非線性尾流相互作用研究

王程英, 張建生

非線性尾流相互作用研究

王程英, 張建生

(西安工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安, 710021)

在限制水域中, 快速船舶的尾跡最重要的特征是在船舶前方能產(chǎn)生孤立波。文中基于Korteweg-de Vries型方程和Hirota雙線性形式的符號和輔助結(jié)果, 得到不同相位變化中的雙孤子解。利用Mathematica軟件仿真得到了KP(Kadovtsev-Petviashvili)方程雙孤子解在不同相位變化中的所有可能波型以及雙孤子解分解結(jié)構(gòu)與線性疊加的波形, 為理解KP方程雙孤子解、雙孤子相互作用及其形態(tài)結(jié)構(gòu)特征奠定了基礎(chǔ)?；跓o量綱KP方程的雙孤子解, 仿真得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下等振幅和非等振幅入射孤子相互作用區(qū)域的表面高度。結(jié)果表明, 等振幅入射孤子的振幅與參考孤子的振幅相差0.01%比相差1%的相互作用波峰空間范圍大; 非等振幅的2個入射孤子的相互作用主要導(dǎo)致了2種入射孤子波峰的彎曲。利用Matlab軟件仿真得到入射孤子和相互作用中心雙孤子解的不同波峰, 通過調(diào)節(jié)參數(shù)對比相互作用孤子的坡度, 結(jié)果表明沿波峰的傳播方向,值越大, 相互作用孤子的輪廓越窄, 坡度越大。

船舶尾流; 雙孤子解; 孤子相互作用; 表面高度; 坡度

0 引言

由于尾流對聲波和光波具有吸收、散射等作用[1], 因此在海戰(zhàn)中可能會干擾聲學(xué)設(shè)備和光學(xué)儀器的有效使用和操作。尾流的存在可能提供一種探測、跟蹤或識別產(chǎn)生尾流的艦船和潛艇的方法[2]。為了對不同類型的尾流進(jìn)行探測、跟蹤或識別, 很多研究者對尾流所具有的聲學(xué)特性、光學(xué)特性、電磁學(xué)特性及熱特性等物理學(xué)特性做了大量研究[3-6]。由于尾流會沿著航行方向延伸到艦船長度的很多倍, 即使在船橋和桅桿頂端, 對尾流的輪廓很難有一個整體視野[7]。

以跨臨界速度航行的船舶所激發(fā)的孤子前體有時被認(rèn)為是造成海岸線上一些危險的海嘯波的原因, 孤子前體通常有小的振幅[11-12]。構(gòu)成危險更可能的原因是, 當(dāng)主要的發(fā)散波傳播到淺水區(qū)時, 它們會變成高度橢圓余弦波或具有孤立波性質(zhì)?？焖俣奢啿ɡ说娘@著特點是波峰較長, 因此能夠長時間地與類似的波浪相互作用, 因為孤子船波的高度可以達(dá)到1~1.5 m[13], 其高度和坡度的非線性放大可能導(dǎo)致嚴(yán)重的危險。船舶在平行航向上運動時, 可能發(fā)生類孤子船波的相互作用, 但相關(guān)的實驗都集中在評估可能的波阻降低[14],只有當(dāng)入射波的高度和它們的交角特別平衡, 并且與孤子船波覆蓋的區(qū)域相比, 在每個時刻被高駝峰占據(jù)的海面比例明顯較小時, 才可能出現(xiàn)大表面高度和有陡峰的大面積區(qū)域。然而在某一點上出現(xiàn)近共振相互作用孤子的概率是相當(dāng)大的, 因為它們可能是長壽命的結(jié)構(gòu), 在有利的條件下可以跨越大的海域[15]?；尾ǖ拇嬖诤屯饷苍谠S多情況下都可以用基本的線性模型來解釋, 如波與長波、洋流或水深的相互作用或不同長度的線性波的疊加?；尾ぐl(fā)的非線性機(jī)制(例如波列在縱向和橫向擾動下的調(diào)制不穩(wěn)定性[16]或非線性波在類似波濤洶涌的情況下聚焦[17-18])通常更為合適。所列機(jī)制通常在特定點上產(chǎn)生一個短時間的大瞬態(tài)波群。長峰孤波的非線性疊加可能是在有利條件下具有無限壽命的空間局部化極端地表高程的一個挑戰(zhàn)性來源。風(fēng)暴波(通常為短波峰和極不規(guī)則波)是不常見的, 但當(dāng)來自不同方向的2個或多個涌浪系統(tǒng)在某些海域(如小島或海山的背風(fēng)側(cè))相遇時, 可能會發(fā)生風(fēng)暴波[19]。在未來海洋安全領(lǐng)域, 尾流與異常浪研究將是必不可少的研究方向, 為海洋安全現(xiàn)代化、科學(xué)化管理提供了發(fā)展的條件, 對海洋環(huán)境可持續(xù)發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義[20]。

1 船舶尾流非線性分量

船舶尾流的非線性分量示意圖如圖1所示。船舶尾流通常是典型的開爾文波系統(tǒng)與幾種不同類型的非線性系統(tǒng)的組合。船舶尾流的非線性分量包括以下幾部分。

1) 窄V型尾流[21]: 一艘船通常會在航線上留下一片劇烈的湍流。它是艦船尾跡中最具非線性的部分, 能夠持續(xù)多個小時, 通常能在太空中被探測到。它是一條由短波阻尼引起的暗線, 同時伴隨大氣中的尾跡(稱為船跡, 主要由船的排氣羽流引起), 尾跡會延伸數(shù)百千米的距離, 高度約750 m, 持續(xù)約10 h。衛(wèi)星圖像有時顯示2種非常窄的V型尾流成分, 沿某些射線的半角范圍在1o和開爾文尾流的極限半角之間。這種信號只能在微風(fēng)(風(fēng)速小于3 m/s)中檢測到, 它們出現(xiàn)在湍流尾跡的一側(cè)或兩側(cè)。這些成分來自船舶尾流中心線附近短發(fā)散開爾文波的布拉格散射。在湍流尾跡的邊界處, 窄V形尾跡可延伸至水面艦艇后方20 km處, 夾角在2o~3o之間。衛(wèi)星圖像中相關(guān)的窄亮線顯然是由波長在1 m及以下的短波布拉格散射產(chǎn)生的。它們通常是船舶尾跡圖像中最亮的特征, 然而與船尾流的其他部分相比, 相關(guān)波浪系統(tǒng)的能量可以忽略不計。

圖1 船舶尾流非線性分量示意圖

2) 開爾文楔內(nèi)以及開爾文楔邊界處的包絡(luò)波包[22]: 衛(wèi)星圖像上的另一個V形尾流, 與航行線的平均角度約為10o, 有時可以觀測到。在許多情況下, 這一特征可能是由于分米級的布拉格散射、波浪破碎產(chǎn)生的時變表面波和船舶附近的湍流造成。它是由線性發(fā)散的開爾文波內(nèi)干涉射線的鏡面散射引起。在許多情況下, 它是一個高度非線性的空間局域波包, 類似于NLS(nonlinear Schrodinger)方程的包絡(luò)孤子解。這種包經(jīng)常與跨臨界和超臨界尾跡相聯(lián)系。事實上, 在低至0.5的弗勞德數(shù)上, 這一點變得很明顯。

開爾文尾跡的最高穩(wěn)定波位于開爾文楔的邊界, 經(jīng)常形成一個調(diào)制波包, 其潛在的非線性演化在某些情況下可能是重要的。Akylas利用MNLS(modified nonlinear Schrodinger)方程分析了該包的時間演化和這些線附近潛在的非線性和非定常效應(yīng)。當(dāng)船舶突然開始運動時, 波包的遠(yuǎn)場達(dá)到非線性穩(wěn)定狀態(tài)。非定常瞬態(tài)效應(yīng)被限制在離船運動的有限區(qū)域內(nèi)。

3) 前體孤子: 根據(jù)線性理論可知, 船舶前方?jīng)]有穩(wěn)定波存在。這在深水中是完全正確的, 在淺水區(qū)也適用于中等速度。然而, 類似于KdV孤子的幾乎穩(wěn)定的孤子擾動經(jīng)常發(fā)生在限制水域內(nèi)以一定速度航行的船舶前方。

4) 一維上下游的波: 適當(dāng)?shù)姆蔷€性模型考慮了有限振幅效應(yīng), 包括向上游傳播的孤子(前體孤子)。用()和()分別代表運動表面壓力塊和地形, 并且F≈1。在隨地表壓力或地形移動的坐標(biāo)系中, 長波的水面高度可以用fKdV(fifth order KdV)方程來描述

對于F=1,, 該方程是典型的同倫KdV方程。fKdV方程解的框架僅適用于運動的長波部分, 不能描述船后的短波。它本質(zhì)上也只包含一個空間維度, 被稱為一維情況。

5) 二維孤子[23]: 在相對窄的河道中產(chǎn)生前體孤子的一個顯著特征是由二維擾動產(chǎn)生近乎完美的一維上游孤子, 而二維開爾文型尾流通常存在于下游。fKdV模型本質(zhì)上是一維的, 必然會產(chǎn)生直波峰。Katsis 和Akylas首先克服了這種類型孤子的一維極限。他們分析了臨界速度附近的線性色散關(guān)系, 導(dǎo)出了表面高度的受迫KP(Kadovtsev-Petviashvili)方程

上式描述了由運動壓力分布激發(fā)的非線性長波的色散、非線性和橫向效應(yīng)。

6) 超臨界孔[24]和表面凹陷區(qū)[25]: 當(dāng)弗勞德數(shù)增加到F≈1.1~1.2時, 不間斷孤子周期性地從船上輻射出去, 從低弗勞德數(shù)的破斷孤子逐漸過渡到高弗勞德數(shù)的破孔。在弗勞德數(shù)的一定范圍內(nèi)存在一個幾乎規(guī)則的孔。如果F≈F+, 這種孔的速度通常比船快。在弗勞德數(shù)F>F+時, 形成一個穩(wěn)定的超臨界波系統(tǒng)。輻射孤子和超臨界孔在平靜水位以上緩慢上升并帶有一定質(zhì)量。在運動擾動的正后方, 河道和無界區(qū)域都形成了一個深度幾乎一致的更長的凹陷區(qū)域。凹陷的范圍可能相當(dāng)大, 與前體孤子覆蓋區(qū)域的長度相當(dāng)。它的存在引起了排水型高速船的下沉效應(yīng)。這種現(xiàn)象是淺水航行的一個特殊特征, 在極端情況下可能成為額外的危險源。

文中僅考慮無量綱KP方程的2個孤子解及其相互作用[26], 因為由3個或更多孤子相互作用產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)(盡管在某些條件下遠(yuǎn)高于由2個相互作用激發(fā)的波峰)通常壽命較短[27]。

2 雙孤子解

2.1 基本理論

考慮一個非線性偏微分方程

引入因變量的變化

只有Hirota多項式具有以下的性質(zhì), 式(3)才能被稱為KdV型方程。

Hirota雙線性形式的所有非零解是式(5)的解, 即

式(4)的變化促使引入算子

2.2 正負(fù)相移雙孤子解

相位變量中的雙孤子解形式[26]為

其中

以下分析僅考慮12≥0的情況, 圖2顯示了正相移和負(fù)相移的雙孤子解。

對于系數(shù)12的不同值, 有以下2種特殊情況。

1) 當(dāng)12=0時, 雙孤子解表示2個孤子的共振, 給出一個孤子解

對應(yīng)的孤子稱為共振孤子。圖3顯示了具有共振孤子相位變量中的雙孤子解。這種情況可以解釋為具有無限相移(即)的雙孤子解。

圖3 孤子相互作用形成共振孤子

2) 當(dāng)12=+∞時, 雙孤子解是微不足道的。

圖4 大的正負(fù)相移雙孤子解

2.3 相互作用孤子及雙孤子解的分解

下面是相互作用孤子更精確的定義, 為此引入函數(shù)

式(12)等價于式(9), 利用式(12)可以導(dǎo)出相位變量中2個孤子解的表達(dá)式

這表明了下面的分解

構(gòu)成式(14)的函數(shù)分別為

1,2,12分別對應(yīng)2個純孤子和相互作用孤子, 圖5和圖6顯示了這些函數(shù)。

圖5 2個純孤子解

圖6 孤子相互作用

3 孤子尾流相互作用的表面高度

淺水區(qū)表面重力波的無量綱KP方程

KP方程的雙孤子解可以明確地寫出來。它是固定模式在實空間中的一致平移, 即=0 時有

彼得森使用的“幾何”方法中孤子相互作用位置[28]如圖7所示。負(fù)相移情況下, 入射孤子峰的理想模式為實線, 沒有相互作用的位置為虛線, 相互作用的位置為粗虛線。值得注意的是, 相互作用孤子的波峰不一定與軸平行, 除非入射孤子的高度相等(波矢的長度相等)。

圖7 孤子相互作用位置幾何圖

理想入射孤子波峰的公共部分長度[28]為

負(fù)相移情況下非線性放大系數(shù)示意圖如圖8所示。

由圖8可以看出: 當(dāng)2個入射孤子的振幅相近時,接近于2; 當(dāng)振幅之差增大時,減小; 當(dāng)振幅相差很大時,接近于1。

由圖9可以看出, 等振幅入射孤子相互作用模型總是相對于一個稱為相互作用中心的特定點對稱, 并且在一個適當(dāng)變化的坐標(biāo)系中靜止不變。等振幅入射孤子的振幅高度小于相互作用的表面高度, 并且相互作用的表面高度隨著入射孤子振幅高度的增大而增大。當(dāng)入射孤子的振幅與參考孤子的振幅(相當(dāng)于相互作用角和臨界角之間的差異)相差1%和0.01%時, 相互作用的表面高度大大超過了入射孤子的振幅, 并且相差0.01%比相差1%的相互作用波峰空間范圍大。

圖9 不同m值的等振幅入射孤子相互作用區(qū)域表面高度

由圖10可以看出, 非等振幅入射孤子相互作用模型與等振幅入射孤子相互作用模型相比, 對稱性和變化趨勢大致相同, 但是這種變化趨勢不明顯。當(dāng)入射孤子的振幅與參考孤子的振幅相差1%和0.01%時, 其相互作用波峰的空間范圍大致與振幅相等時一樣大, 這種相互作用主要導(dǎo)致了2種入射孤子波峰的彎曲。

4 孤子尾流相互作用的坡度

實際上, 了解異常陡峭的波浪是否會在何時何地出現(xiàn)是很有價值的, 因為在海上的實際情況中, 造成嚴(yán)重危險的不是波浪的高度, 而是其巨大的坡度。陡峭的孤子相互作用前沿導(dǎo)致產(chǎn)生的波峰高度異常, 這一特征可能是相互作用中心附近的波峰在達(dá)到理論最大高度之前頻繁破裂的主要原因[14]。高非線性波峰破裂的可能性使近共振相互作用孤子的撞擊變得異常危險, 因為破裂過程尤其對船舶有嚴(yán)重威脅。

圖10 不同m1值的非等振幅入射孤子的相互作用區(qū)域表面高度

若波峰與軸方向垂直, KP方程單孤子解的表面高度為

其斜率表達(dá)式為

雙孤子解的近共振面圖表明, 雙孤子解的波前最大斜率明顯出現(xiàn)在相互作用中心附近, 在該點附近的表面高度為

圖11 入射孤子和相互作用中心雙孤子的不同波峰

由圖11可知, 非線性相互作用波峰最高部分的輪廓比入射孤子的輪廓窄, 且值越大, 其比入射孤子的輪廓越窄, 相應(yīng)的坡度越大。相互作用孤子的波峰沿其傳播軸方向具有特定的結(jié)構(gòu): 沿波峰的傳播方向,值越大, 相互作用孤子的輪廓越窄, 坡度越大。

5 結(jié)論

1) 在限制水域中, 快速船舶的尾跡最重要的特征是在船舶前方能產(chǎn)生孤立波。孤波高度和斜率的非線性放大可能造成嚴(yán)重的危險。

2) 在正相移情況下, 用Mathematica軟件對雙孤子解進(jìn)行分解, 運算和仿真結(jié)果表明了雙孤子解的波形是各個分解結(jié)構(gòu)的線性疊加。

3) 當(dāng)入射孤子的振幅與參考孤子的振幅相差1%和0.01%時, 等振幅和非等振幅入射孤子的相互作用區(qū)域的表面高度都大大超過了入射孤子的振幅。不同的是, 等振幅入射孤子的振幅與參考孤子的振幅相差0.01%比相差1%的相互作用波峰空間范圍大, 而非等振幅入射孤子的這種相互作用主要表現(xiàn)為2種入射孤子波峰的彎曲。

4) 在KP方程的框架中, 孤子相互作用的波峰最高部分的輪廓比入射孤子的輪廓窄, 相互作用孤子的波峰沿其傳播軸方向具有特定的結(jié)構(gòu): 沿波峰的傳播方向,值越大, 相互作用孤子的輪廓越窄, 坡度越大。

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Study on Nonlinear Wake Interaction

WANG Cheng-ying, ZHANG Jian-sheng

(School of Sciences, Xi’an Technological University, Xi’an 710021, China)

The most important feature of the wakes of fast ships in restricted waters is that solitary waves can be generated ahead of the ship. Using the Korteweg de Vries equation and the sign and auxiliary results of the Hirota bilinear form, this study derives a two-soliton solution with different phase changes. All possible waveforms of the two-soliton solution of the Kadovtsev-Petviashvili(KP) equation for different phase changes and the waveforms of the decomposition structure and linear superposition of the two-soliton solution are obtained using Mathematica. This establishes a foundation for understanding the two-soliton solution of the KP equation, two-soliton interaction, and its morphological characteristics. Based on the two-soliton solution of the dimensionless KP equation, the study simulates the surface height of the interaction region of equal and unequal amplitude incident solitons with standard coordinates. The results show that the amplitude difference between the equal amplitude incident soliton and the amplitude of the reference soliton is 0.01% larger than that of the 1% difference in the space of the interaction peak. The interaction of two incoming solitons with unequal amplitudes results in the bending of their wave humps. The different wave humps of the incoming soliton and two-soliton solution at the center of interaction area are obtained using MATLAB. Finally, the slopes of the interacting solitons are compared by adjusting the parameter. Results show that for a higher value of, the profile of the interacting soliton is narrower and the slope along the propagation direction of the wave crest is greater.

ship wake; two-soliton solution; soliton interaction; surface height; slope

王程英, 張建生. 非線性尾流相互作用研究[J]. 水下無人系統(tǒng)學(xué)報, 2020, 28(6): 685-693.

U661.1; O175.29

A

2096-3920(2020)06-0685-09

10.11993/j.issn.2096-3920.2020.06.014

2020-05-12;

2020-07-21.

陜西省教育廳專項科研計劃項目(2010JK585); 西安市未央?yún)^(qū)科技計劃項目(201843).

王程英(1993-), 女,在讀碩士, 主要研究方向為水下信息光學(xué)、光學(xué)測試研究.

(責(zé)任編輯: 許 妍)