定最佳三維沙堡結(jié)構(gòu)的模型的過(guò)程中，假設(shè)波浪僅在第一時(shí)間對(duì)表層砂產(chǎn)生影響，在表層砂分離后，剩余的表層砂受到波浪作用。

6.在第二個(gè)問(wèn)題中建立求解最佳水沙混合比的模型的過(guò)程中，假設(shè)沙水混合后沒(méi)有體積損失。

三、符號(hào)

為方便起見(jiàn)，我們?cè)谀Ｐ椭惺褂靡韵路?hào)，請(qǐng)參見(jiàn)表1。

表1：符號(hào)及說(shuō)明

四、模型

（一）最佳三維模型

首先，我們考慮在自然狀態(tài)下沙不受波浪和潮汐影響的條件，分析沙粒在沙丘表面上的受力，如下圖所示：

圖4.1.1 在沒(méi)有海浪的情況下作用在沙粒上的力

沙子受到自身的重力，垂直于斜面的支撐力和沿斜面向上的靜摩擦力，假設(shè)x方向是摩擦力的方向，y方向是支持力的方向。沿X軸和Y軸分解力，寫(xiě)出力平衡方程：

u是顆粒之間的靜摩擦系數(shù)，g=9.8m/s2。為使砂子保持穩(wěn)定靜止?fàn)顟B(tài)，有：

所以，在波浪和潮汐的作用下，沙堆可以保持穩(wěn)定的條件是：

下面是波浪作用下的沙堆受力分析，其中，我們將波浪作用在沙丘上的力視為水平方向上的恒定力。在臨界條件下，沙粒正好要脫離，受力如下：

圖2.波浪作用下作用在沙粒上的力

對(duì)于沙粒即將離開(kāi)的狀態(tài)，沿x和y方向的力關(guān)系如下：

力F1和角θ之間的關(guān)系如下：

繪制F1-θ圖像以獲取F1取最大值（即最佳角度值）時(shí)角度θ的大小。當(dāng)取該角度值時(shí)，與其他角度相比，剛好脫離時(shí)的波浪力值最大，沙粒離開(kāi)沙丘，也就是說(shuō)，沙丘開(kāi)始瓦解。因此，在最佳形狀下，角度θ為一定值，即由沙丘的外表面切線與地面所成的角度為固定值。最佳幾何圖形應(yīng)該是帶有固定角度圖形，如圓錐形，金字塔形或圓臺(tái)形。

（二）最好的沙水混合物比例

從問(wèn)題1的模型中，我們可以知道沙水比會(huì)影響沙丘的穩(wěn)定性。

我們考慮經(jīng)典的Mohr-Coulomb分析[2]：

Sa是內(nèi)聚力，D是破壞深度處的重力，k是內(nèi)摩擦系數(shù)，ρ是沙堆的質(zhì)量密度，g是重力加速度。

液體會(huì)改變沙堆的內(nèi)聚力，水的作用會(huì)增強(qiáng)沙子的結(jié)合。

為了獲得良好的組合，我們需要計(jì)算出問(wèn)題中的最佳臨界角1，我們可以得到適當(dāng)比例的砂與水。

沙堆的質(zhì)量密度是沙子和水的平均密度，我們有：

其中，k通常為30-35。

我們可以使用臨界角計(jì)算最佳沙水比例。

（三）降雨影響

下雨時(shí)，水會(huì)滲入沙粒間，產(chǎn)生垂直向下的滲透力，其余的水隨沙丘斜面流動(dòng)，形成地表徑流，對(duì)沙粒產(chǎn)生沿斜面向下的力。因此，除上述作用力外，砂子還受到垂直向下的作用力和沿斜面的向下作用力，如下圖所示：

圖4.3 下雨時(shí)沙粒受力情況

對(duì)沙粒剛剛脫離沙丘進(jìn)行受力分析（臨界狀態(tài)）：

其中F2為地表徑流的侵蝕力，F(xiàn)3為雨水沿斜面流動(dòng)的沖刷力?？梢酝ㄟ^(guò)繪制F 1和角度θ之間的關(guān)系曲線來(lái)獲得最佳角度值。易知，角度仍然是一定值，因此，即使下雨后，該模型仍然是最佳的三維幾何模型。