基于時(shí)間算子的地物演化數(shù)學(xué)模型

鐘業(yè)勛,葉 彤,胡寶清

(1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430043；2．南寧師范大學(xué) 北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；廣西地表過(guò)程與智能模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530001)

宏觀尺度地物的演化隨處可見(jiàn)?；鹕健⒌卣?、水災(zāi)、泥石流、臺(tái)風(fēng)、森林火災(zāi)等自然災(zāi)害的發(fā)生及災(zāi)后重建，都會(huì)使發(fā)生地的地物地貌發(fā)生急劇的變化。目的性是人類行為的本質(zhì)特征，人類總會(huì)通過(guò)自己掌握的關(guān)于自然規(guī)律的有關(guān)知識(shí)，把現(xiàn)存世界按自己的意圖和需要進(jìn)行改造[1-2]。國(guó)家的各級(jí)政府部門的種種規(guī)劃和設(shè)計(jì)，如土地規(guī)劃、道路規(guī)劃、水利建設(shè)、城鎮(zhèn)擴(kuò)展等，各種旨在改善人居環(huán)境、促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和國(guó)家繁榮的人類意識(shí)行為，都會(huì)使相關(guān)地區(qū)的地物地貌發(fā)生漸進(jìn)式地改變。面對(duì)土地沙化、環(huán)境污染、風(fēng)沙災(zāi)害等，人們也會(huì)采取植樹(shù)造林、退耕還林、退耕還牧等舉措進(jìn)行有效地治理。這些都是宏觀尺度下地物的演化。鑒于地物演化的普遍性和涉及地物演化文獻(xiàn)的鮮見(jiàn)，本文從演化的物理基礎(chǔ)入手，探討這些演化的共同特點(diǎn)和數(shù)學(xué)模型。

1 物質(zhì)存在的充要條件及時(shí)間的性質(zhì)

1.1 物質(zhì)存在的充要條件

空間和時(shí)間是物質(zhì)固有的存在形式。時(shí)間是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性、間斷性和延續(xù)性。時(shí)間是天體及其物體的自然屬性?？臻g是物質(zhì)的廣延性和伸張性，是一切物質(zhì)系統(tǒng)中各個(gè)要素的共存和相互作用的標(biāo)志。空間、時(shí)間與運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)的不可分離性已被狹義相對(duì)論證明和科學(xué)界公認(rèn)[3]。1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基(Minkowsky)為狹義相對(duì)論的四維時(shí)空提供了數(shù)學(xué)框架，即閔可夫斯基幾何。此時(shí)時(shí)間和空間的坐標(biāo)滿足

l2=x2+y2+z2-t2.

(1)

式(1)是人們?yōu)楣馑龠\(yùn)動(dòng)物體所在空間和時(shí)間建立的一個(gè)幾何模型[4]。閔可夫斯基稱之為“世界”的四維連續(xù)區(qū)，是用“坐標(biāo)”x,y,z,t來(lái)描述的，他把代表某一事件的點(diǎn)稱為“世界點(diǎn)”。這樣，按照物理學(xué)的說(shuō)法，三維空間中的“事件”就成為四維“世界”的“存在”。三維空間中的“事件”與四維時(shí)空的等價(jià)性質(zhì)，本身就表達(dá)了物質(zhì)空間存在與時(shí)間的不可分割性。設(shè)ai∈K為空間K中的物質(zhì)，就必有下列蘊(yùn)含關(guān)系

?ai∈K∧ai≠φtai∈ai∧tai>0.

(2)

式(2)表明：空間非空性必然導(dǎo)至其存在時(shí)間(壽命)為大于0的實(shí)值，從而使空間非空性和壽命為大于0的實(shí)值為物質(zhì)存在的充要條件[5-6]。

1.2 時(shí)間的起點(diǎn)及其性質(zhì)

愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)單的方程式要求宇宙膨脹。20世紀(jì)初的20 a里，斯里夫爾(V·Slipher)在勞威爾天文臺(tái)曾仔細(xì)研究過(guò)星系的光譜，發(fā)現(xiàn)光譜有紅移現(xiàn)象，用多普勒效應(yīng)解釋即星系在退行。1929年，哈勃發(fā)現(xiàn)，在大尺度上，星系的退行速度與它們離開(kāi)的距離成正比，越遠(yuǎn)的星系退行越快。這一正比關(guān)系稱為哈勃定律。哈勃定律證明宇宙在膨脹，據(jù)此可推斷過(guò)去星系之間的距離必定比現(xiàn)在小，宇宙密度更大，溫度更高。最終，宇宙中的一切空間、時(shí)間、物質(zhì)和能量聚會(huì)到一個(gè)密度無(wú)窮大、體積為0的奇點(diǎn)。1970年，彭羅斯和史蒂芬·霍金在愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)上，證明了著名的奇性定理，確定宇宙在時(shí)間上必須有個(gè)開(kāi)端，即140億a前的宇宙大爆炸[7]。2008年3月，美國(guó)科學(xué)家在對(duì)“威爾金森微波各向異性探測(cè)器”(WMAP)傳回的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計(jì)算后，計(jì)算出訖今最為精確的宇宙實(shí)際年齡，約為137.3億a，并宣稱這個(gè)數(shù)據(jù)正負(fù)誤差不超過(guò)1.2億a[8]?，F(xiàn)代物理學(xué)把普朗克時(shí)間5.39×10-44s和普朗克長(zhǎng)度1.62×10-35m定為物理定律適用的極限[9]，認(rèn)為宇宙大爆炸后的10-43s時(shí)，時(shí)間、空間、真空?qǐng)?、引力出現(xiàn)[10]。由于有星系紅移或宇宙膨脹、3K宇宙背景輻射及氘和氦的豐度等觀測(cè)事實(shí)的支持，大爆炸宇宙標(biāo)準(zhǔn)模型已被大多數(shù)科學(xué)家承認(rèn)[11]。

2 事物在時(shí)間中演化的必然性及演化模型

2.1 事物在時(shí)間中的演化

由于物質(zhì)存在與時(shí)間有不可分割的聯(lián)系，而物質(zhì)在三維空間存在的過(guò)程，就必定在時(shí)間中演化。時(shí)間是一種算子，一切事物都是它的運(yùn)算對(duì)象，都在時(shí)間算子作用下發(fā)生變化[12]。人類活動(dòng)本質(zhì)上就是一種時(shí)空行為，世界上的任何事物和現(xiàn)象(包括自然和社會(huì)人文)的發(fā)生、發(fā)展和演變，都是在一定的時(shí)間和空間進(jìn)行的[13]。地物演化的代數(shù)和恒為0的規(guī)律確保了地物演化空間恒定性[14]。中國(guó)于2019-12-10發(fā)射的高分7號(hào)亞米立體測(cè)繪衛(wèi)星，能為用戶提供1∶10 000的測(cè)繪數(shù)據(jù)，為快速成圖提供了支撐，地圖更新的原因就在于保持地圖的現(xiàn)勢(shì)性，本身就是對(duì)地物演化的驗(yàn)證[15]。

2.2 事物演化的相關(guān)定義

設(shè)時(shí)軸為T=137.3億a，設(shè)K為空間，ai∈K?tai∈T∧tai=(tai1-tai0)>0，其中，tai0為ai的新生時(shí)刻，tai為其在空間的存在時(shí)間(壽命)，而tai1則為ai的消亡時(shí)刻。根據(jù)一切事物必有新生、存在、消亡的規(guī)律，得到下列定義。

定義1 事物ai的新生

?tai0∈T，若在tai0存在變換

ftai0:φ→ai∧tai∈ai|tai0∈T∧tai>0∧ai≠φ，

(3)

則稱ai為tai0時(shí)刻的新生事物。

定義2ai的消亡

?tai1∈T，若在tai1存在變換

ftai1:ai→φ|?t∈tai?t

(4)

則稱ai為在tai1時(shí)刻消亡的事物[16-17]。

定義3ai的演化

在t∈(tai1-tai0)=tai∈ai的時(shí)段內(nèi)，若變換滿足

?g:ait→ait′?ait′=g(ait)|t,t∈tai∧t′>t，

(5)

則稱ait′=g(ait)為ait在t′時(shí)刻的演化。

當(dāng)ait′>ait?ai增長(zhǎng)；當(dāng)ait′

定義4ai的時(shí)態(tài)

1)存在參照時(shí)刻tc∈T?tc∈{t|t∈tai}=T2?tai，稱為ai的現(xiàn)在時(shí)；

2)存在參照時(shí)刻tai?T1={t|t

3)存在參照時(shí)刻tc∈T3={t|t>tai1}，稱為ai的將來(lái)時(shí)。

過(guò)去時(shí)事物和將來(lái)時(shí)事物在現(xiàn)實(shí)中都不存在，故有下列蘊(yùn)含關(guān)系

?ai≠φ∈T2?ai=φ∈T1∨T3.

(6)

顯然，不同的ai有不同的壽命，因而有不同的現(xiàn)在時(shí)。克羅地亞共和國(guó)于1991-06-25宣布獨(dú)立建國(guó)，從1991-06-25至今都是克羅地亞共和國(guó)的現(xiàn)在時(shí)[18]。

顯然，tc=tai0是ai從現(xiàn)在時(shí)T2退到過(guò)去時(shí)T1的節(jié)點(diǎn)，一旦改變時(shí)態(tài)，ai在現(xiàn)在時(shí)中的非空集便演化為空集。在過(guò)去時(shí)中ai的非空集性質(zhì)是歷史存在和記錄。過(guò)去的改朝換代，每個(gè)朝代所處的時(shí)空存在是過(guò)去的事實(shí)，正是一系列過(guò)去事件的集合表達(dá)了時(shí)空的延續(xù)。

成立于1917-11-07的蘇維埃社會(huì)主義共和國(guó)聯(lián)盟簡(jiǎn)稱蘇聯(lián)。1991-12-26正式解體[19]。對(duì)于蘇聯(lián)解體后的每一時(shí)刻，蘇聯(lián)的存在都是過(guò)去時(shí)。

這主要和空氣濕度有很大的關(guān)聯(lián)。冬日，北方吹的是干風(fēng)，雖然涼涼的，由于導(dǎo)熱能力差，不易滲透到身體里面，也就不易帶走身體的熱量。我們說(shuō)冬天北方寒冷，也只是周圍的溫度低而已，冷風(fēng)只會(huì)帶走空氣中的熱量，所以空氣溫度低，而人的身體溫度并沒(méi)有改變，所以我們頂多就是覺(jué)得風(fēng)大有點(diǎn)涼罷了。而在南方，吹的是濕風(fēng)，雖然溫度不是很低，但是卻具有很強(qiáng)的滲透性，可以很快地把人體的熱量帶走，可以讓你的身體表面與周圍的溫度一樣低。

中國(guó)的兩個(gè)一百年規(guī)劃：到建黨100年時(shí)，全面建成小康社會(huì)；到新中國(guó)成立100年時(shí)，全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)[20]，這對(duì)于今天來(lái)說(shuō)就是將來(lái)時(shí)。

3 事物演化模型的應(yīng)用

現(xiàn)實(shí)世界中，事物演化的事例相當(dāng)普遍，在上述相關(guān)定義的基礎(chǔ)上可以拓展構(gòu)建表達(dá)具有某種特點(diǎn)的人文現(xiàn)象。

3.1 有生命周期的事物

動(dòng)植物等具有明顯生長(zhǎng)周期，它的新生、成長(zhǎng)、衰老、消亡過(guò)程比較明顯，在時(shí)間中的演化主要體現(xiàn)為其空間特點(diǎn)隨時(shí)間延續(xù)而發(fā)生的演變：大小和形狀的變化。這類事物適于用定義3來(lái)描述。

3.2 重要的具有長(zhǎng)期穩(wěn)定性的基礎(chǔ)設(shè)施

重要的基礎(chǔ)設(shè)施，如三峽大壩、高速鐵路、等級(jí)公路、大型橋梁、人民大會(huì)堂等，一般在施工建筑期具有快速演化的特點(diǎn)，一旦建成，基本上擁有數(shù)十年乃至過(guò)百年較長(zhǎng)的穩(wěn)定期。這類事物定義3中ait′=ait?ai的演化模式占優(yōu)勢(shì)。

3.3 多種性質(zhì)地物的新生、消亡、演化共現(xiàn)模型

定義5 多種性質(zhì)地物的新生、消亡、演化共現(xiàn)模型

若變換滿足

?ft1:φ→ai∧ft2:bj→φ∧ft3:dk→ek|ai,

bj,dk∈T2∧t1,t2,t3∈T2.

(7)

例如，如果在t1時(shí)刻種1片樹(shù)林ai，在t2時(shí)刻拆1棟房子bj和在t3時(shí)刻修1條公路dk，而ft3為增長(zhǎng)變換，則表明dk在一天天往前延伸。i≠j≠k表明這三類為不同性質(zhì)的地物。由于其任意性，定義5可以表達(dá)多種地物在同一地域的不同時(shí)間或同一時(shí)間內(nèi)的新生、消亡和演化。這一定義對(duì)表達(dá)多地物的演化具有普適性。

3.4 古建筑重建模型

定義6 古建筑重建模型

若變換滿足

?ft1:ai→φ∧ft1∈T1?ft2:φ→bi≈ai∈T2，

(8)

則稱在過(guò)去t1時(shí)刻消失的古建筑ai在t2時(shí)刻重建成bi。如始建于公元220 a左右的岳陽(yáng)樓則是在1984年5月大修竣工的[21]。

3.5 歷史遺跡

定義7 歷史遺跡

若變換滿足

?ei∈ai∧ftc:ai→bi?bi=(ai-ei)∈T2，

(9)

則稱bi為ai的遺跡。損失變量ei原來(lái)是ai的組成部分，但在tc時(shí)刻消失了，僅有bi保存下來(lái)，可見(jiàn)ei愈小則bi愈大，表明ai的遺跡保存愈完好。ei愈大表明保存的遺跡愈少。

中國(guó)的物質(zhì)文化遺產(chǎn)長(zhǎng)城、明清故宮、莫高窟、曲阜孔廟、孔林和孔府、布達(dá)拉宮歷史建筑群、天壇等，都可用式(9)表達(dá)[22]。

3.6 旅游景區(qū)的人為修整

很多風(fēng)景名勝景區(qū)都是在原有自然景觀的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)有關(guān)部門的規(guī)劃設(shè)計(jì)，選擇在適當(dāng)?shù)牡胤皆鲈O(shè)一些亭、臺(tái)、樓、閣及通達(dá)道路，使人工設(shè)施與自然景觀完美融合，使人賞心悅目。其表達(dá)模型如下。

定義8 自然景區(qū)的人為修整

若變換滿足

?f:A→B,s.tB=f(A)|A≠B∧A,B∈T2，

(10)

則稱B為A的人為修整，也就是在A的基礎(chǔ)上實(shí)施符合設(shè)計(jì)者意圖的變換。

如九寨溝等全國(guó)各地的旅游景點(diǎn)、各城市的公園等，無(wú)不是通過(guò)式(10)的變換實(shí)現(xiàn)的。

4 結(jié)束語(yǔ)

宏觀尺度上的地物演化極為普遍。探討地物演化的物理基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)模型有助于揭示地物演化的本質(zhì)?？臻g、時(shí)間與運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)有不可分割的聯(lián)系，這一論斷已被狹義相對(duì)論證明。閔可夫斯基把三維空間中物質(zhì)存在的非空性和時(shí)間存在的非負(fù)性作為物質(zhì)存在的充要條件，解釋了空間和時(shí)間是物質(zhì)固有的存在形式。

物質(zhì)在時(shí)間中的存在體現(xiàn)為過(guò)程，過(guò)程是在時(shí)間中展開(kāi)的。時(shí)間是一種算子，一切事物都在時(shí)間算子作用下發(fā)生變化。根據(jù)一切事物都會(huì)在時(shí)間中演化的必然性，給出地物的新生、演化、消亡、時(shí)態(tài)的過(guò)去時(shí)、現(xiàn)在時(shí)、將來(lái)時(shí)等概念的數(shù)學(xué)定義。應(yīng)用給出的定義及其拓展的定義，對(duì)有生命周期的事物、古建筑的重建、歷史遺跡、自然景區(qū)的人為修整等進(jìn)行了闡釋。