一類Caputo型分?jǐn)?shù)階微分包含的非局部問題

吳 睿, 高珊珊, 程 毅

(1. 長春財經(jīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部, 長春 130122; 2. 遼寧理工學(xué)院 信息工程學(xué)院, 遼寧 錦州 121000;3. 渤海大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 錦州 121000)

1 引言與預(yù)備知識

近年來, 關(guān)于發(fā)展方程或發(fā)展包含的非局部問題已引起人們廣泛關(guān)注[1-3]. 非局部映射在物理學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 該映射包含了周期、 反周期、 積分邊值等條件[4-7]. Cheng等[8]考慮了一類具有時變時滯的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng), 在非局部條件下, 利用不動點定理和半群理論研究了該系統(tǒng)的精確可控性. 本文考慮在有限維空間內(nèi)一類分?jǐn)?shù)階微分包含非局部條件下解的存在性.

令T∶=[0,b], 用n表示n維實Euclid空間, 〈·,·〉表示n中內(nèi)積, ‖·‖表示n空間由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù). 設(shè)C(T,n)表示從T到n的連續(xù)函數(shù)全體組成的空間, 定義其范數(shù)為n)表示T上的Lebesgue-Bochner可積函數(shù)空間, 定義其范數(shù)為其中分?jǐn)?shù)階微積分定義目前有Riemann-Liouville型、 Grünwald-Letnikov型和Caputo型等, 本文考慮一類Caputo型分?jǐn)?shù)階微分包含的非局部問題. 關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念和性質(zhì)參見文獻[9].

2 主要結(jié)果

考慮如下非局部條件下的分?jǐn)?shù)階微分包含問題：

(1)

其中α∈(0,1),A:n→n是一個線性算子,B:T×n→n是一個非線性函數(shù),G:T×n→2{?}是一個集值映射,φ:C(T,n)→n是一個非局部映射.

定義1若函數(shù)z(t)∈C(T,n), 對幾乎處處t∈T, 存在函數(shù)g(t)∈G(t,z), 使得

成立, 則稱z(t)是包含問題(1)的解.

由文獻[10]中注7.1及定義1知, 包含問題(1)的解等價于

(2)

Ωσ∶={z∈C(T,n): ‖z‖C<σ},

其中σ>0是一個常數(shù). 顯然Ωσ是C(T,n)的一個有界開集. 本文假設(shè)條件如下：

(H1)A:n→n是一個有界、 線性的正定算子, 對任意的z∈n, 存在常數(shù)c∈+, 使得〈Az,z〉≥c‖z‖2.

(H2)B:T×n→n是非線性函數(shù), 滿足:

(i) 對任意的t∈T,z∈n,t→B(t,z)是可測的,z→B(t,z)是連續(xù)的；

(ii) 對幾乎所有的t∈T和任意的z∈C(T,n), 均存在一個連續(xù)非負(fù)函數(shù)h:→, 使得‖B(t,s)‖≤h(‖s‖), 其中其中c是(H1)中的常數(shù)；

(iii) 對幾乎處處的t∈T, 存在非負(fù)函數(shù)μ(t)∈L∞(0,b), 使得

〈B(t,δ1)-B(t,δ2),δ1-δ2〉≤μ(t)‖δ1-δ2‖2, ?δ1,δ2∈n,

其中‖μ‖∞

(H3)φ:C(T,n)→n是一個連續(xù)函數(shù), 使得:

(i) 對任意的z∈Ωσ, 均存在一個不減的非負(fù)函數(shù)f:→, 滿足‖φ(z)‖≤f(σ)；

(ii) 對任意的t∈[0,b]及x,y∈C(T,n), 均存在常數(shù)0

‖φ(x)-φ(y)‖≤l‖x-y‖C.

(3)

(4)

由于Mittag-Leffler函數(shù)具有連續(xù)性, 故可記

上述常數(shù)需滿足如下假設(shè)條件：

(H4) 存在常數(shù)σ>0, 使得

引理1如果假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 則發(fā)展方程

(5)

存在唯一解z∈C(T,n).

證明： 引入算子Ψ:C(T,n)→C(T,n), 定義為

(6)

則方程(5)的非局部問題可轉(zhuǎn)化為z=Ψ(z)的不動點問題.

首先, 驗證方程(5)解的存在性. 設(shè)序列{zn}, 在C(T，n)中有zn→z(n→∞), 則

由假設(shè)條件(H3)和(H2)中(i)可知, 當(dāng)zn→z時,

‖φ(zn)-φ(z)‖→0, ‖B(t,zn)-B(t,z)‖C→0.

即當(dāng)zn→z時, ‖Ψ(zn)-Ψ(z)‖C→0, 故Ψ是連續(xù)的.

|Ψ(z)(t2)-Ψ(z)(t1)|→0,

(8)

移項并整理后與z1-z2做內(nèi)積, 得

由文獻[11]中引理2.3及假設(shè)條件(H1),(H2)中(iii)可知,

由假設(shè)條件(H2)中(iii)及文獻[12]中引理3.1可知,

再結(jié)合初始條件

z1(0)=φ(z1),z2(0)=φ(z2)

及假設(shè)條件(H3)中(ii), 得

由Mittag-Leffler函數(shù)的單調(diào)性可知

Eα(2(‖μ(t)‖∞-c)tα)<1.

又因為0

下面考慮包含問題(1), 對集映射G(t,z)做如下假設(shè)：

(H5)G:T×n→n是一個閉值的集值映射, 滿足：

(i) ?(t,z)∈T×n, (t,z)→G(t,z)是圖可測的；

(ii) 對幾乎處處的t∈T,z→G(t,z)是下半連續(xù)的；

(iii) 對任意的z∈n,t∈[0,b], 存在函數(shù)λ(·)∈C[0,b], 使得

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1如果假設(shè)條件(H1)～(H5)成立, 則包含問題(1)的解集非空.

證明： 定義算子F:D(F)?C(T,n)→Lp(T,n)為

其中

D(F)∶={z∈C(T,n):z(0)=φ(z)}.

由引理2可知, 算子F:D(F)→Lp(T,n)是一一映射, 故F-1:Lp(T,n)→D(F)存在. 顯然D(F)→Lp(T,n)是連續(xù)的, 因此F-1:Lp(T,n)→D(F)也是連續(xù)的. 設(shè)Θ?Lp(T,n)是一個有界集. 任取z∈F-1(Θ), 存在u∈Θ, 使得z=F-1(Θ). 由引理2可知,z(t)是一致有界的, 即F-1(Θ)在D(F)中有界. 由Arzela-Ascoli定理知,F-1(Θ)在Lp(T,n)中是相對緊集. 因此, 算子F-1:Lp(T,n)→Lp(T,n)是全連續(xù)的.

設(shè)N:Lp(T,n)→2Lp(T,n)是G的集值Nemitsky算子, 定義為

N(z)={γ∈Lp(T,n):γ(t)∈G(t,z(t)), a.e.t∈T}.

由文獻[13]中定理3.2知, 算子N是非空、 閉的、 可分解值且下半連續(xù)的. 由Bressan-Colombl連續(xù)選擇定理知, 存在一個連續(xù)映射H:Lp(T,n)→Lp(T,n), 使得H(z)∈N(z), 易驗證F-1°H:Lp(T,n)→Lp(T,n)是全連續(xù)的. 故只需證明不動點問題z=F-1°H(z)有解.

設(shè)集合

Γ={z∈Lp(T,n):z=θF-1°H(z),θ∈(0,1)}.

由文獻[11]中引理2.3及假設(shè)(H1)可知,

即當(dāng)t→t0時, 有Dα‖z(t0)‖2≤-εc‖z(t0)‖2. 由文獻[12]中引理3.1知,