基于等幾何分析的參數(shù)多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化*

胡傳豐, 任靖雯, 胡 慧, 藺宏偉,2

(1. 浙江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 杭州 310027;2. 浙江大學(xué) 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 杭州 310058)

多孔結(jié)構(gòu)是一種由大量孔洞組成的實(shí)體結(jié)構(gòu), 在自然界和人工制品中廣泛存在, 如木材、骨骼、 珊瑚、 海綿等, 可長期承受較大的靜態(tài)載荷和周期載荷. 與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)相比, 多孔結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、 比表面積大、 高滲透性、 高比強(qiáng)度等優(yōu)點(diǎn), 以及抗沖擊性[1]、 阻尼增強(qiáng)[2]、 缺陷容忍性[3]等特性. 這些優(yōu)良特性使其應(yīng)用范圍遠(yuǎn)超出單一功能材料, 因而廣泛應(yīng)用于組織工程、 輕量化設(shè)計(jì)及能量吸收等領(lǐng)域. 在組織工程領(lǐng)域, 高滲透性和高比表面積的多孔結(jié)構(gòu), 有助于建立一個(gè)適宜細(xì)胞附著、 遷移繁殖、 營養(yǎng)運(yùn)輸和新陳代謝等的生物微環(huán)境, 常被作為組織支架移植到人體組織缺損部位, 輔助組織修復(fù)再生[4-6]. 在輕量化設(shè)計(jì)領(lǐng)域, 由于多孔結(jié)構(gòu)質(zhì)量輕、 相對密度低, 因此利用多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行飛機(jī)機(jī)翼內(nèi)部結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可有效降低機(jī)翼重量, 同時(shí)提高機(jī)翼抗彎剛度[7]. 在能量吸收領(lǐng)域, 由于多孔結(jié)構(gòu)具有較大的壓縮應(yīng)變, 因此在受到外力沖擊時(shí), 可借助自身結(jié)構(gòu)特性將動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)閴嚎s能, 從而提高能量吸收能力[8]. 多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能不僅與材料相關(guān), 還與自身分布相關(guān), 所以需對多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì), 以提高其力學(xué)相關(guān)性能.

多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法主要包括CAD(management software computer aided design)造型設(shè)計(jì)方法和隱式曲面造型設(shè)計(jì)方法, 其中CAD造型設(shè)計(jì)方法適用于設(shè)計(jì)簡單規(guī)則的多孔結(jié)構(gòu). Cheah等[9]通過對多面體形狀的研究, 設(shè)計(jì)了基于多面體的多孔單元庫; Lal等[10]提出利用微球填充方法設(shè)計(jì)多孔支架. 隱式曲面造型以三向周期極小曲面(triply periodic minimal surface, TPMS)為研究熱點(diǎn). Yoo首先利用TPMS設(shè)計(jì)了多孔單元庫, 同時(shí)提出了利用六面體單元映射的方法構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu)[11]; 之后, Yoo通過對TPMS與實(shí)體進(jìn)行求交并構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu), 求交運(yùn)算中引入了距離場算法替代Boole操作, 極大減少了時(shí)間的消耗[4]，并利用徑向基函數(shù)進(jìn)行空間插值控制孔徑大小分布, 構(gòu)建了非均質(zhì)多孔結(jié)構(gòu)[5]. 為在多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中充分利用多孔單元庫, Yang等[12]利用Sigmoid函數(shù)和Gauss徑向基函數(shù)以任意形狀的過度邊界融合兩種不同類型的多孔單元, 生成了形狀更復(fù)雜的多孔結(jié)構(gòu)； Shi等[13]結(jié)合TPMS和Sigmoid函數(shù)從CT數(shù)據(jù)中重建多孔支架結(jié)構(gòu)； Feng等[6]利用T樣條函數(shù)表示幾何模型, 通過分析TPMS的相關(guān)參數(shù)與多孔結(jié)構(gòu)的孔隙率、 比表面積之間的關(guān)系, 設(shè)計(jì)了孔隙率、 比表面積可控的多孔結(jié)構(gòu)； Savio等[14]基于TPMS提出了CAD環(huán)境下變厚度多孔結(jié)構(gòu)幾何建模的方法.

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)以力學(xué)原理和數(shù)學(xué)規(guī)劃算法為基礎(chǔ), 通過優(yōu)化方法改變工程結(jié)構(gòu)的尺寸、 形狀和拓?fù)? 在給定的設(shè)計(jì)域和約束條件下, 實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最佳性能設(shè)計(jì). 目前的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要分為4類: 變密度法[15-16]、 水平集法[17-18]、 拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法[19]和相場法[20]. 相比于傳統(tǒng)有限元分析方法, 等幾何分析方法緊密結(jié)合幾何模型信息, 避免網(wǎng)格劃分過程, 具有高階連續(xù)性, 在保證幾何精確性的同時(shí), 可有效降低求解問題的自由度, 提高計(jì)算模擬精度和效率[21-22]. 由于拓?fù)鋬?yōu)化中的變密度法具有直觀的數(shù)學(xué)模型, 且實(shí)現(xiàn)簡單、 計(jì)算高效, 因此, 可將等幾何分析與變密度法融合發(fā)展形成基于變密度的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法. Hassani等[23]提出了結(jié)合優(yōu)化準(zhǔn)則法的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法, 并通過二維平面優(yōu)化問題算例表明該方法可有效抑制棋盤格現(xiàn)象； Qian[24]提出了一種基于B樣條函數(shù)的變密度框架下拓?fù)鋬?yōu)化方法, 將密度分布引入B樣條函數(shù)空間, 并將控制點(diǎn)對應(yīng)的相對密度值作為優(yōu)化變量進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化； Liu等[25]利用變密度框架下的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法分析了全局應(yīng)力約束下的拓?fù)鋬?yōu)化問題.

目前, 針對多孔單元的拓?fù)鋬?yōu)化研究已取得許多成果[26-29], 對多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化, 主要包含以下兩類方法： 第一類方法[30-32]先優(yōu)化設(shè)計(jì)域的材料密度分布, 然后根據(jù)密度分布將分析單元替換為對應(yīng)材料密度下的多孔單元； 第二類方法[33-34]預(yù)先設(shè)計(jì)晶格和單元結(jié)構(gòu), 然后在一個(gè)單元內(nèi)優(yōu)化結(jié)構(gòu)尺寸或壁厚. 這兩類方法各有其優(yōu)缺點(diǎn), 例如： 第一類方法在結(jié)構(gòu)層次上, 而不是在每個(gè)多孔單元中優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu); 第二類方法在結(jié)構(gòu)層和單元層上都得到了優(yōu)化, 但僅適用于具有一定壁厚的規(guī)則多孔單元; 上述方法均為基于有限元分析的優(yōu)化方法, 從而導(dǎo)致在處理相互連通的多孔單元時(shí), 無法保證多孔單元密度分布或壁厚分布的連續(xù)性, 進(jìn)而相鄰多孔單元不能光滑連接. 特別地, Li等[26]基于TPMS提出了功能梯度周期曲面, 構(gòu)建多孔單元結(jié)構(gòu)與密度建立映射關(guān)系, 利用有限元分析方法求解柔順度和熱傳導(dǎo)問題, 尋找最優(yōu)的單元密度分布, 最后對單元密度進(jìn)行空間插值獲得節(jié)點(diǎn)對應(yīng)密度值, 并生成功能梯度多孔結(jié)構(gòu). 本文提出的變密度框架下多孔結(jié)構(gòu)等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法可有效結(jié)合上述兩類方法的優(yōu)勢, 通過TPMS多孔單元特征參數(shù)改變單元壁厚, 同時(shí)建立與材料相對密度間的映射關(guān)系, 以多孔單元特征參數(shù)作為優(yōu)化變量進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化, 保證優(yōu)化構(gòu)建的多孔結(jié)構(gòu)中多孔單元光滑連接.

本文利用TPMS設(shè)計(jì)參數(shù)多孔單元, 并分析多孔單元特征參數(shù)與材料分布間的關(guān)系, 再利用變密度框架下的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化模型對多孔單元特征參數(shù)分布進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化, 以實(shí)現(xiàn)最佳的多孔單元特征參數(shù)分布, 提高多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能. 相比基于傳統(tǒng)有限元分析的結(jié)構(gòu)優(yōu)化, 等幾何分析的物理模型和多孔單元特征參數(shù)采用B樣條表示, 提高了仿真計(jì)算的精度, 同時(shí)多孔結(jié)構(gòu)中多孔單元個(gè)數(shù)可調(diào)控, 無需與分析單元數(shù)保持一致, 且多孔結(jié)構(gòu)中多孔單元間連接的連續(xù)性得到了保證. 本文方法主要有以下創(chuàng)新點(diǎn)： 1) 提出了基于等幾何分析的參數(shù)多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法; 2) 多孔結(jié)構(gòu)中多孔單元個(gè)數(shù)可調(diào)控; 3) 多孔結(jié)構(gòu)中多孔單元間光滑連接.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 B樣條

p次B樣條曲線定義[35]為

(1)

其中{Pi}是控制點(diǎn)，Ni,p(u)是定義在節(jié)點(diǎn)向量U=(u0,u1,…,um+p+1)上的p次B樣條基函數(shù), 且滿足u0≤u1≤…≤um+p+1. B樣條基函數(shù)為

(2)

由此延伸定義出B樣條曲面和B樣條體, 分別為

(3)

(4)

特別地, 由于本文研究薄板多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題, 實(shí)際薄板以B樣條曲面形式表示, 但針對平面應(yīng)力問題, 薄板以二維B樣條曲面表示.

1.2 三向周期極小曲面

TPMS是在歐氏空間中沿3個(gè)獨(dú)立方向周期性無限延伸的隱式曲面, 具有平均曲率為零的特點(diǎn), 并將空間平滑而連續(xù)地一分為二, 產(chǎn)生連通性優(yōu)異的孔結(jié)構(gòu), 是多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中一種較好的設(shè)計(jì)工具. 由于TPMS參數(shù)表達(dá)形式相對復(fù)雜, 因此通常采用Fourier級數(shù)定義的周期曲面對其逼近[36]:

(5)

其中Ak為振幅,hk為倒空間的格矢量,r為空間位置矢量,λk為波長,Pk為相位,C為等值面閾值常數(shù). 表1列出了P,D,G,IWP 4種類型TPMS的表達(dá)式, 其中閾值C的有效范圍確保TPMS連通.αu,αv,αw表示曲面在空間3個(gè)方向上的周期. 特別地, 相比于其他類型的TPMS, 這4種曲面具有更大的表面積, 在多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛[37]. 此外, 本文利用移動(dòng)四面體方法[38]提取TPMS, 并構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu), 如圖1所示, 均為一個(gè)完整周期內(nèi)的曲面.

表1 TPMS三角函數(shù)表達(dá)式Table 1 Trigonometric function expression of TPMS

圖1 4類TPMSFig.1 Four types of TPMS

1.3 多孔單元

本文基于一個(gè)完整周期內(nèi)4種類型TPMS(圖1)設(shè)計(jì)了如圖2所示的4種類型多孔單元.

圖2 4類TPMS多孔單元Fig.2 Four types of TPMS porous elements

在多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中, 定義C值為多孔單元的特征參數(shù), 用于調(diào)控多孔單元孔徑的大小以及多孔單元內(nèi)材料的相對密度. 通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析, 發(fā)現(xiàn)4種多孔單元的特征參數(shù)C與相對密度ρ間存在如圖3所示的關(guān)系. 數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明, 在一定誤差范圍內(nèi), 特征參數(shù)C與材料相對密度ρ存在如下關(guān)系：

圖3 多孔單元特征參數(shù)C與材料相對密度ρ的關(guān)系Fig.3 Relationship between characteristic parameter C of porous element and relative density ρ of material

ρ=k1C+k2.

(6)

表2列出了不同多孔單元對應(yīng)的系數(shù)k1和k2.

表2 多孔單元特征參數(shù)C與材料相對密度ρ的函數(shù)系數(shù)Table 2 Function coefficients of characteristic parameter C of porous element and relative density ρ of material

2 基于等幾何分析的設(shè)計(jì)參數(shù)化

等幾何分析是一種新型的數(shù)值計(jì)算方法, 其將工程結(jié)構(gòu)的幾何表示、 分析及拓?fù)鋬?yōu)化過程緊密結(jié)合. 相比于傳統(tǒng)有限元分析方法, 等幾何分析方法具有幾何精確性和單元間高階連續(xù)性的優(yōu)點(diǎn), 提高了結(jié)構(gòu)分析的精確性和可信性. 結(jié)合等幾何分析的拓?fù)鋬?yōu)化方法, 可有效提高結(jié)構(gòu)分析和拓?fù)鋬?yōu)化的效率.

2.1 等幾何結(jié)構(gòu)分析

等幾何分析以等參思想為基礎(chǔ), 利用幾何模型的樣條基函數(shù)和控制點(diǎn)替代有限元分析中的單元形函數(shù)和節(jié)點(diǎn). 圖4為雙線性(p=q=1)和雙二次(p=q=2)等幾何單元組成的等幾何分析網(wǎng)格.

圖4 等幾何分析網(wǎng)格Fig.4 Iso-geometric analysis grid

進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí), 位移場表示為

(7)

其中,Ni,p(u),Nj,q(v)為式(2)中的B樣條基函數(shù)，Uij為控制點(diǎn)處的位移系數(shù). 本文利用等幾何方法求解平面應(yīng)力問題, 每個(gè)控制點(diǎn)處對應(yīng)兩個(gè)方向上的位移量Ux,Uy.

線彈性連續(xù)體的靜力平衡方程可表示為

KU=F,

(8)

其中K為整體剛度矩陣，U為控制點(diǎn)處位移向量，F(xiàn)為外部載荷向量. 整體剛度矩陣K可由單元?jiǎng)偠染仃囇b配得到, 表示為

(9)

其中Ωd為設(shè)計(jì)域Ω的離散域. 單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

(10)

式中的下標(biāo)i1,i2表示影響該單元Ωe的控制點(diǎn)索引,λ,μ為Lamé常數(shù), 與材料屬性相關(guān), 計(jì)算公式為

E為材料彈性模量,ν為材料Poisson比.

2.2 離散多孔結(jié)構(gòu)特征參數(shù)分布

本文采用B樣條函數(shù)建立多孔單元特征參數(shù)分布, 在二維設(shè)計(jì)域內(nèi)任意一點(diǎn)的多孔單元特征參數(shù)值可由下式計(jì)算:

(11)

其中Cij表示控制點(diǎn)處的多孔單元特征參數(shù)變量. 為簡化計(jì)算過程, 本文以單元內(nèi)恒定的特征參數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析. 以等幾何單元中心點(diǎn)的特征參數(shù)值作為該單元的特征參數(shù)值, 表示為

(12)

(13)

基于B樣條的多孔單元特征參數(shù)分布是光滑連續(xù)分布函數(shù), 這種表示方法相當(dāng)于對特征參數(shù)分布施加了光滑效果, 可有效避免在有限元分析中以單元進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化出現(xiàn)的棋盤格或孤島現(xiàn)象, 這是基于B樣條參數(shù)化設(shè)計(jì)的一個(gè)顯著優(yōu)勢.

3 多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 最小柔度優(yōu)化理論

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化最早是設(shè)計(jì)輕量化結(jié)構(gòu)[39], 其中固體各向同性材料懲罰模型(solid isotropic material with penalization, SIMP)[40]應(yīng)用最廣泛, 其通過在每個(gè)材料單元引入相對密度, 再優(yōu)化材料密度的分布, 所以也稱為變密度法. 這種優(yōu)化算法對目前多孔結(jié)構(gòu)的優(yōu)化非常有用, 通過建立多孔單元特征參數(shù)分布與材料相對密度間的映射關(guān)系, 然后在變密度法框架下基于等幾何分析求解優(yōu)化問題, 實(shí)現(xiàn)最佳性能的多孔單元特征參數(shù)分布, 提高多孔結(jié)構(gòu)的性能.

3.2 優(yōu)化函數(shù)

下面介紹多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的拓?fù)鋬?yōu)化算法, 結(jié)構(gòu)的總勢能[39]表示為

(14)

本文基于最小柔順度優(yōu)化問題, 確定多孔單元特征參數(shù)在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)中的分布, 使得柔順度最小化, 即最小化總勢能, 以使柔順度達(dá)到最小. 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(15)

其中:k1,k2為多孔單元特征參數(shù)與材料相對密度函數(shù)系數(shù)(見表2);Cij為多孔單元特征參數(shù)分布控制點(diǎn), 即函數(shù)優(yōu)化變量；Ce為等幾何單元中心特征參數(shù)(式(12))；t為密度懲罰因子, 本文取值為3； 第一個(gè)約束條件KU=F為彈性平衡方程, 表示位移向量U在外部載荷向量F下滿足平衡方程條件； 第二個(gè)約束條件為材料體積約束,V(·)表示多孔結(jié)構(gòu)相對體積函數(shù),Ve表示等幾何單元體積,V0表示設(shè)計(jì)域總體積,τ為給定體積分?jǐn)?shù), 表示優(yōu)化后的多孔結(jié)構(gòu)材料體積必須滿足給定材料體積量； 第三個(gè)約束條件為特征參數(shù)的約束, 表示特征參數(shù)約束在有效范圍內(nèi), 確保可構(gòu)建完整的多孔單元.

3.3 靈敏度分析

下面推導(dǎo)在變密度框架下等幾何拓?fù)鋬?yōu)化的靈敏度計(jì)算公式, 優(yōu)化變量為樣條控制點(diǎn)處對應(yīng)的多孔單元特征參數(shù)變量. 首先, 柔順度關(guān)于優(yōu)化變量的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為

(16)

結(jié)合式(13)可得

(17)

其次, 材料體積關(guān)于優(yōu)化變量的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為

(18)

本文采用優(yōu)化準(zhǔn)則法求解優(yōu)化問題(15), 參考文獻(xiàn)[39], 利用啟發(fā)式迭代更新優(yōu)化變量:

(19)

其中:m是移動(dòng)步長, 本文取值0.2;η(0<η<1)是阻尼系數(shù), 本文取值0.5;Bij表達(dá)式為

式中γ是Lagrange乘子, 可利用二分法求解.

3.4 多孔結(jié)構(gòu)生成

通過上述結(jié)構(gòu)優(yōu)化后, 實(shí)現(xiàn)了在設(shè)計(jì)域中的最佳多孔單元特征參數(shù)分布, 該多孔單元特征參數(shù)分布同樣可定義在參數(shù)域中. 由于本文研究平面應(yīng)力問題, 因此在求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)設(shè)計(jì)域及其對應(yīng)的參數(shù)域均為二維, 而實(shí)際薄板及多孔結(jié)構(gòu)均為三維. 由于平面應(yīng)力分析不受第三個(gè)維度的影響, 因此可直接將多孔單元特征參數(shù)分布和幾何模型控制點(diǎn)映射到第三個(gè)維度上, 采用三變量B樣條函數(shù)進(jìn)行表示：

(20)

此時(shí)多孔單元特征參數(shù)分布映射三元函數(shù)C(u,v,w)定義在幾何體參數(shù)域內(nèi), 則隱式曲面的函數(shù)表達(dá)式修改為

ψ(u,v,w;αu,αv,αw)=C(u,v,w),

(21)

其中(αu,αv,αw)表示周期參數(shù), 即多孔單元在對應(yīng)方向的個(gè)數(shù). 本文固定αw=1, 使得薄板厚度對應(yīng)一個(gè)多孔單元; 再利用移動(dòng)四面體方法提取等值面, 構(gòu)建參數(shù)域多孔結(jié)構(gòu); 最后利用薄板B樣條體函數(shù)(式(4))將參數(shù)域空間中的多孔結(jié)構(gòu)映射到物理域中, 即得到經(jīng)過等幾何拓?fù)鋬?yōu)化后的薄板多孔結(jié)構(gòu). 特別地, 在參數(shù)域中生成多孔結(jié)構(gòu)再投影回物理空間中, 可保證所有的多孔單元都是完整的, 這是由于參數(shù)域是規(guī)則的, 而實(shí)際幾何模型并非規(guī)則模型.

在懸臂梁多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中, 多孔單元為G型單元. 首先設(shè)計(jì)優(yōu)化問題, 并通過拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化求解獲得最佳多孔單元特征參數(shù)分布, 再將該多孔單元特征參數(shù)分布投影回二維參數(shù)域中; 然后將特征參數(shù)分布拓展至三維獲得三維的多孔單元特征參數(shù)分布, 再基于式(21)利用移動(dòng)四面體方法提取等值面, 構(gòu)建參數(shù)域多孔結(jié)構(gòu)； 最后經(jīng)過三元B樣條函數(shù)的映射將參數(shù)域多孔結(jié)構(gòu)映射到物理域中, 實(shí)現(xiàn)一定體積分?jǐn)?shù)下最佳性能薄板多孔結(jié)構(gòu)的構(gòu)建. 多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法流程如圖5所示.

圖5 多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法流程Fig.5 Workflow of porous structure optimization design algorithm

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

下面給出一些實(shí)驗(yàn)案例, 并進(jìn)行分析. 為簡化計(jì)算過程, 實(shí)驗(yàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)均采用無量綱量, 包括單位集中載荷為1, 彈性模量E=1, Poisson比ν=0.3. 實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)列于表3.

4.1 懸臂梁

圖5已給出了基于懸臂梁優(yōu)化算法的流程, 其中懸臂梁左側(cè)固定, 在右下角施加單位集中載荷, 在體積分?jǐn)?shù)為0.4的條件約束下, 基于G型多孔單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化. 下面通過與傳統(tǒng)有限元分析方法進(jìn)行對比, 分析基于等幾何分析進(jìn)行多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化的優(yōu)勢. 特別地, 進(jìn)行有限元分析的單元個(gè)數(shù)與等幾何分析方法保持一致. 分別統(tǒng)計(jì)基于有限元方法和等幾何方法求解拓?fù)鋬?yōu)化問題的耗時(shí), 結(jié)果表明, 利用等幾何分析方法可有加速優(yōu)化問題求解.

4.1.1 棋盤格現(xiàn)象

本文利用有限元方法對參數(shù)多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化, 其中每個(gè)分析單元對應(yīng)一個(gè)特征參數(shù)變量, 作為優(yōu)化變量進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化, 最后得到一個(gè)在離散設(shè)計(jì)域的多孔單元特征參數(shù)分布, 如圖6(A)所示. 對比如圖6(B)所示的用等幾何分析方法的懸臂梁多孔結(jié)構(gòu)特征參數(shù)分布, 利用有限元分析方法進(jìn)行參數(shù)多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的棋盤現(xiàn)象, 而等幾何分析方法可有效抑制發(fā)生棋盤現(xiàn)象.

圖6 多孔單元特征參數(shù)分布對比Fig.6 Comparison of porous element characteristic parameter distribution

4.1.2 多孔單元個(gè)數(shù)

傳統(tǒng)有限元分析利用離散網(wǎng)格近似幾何模型, 對離散網(wǎng)格單獨(dú)進(jìn)行優(yōu)化, 多孔單元個(gè)數(shù)需與分析單元個(gè)數(shù)保持一致, 如圖7(A)所示. 而基于等幾何分析方法, 通過對等幾何單元對控制點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化, 最后得到以B樣條函數(shù)表示的多孔單元特征參數(shù)分布, 在構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu)時(shí)多孔單元個(gè)數(shù)無需與等幾何單元個(gè)數(shù)保持一致, 可通過修改式(21)中周期參數(shù)αu,αv調(diào)控多孔單元個(gè)數(shù). 圖7(B)和圖7(C)分別為基于等幾何分析方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化后構(gòu)建的兩種不同多孔單元個(gè)數(shù)的懸臂梁多孔結(jié)構(gòu).

圖7 多孔單元個(gè)數(shù)對比Fig.7 Comparison of number of porous elements

4.1.3 多孔單元連接

有限元方法以單元為分析目標(biāo), 在優(yōu)化得到多孔單元特征參數(shù)分布后, 分別以分析單元的特征參數(shù)值構(gòu)建多孔單元, 最后通過單元映射的方法將多孔單元映射到分析單元中生成多孔結(jié)構(gòu), 由于多孔單元特征參數(shù)分布存在嚴(yán)重的棋盤現(xiàn)象, 因此兩兩相鄰多孔單元間無法保證光滑連續(xù). 如圖8(A)所示, 多孔結(jié)構(gòu)中相鄰的多孔單元間不能光滑連接, 通常需要對多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行光滑處理, 這會(huì)改變拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果.

而基于等幾何分析的方法, 以多孔單元特征參數(shù)變量控制點(diǎn)為優(yōu)化目標(biāo), 最終獲得一個(gè)光滑分布函數(shù), 再將該函數(shù)代入式(21), 可構(gòu)建一個(gè)光滑連續(xù)的等值面, 基于該光滑連續(xù)等值面構(gòu)建的多孔結(jié)構(gòu), 可保證多孔單元間光滑連續(xù), 如圖8(B)所示.

圖8 多孔單元間連接性對比Fig.8 Comparison of connectivity between porous elements

4.2 MBB

圖9為平面應(yīng)力狀態(tài)下MBB(miniature bending beam)的幾何模型, 其中圖9(A)的MBB左下角受滾動(dòng)鉸鏈約束, 右下角固定支撐, 梁上部中點(diǎn)處受單位集中載荷, 在體積分?jǐn)?shù)為0.45的約束條件下, 基于P型多孔單元進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化, 優(yōu)化后多孔單元特征參數(shù)分布在設(shè)計(jì)域中, 如圖9(B)所示, 最后生成的多孔結(jié)構(gòu)如圖9(C)所示.

圖9 MBB多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化(P型多孔單元)Fig.9 Topology optimization for porous structure of MBB (P type porous element)

4.3 1/4圓環(huán)

圖10為平面應(yīng)力狀態(tài)下1/4圓環(huán)結(jié)構(gòu)的幾何模型, 其中圖10(A)的1/4圓環(huán)模型底邊固定, 在左上角處受單位集中載荷, 在體積分?jǐn)?shù)為0.45的約束條件下, 基于D型多孔單元進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化, 優(yōu)化后多孔單元特征參數(shù)分布在設(shè)計(jì)域中, 如圖10(B)所示, 最后生成的多孔結(jié)構(gòu)如圖10(C)所示.

圖10 1/4圓環(huán)多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化(D型多孔單元)Fig.10 Topology optimization for porous structure of quarter annulus (D type porous element)

4.4 多載荷懸臂梁

對多載荷的情形本文也進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析, 圖11為多載荷下懸臂梁的幾何模型, 其中圖11(A)的懸臂梁左側(cè)固定, 在右側(cè)上下兩端點(diǎn)處分別受反向的單位集中載荷, 在體積分?jǐn)?shù)為0.4的約束條件下, 基于IWP型多孔單元進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化, 優(yōu)化后多孔單元特征參數(shù)分布在設(shè)計(jì)域中, 如圖11(B)所示, 最后生成的多孔結(jié)構(gòu)如圖11(C)所示.

圖11 多載荷懸臂梁多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化(IWP型多孔單元)Fig.11 Topology optimization for porous structure of cantilever beam under multiple loads (IWP type porous element)

綜上所述, 本文提出了一種基于變密度框架下的參數(shù)多孔結(jié)構(gòu)等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法. 首先, 基于TPMS設(shè)計(jì)多孔單元, 并分析多孔單元特征參數(shù)與材料相對密度分布間的關(guān)系; 其次, 考慮薄板多孔結(jié)構(gòu)平面應(yīng)力的靜態(tài)平衡問題, 以多孔單元特征參數(shù)為優(yōu)化對象, 利用變密度框架下的等幾何分析方法在材料均勻分布的設(shè)計(jì)空間實(shí)現(xiàn)最佳的特征參數(shù)分布; 最后, 利用優(yōu)化后的多孔單元特征參數(shù)分布構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu), 實(shí)現(xiàn)了同等材料體積下力學(xué)性能最佳的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì). 由于等幾何單元間具有高階連續(xù)性, 因此保證了應(yīng)力函數(shù)的連續(xù)性, 提高了計(jì)算精度與效率. 此外, 多孔單元特征參數(shù)分布用樣條形式表示, 方便調(diào)控多孔結(jié)構(gòu)中的多孔單元數(shù), 且保證了多孔單元間的光滑連接.