淺談金融學(xué)中的數(shù)學(xué)模型

徐忠霏 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院

一、金融的數(shù)理化發(fā)展進(jìn)程綜述

亞當(dāng)·斯密的著作《國(guó)富論》標(biāo)志著經(jīng)濟(jì)學(xué)以一門獨(dú)立學(xué)科的姿態(tài)登上了學(xué)術(shù)的舞臺(tái)；而金融學(xué)作為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，在經(jīng)濟(jì)學(xué)的漫長(zhǎng)發(fā)展過程中，也逐漸分離成為一門獨(dú)立的學(xué)科。如果說經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門研究由于資源的稀缺性而導(dǎo)致資源配置和利用問題的學(xué)科，那么金融學(xué)的研究對(duì)象則是將這個(gè)范圍聚焦于討論貨幣和信用為中心以及由此衍生出的相關(guān)金融中介（商業(yè)銀行、證券公司、保險(xiǎn)公司等）與市場(chǎng)（貨幣市場(chǎng)、資本市場(chǎng)、衍生品市場(chǎng)等）。金融學(xué)在自身的不斷演變的過程中不斷與其他學(xué)科相結(jié)合，其中與數(shù)學(xué)的結(jié)合使金融學(xué)由定性描述的經(jīng)驗(yàn)分析走向定量描述的數(shù)量分析，并誕生了諸如數(shù)理金融學(xué)、金融工程學(xué)、金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等交叉學(xué)科，而同時(shí)金融學(xué)本身也在運(yùn)用大量的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法分析傳統(tǒng)金融學(xué)無法精確描述和解釋的問題。

金融理論的數(shù)理化開始于20 世紀(jì)初。在這個(gè)時(shí)期，金融理論逐漸不再完全依靠定性分析，開始使用一些數(shù)學(xué)方法和技巧來研究金融學(xué)問題。在這一時(shí)期，有以柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為開端的用函數(shù)和微積分方法來研究經(jīng)濟(jì)與金融問題，促使了諸如效用、儲(chǔ)蓄、供求函數(shù)等的產(chǎn)生；偏微分方程的兩種推導(dǎo)過程也在這一時(shí)期被提出，這是后期研究期權(quán)定價(jià)時(shí)重要的維納過程的雛形；利率的證券價(jià)格彈性模型也在1938 年建立。

1952 年馬科維茨的博士論文《投資組合的選擇》是現(xiàn)代金融向數(shù)理化發(fā)展的第一個(gè)突破口。基于投資組合理論和一般均衡理論的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）及其衍生的套利定價(jià)理論（APT），產(chǎn)生了現(xiàn)代意義上的較為科學(xué)的金融投資理論，被廣泛應(yīng)用于投資實(shí)踐，如證券估值、資本資產(chǎn)評(píng)估、資本預(yù)算決策等。此后在1954 年阿羅和德布魯在論文《競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)中均衡的存在性》、麥肯齊在論文《論格雷厄姆國(guó)際貿(mào)易模型及其他競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)的均衡》中分別獨(dú)立地系統(tǒng)論證了現(xiàn)代一般均衡理論的存在性，即著名的阿羅-德布魯（Arrow-Debreu）一般均衡理論，被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的理論來源之一。同一時(shí)期，1958 年莫迪利亞尼和米勒在《資本成本、公司財(cái)務(wù)和投資管理》中提出了M-M 理論，即證明了公司的資本結(jié)構(gòu)（債權(quán)與股權(quán)之比）和市場(chǎng)價(jià)值不相干。該理論為研究公司金融里的資本結(jié)構(gòu)問題提供了一個(gè)有用的起點(diǎn)和分析框架，首次在文獻(xiàn)中提出無套利原理，為后續(xù)權(quán)衡理論、米勒模型等的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

60 到70 年代是數(shù)理金融理論逐漸豐富起來的時(shí)代。一方面，在1975 年，布朗森提出了資產(chǎn)組合平衡模型，放松了貨幣模型對(duì)資產(chǎn)替代性的假設(shè)，認(rèn)為各種資產(chǎn)之間并不具備完全的可替代性，至少存在資產(chǎn)收益的差別；另一方面，B-S 期權(quán)定價(jià)模型作為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中最重要的研究成果之一，為包括股票、證券、貨幣等在內(nèi)的新興衍生品金融市場(chǎng)的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎(chǔ)。

80 年代以來至今，金融學(xué)的數(shù)理化進(jìn)程日臻成熟、成果不斷涌出。不僅僅是金融學(xué)者需要掌握豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且金融學(xué)也直接引進(jìn)了大量從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)與控制論、甚至是物理建模和統(tǒng)計(jì)物理方面的學(xué)者。在這一階段，已有的理論體系進(jìn)一步豐富和完善。各種新理論的出現(xiàn)都逐漸對(duì)各種假設(shè)條件的要求變得不那么苛刻了，這增強(qiáng)了新理論實(shí)用性和解釋能力。在期權(quán)定價(jià)和實(shí)物期權(quán)方面，基于B-S 模型及其衍生改進(jìn)的二項(xiàng)式模型和蒙特卡洛模擬，市場(chǎng)在實(shí)踐中產(chǎn)生了大量估價(jià)技巧，并帶動(dòng)了相關(guān)金融衍生品的大量出現(xiàn)和證券交易機(jī)制本身的蛻變。1986 年麥克唐納和西格爾提出了實(shí)物期權(quán)并在隨后得到了應(yīng)用。在80 年代和90 年代里，利率現(xiàn)期結(jié)構(gòu)的模型被大量提出，如CIR 模型、HJM 模型、BGM 模型等；到現(xiàn)在，一般投資銀行都雇有專門從事高級(jí)期限結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型研究的專家，數(shù)學(xué)模型的廣泛運(yùn)用大大提高了金融機(jī)構(gòu)預(yù)測(cè)和決策的科學(xué)性。此外，在最優(yōu)消費(fèi)投資組合、倒向隨機(jī)微分方程、金融計(jì)量方面都有很多研究成果出現(xiàn)。

二、現(xiàn)代金融理論中的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型

（一）資產(chǎn)組合理論

資本組合理論重點(diǎn)分析個(gè)體在不確定性的條件下如何支配金融資產(chǎn)，使財(cái)富得到最適當(dāng)?shù)耐顿Y，同時(shí)降低風(fēng)險(xiǎn)。馬科維茨在一系列既定假設(shè)前提下通過上述分析得出：風(fēng)險(xiǎn)控制是資產(chǎn)配置中的核心問題，分散化投資是能在各項(xiàng)資產(chǎn)的收益相關(guān)程度很小的條件下最大限度的降低風(fēng)險(xiǎn)水平。資產(chǎn)組合理論有一定的缺陷，即是實(shí)證分析的缺位，沒有具體衡量風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)。為了讓資產(chǎn)組合理論的思想更加直觀精確的表達(dá)，夏普等人引入了資本資產(chǎn)定價(jià)模型。

（二）資本資產(chǎn)定價(jià)模型

資本資產(chǎn)定價(jià)模型是在一系列嚴(yán)格的前提假設(shè)下，基于資產(chǎn)組合理論，對(duì)資產(chǎn)組合在收益和風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡中形成的均衡價(jià)格的最優(yōu)求解，并分析和預(yù)測(cè)資產(chǎn)收益和風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。該理論導(dǎo)出了界定風(fēng)險(xiǎn)與回報(bào)率之間的關(guān)系式，并引入了β 系數(shù)（某種資產(chǎn)組合的收益與市場(chǎng)收益的協(xié)方差比整個(gè)市場(chǎng)收益的方差）來衡量表達(dá)式中該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，這個(gè)表達(dá)式就是著名的證券市場(chǎng)線（SML）。該模型最重要的工作就是進(jìn)一步量化了無法測(cè)量的風(fēng)險(xiǎn)這一指標(biāo)。CAPM 在實(shí)際運(yùn)用中存在計(jì)算收益風(fēng)險(xiǎn)所需計(jì)算量非常大和模型中的證券市場(chǎng)線里影響收益和風(fēng)險(xiǎn)的因素過于簡(jiǎn)略等兩個(gè)主要問題。為了解決上述問題，因素模型應(yīng)運(yùn)而生。

（三）因素模型與套利定價(jià)理論

APT 的研究的內(nèi)容與CAPM 一脈相承，不同的是前者在用收益率作為因素的同時(shí)還引入了其他因素共同解釋收益和風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，建立在收益率對(duì)各種因素變動(dòng)的反應(yīng)程度這一條件下。該模型引入多因素來解釋收益率的變動(dòng)，并且放寬了假設(shè)條件，所以可以看作是廣義的CAPM 模型。

（四）期權(quán)定價(jià)模型

期權(quán)是一種權(quán)利，就是買方在到期日之前可以以執(zhí)行價(jià)格（期權(quán)合約規(guī)定的價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)），選擇或拒絕買進(jìn)或賣出特定商品的一種權(quán)利。期權(quán)分為歐式和美式，前者必須在到期日選擇執(zhí)行期權(quán)，而后者可于到期日前任何時(shí)候執(zhí)行。期權(quán)定價(jià)模型（B-S 模型）主要聚焦于歐式期權(quán)的定價(jià)問題。該模型有一個(gè)重要的理論基礎(chǔ)，即股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。而伊藤定理認(rèn)為，布朗運(yùn)動(dòng)是最基本的一般擴(kuò)散過程，所以可以將衍生性金融產(chǎn)品價(jià)格表達(dá)成已知標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過程。在無套利機(jī)會(huì)、無交易費(fèi)用等一系列假設(shè)條件下通過偏微分方程相關(guān)理論，可以得出一個(gè)不分股利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。借由歐式無股利看漲和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系可得相同條件下歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式。在應(yīng)用此模型時(shí)很多情況下需要求解復(fù)雜的偏微分方程，而由于期權(quán)形式的多樣性和復(fù)雜性，這有時(shí)候是一項(xiàng)煩瑣甚至是無法完成的工作。鑒于此，期權(quán)價(jià)格的近似求解方法受到更多關(guān)注。

（五）二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型

二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型是為了簡(jiǎn)化B-S模型在一些情況下復(fù)雜的形式和計(jì)算而近似求解期權(quán)價(jià)格的方法。該模型概念推倒簡(jiǎn)明、計(jì)算方式簡(jiǎn)單、適用情型廣泛，但是對(duì)于實(shí)際的期權(quán)價(jià)格評(píng)估需要大量計(jì)算機(jī)仿真模擬計(jì)算過程，復(fù)雜量大，并且得到的結(jié)果沒有B-S 定價(jià)模型精確。

三、現(xiàn)代數(shù)理金融理論的發(fā)展趨勢(shì)與展望

金融學(xué)在數(shù)學(xué)化快速發(fā)展的過程中逐漸暴露出了很多問題，招致了其他學(xué)科的挑戰(zhàn)，為了修正和彌補(bǔ)自身存在的問題，數(shù)理金融引入了以下理論和方法：

（一）非線性方法

非線性方法用來描述由于假設(shè)條件放寬后的一般有效市場(chǎng)，即分形市場(chǎng)。這種已經(jīng)被運(yùn)用在流體力學(xué)里的理論可以把沒有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定量化，借以找到運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種運(yùn)動(dòng)可以被近似的等價(jià)于證券市場(chǎng)等金融市場(chǎng)上的一些無規(guī)律波動(dòng)，通過成熟的非線性方法可以在數(shù)量級(jí)上描述金融價(jià)格的一般均衡。

（二）現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)概率統(tǒng)計(jì)理論

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一直是金融學(xué)研究的一種最基本的方法。圍繞著這些研究對(duì)象所建立的金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型本質(zhì)上就是用概率統(tǒng)計(jì)來解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題。在投資組合理論的基礎(chǔ)上，一些描述收益與風(fēng)險(xiǎn)之間關(guān)系更為確切的數(shù)學(xué)方法被引入來修正原有模型：以協(xié)方差和方差間的波動(dòng)為基礎(chǔ)的ARCH 模型和利用似然函數(shù)來估計(jì)波動(dòng)的SV 模型。這些都在現(xiàn)代金融計(jì)量中得到重要的應(yīng)用。此外，現(xiàn)代概率論和運(yùn)籌學(xué)結(jié)合中被廣泛運(yùn)用在其他領(lǐng)域里的最優(yōu)停時(shí)原理也被金融學(xué)所吸納。在金融決策（比如在交易成本一定的債券投資、風(fēng)險(xiǎn)控制等），一些數(shù)理學(xué)家運(yùn)用這種方法取得了意想不到的結(jié)果，他們旨在讓復(fù)雜傳統(tǒng)的金融模型在概率論的處理下得以簡(jiǎn)化，得到更廣闊的應(yīng)用。

（三）現(xiàn)代控制理論

現(xiàn)代控制理論中的脈沖是一種描述如同脈搏般波動(dòng)的沖擊現(xiàn)象，如電壓或者電流。而隨著金融研究的不斷深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)諸如股票、基金、期貨期權(quán)等證券交易產(chǎn)品的波動(dòng)圖并非如傳統(tǒng)理論里說的那樣是連續(xù)有界的，而大部分情況是離散間斷的。因此脈沖的離散信號(hào)模型在某種程度上更符合金融市場(chǎng)上交易的真實(shí)變動(dòng)情況。此外，隨機(jī)最優(yōu)等新興的控制學(xué)理論也被吸納到了消費(fèi)、投資、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)等領(lǐng)域的研究之中。

（四）人工智能技術(shù)

把以退火遺傳、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、專家系統(tǒng)等一系列智能型新算法運(yùn)用在傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)方法上，可以更有效且準(zhǔn)確的進(jìn)行金融風(fēng)控和金融決策，并且在理論研究中開辟了全新的課題，是金融學(xué)與其他學(xué)科的研究方法的重要結(jié)合范例。

（五）微分對(duì)策理論

B-S 模型導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)公式的過程中用到了偏微分方程相關(guān)方法，其前提條件是假定股票價(jià)格波動(dòng)服從維納過程。但是隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，越來越多的期權(quán)被觀測(cè)到并不服從這一傳統(tǒng)意義上的分布。因此有學(xué)者引入了微分對(duì)策原理，把博弈論與微分學(xué)結(jié)合，能夠使這一前提得到很大程度的稀釋同時(shí)又簡(jiǎn)化了B-S 模型中導(dǎo)出定價(jià)公式的傳統(tǒng)煩瑣計(jì)算。這些使得其能夠解釋更多的現(xiàn)實(shí)期權(quán)問題。

（六）鞅理論

鞅理論也是用于簡(jiǎn)化期權(quán)等證券價(jià)格運(yùn)算的重要新工具。前文中提到股票價(jià)格的波動(dòng)服從維納過程，即布朗運(yùn)動(dòng)分布。此過程可以近似于鞅隨機(jī)過程。因此運(yùn)用鞅測(cè)度的相關(guān)方法可以得出一個(gè)相對(duì)有規(guī)律可循的計(jì)算模式；同時(shí)這樣的處理方法避免了由于原來過于嚴(yán)格的假設(shè)前提所喪失的模型適用性。這些以鞅理論為基礎(chǔ)的期權(quán)等證券定價(jià)理論逐漸流行于當(dāng)今的金融工程研究中。