算術(shù)與Toader平均凸組合的單參數(shù)平均確界*

馬春琳， 徐會(huì)作

(1.昌吉廣播電視大學(xué) 教務(wù)處， 新疆 昌吉 831100； 2.溫州廣播電視大學(xué) 教師教學(xué)發(fā)展中心， 浙江 溫州 325000)

一、研究背景

設(shè)a,b>0且a≠b，p∈(0,1),q∈，M(a,b)是一個(gè)二元平均,則單參數(shù)平均M(a,b;p) 、q階冪平均Mq(a,b) 、算術(shù)平均A(a,b) 、反調(diào)和平均C(a,b) 、形心平均E(a,b) 、二次平均Q(a,b)、Toader平均TD(a,b)[1]358-368分別定義如下：

M(a,b;p)=M[pa+(1-p)b,pb+(1-p)a],

(1)

(2)

(3)

(4)

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)工作者得到了許多關(guān)于Toader平均與其他二元平均的重要不等式.

Barnard和Pearce等證明了λ=3/2，μ=log 2/log(π/2)=1.534 9L是使得雙向不等式

Mλ(a,b)

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立的最佳參數(shù)[2]693-699[3]289-312.

褚玉明等證明了雙向不等式

C(a,b;λ)

(5)

華云等證明了雙向不等式

E(a,b;α)

(6)

姜衛(wèi)東等找到了最大值λ和最小值μ使得雙向不等式

C(a,b;λ)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

對(duì)所有a,b>0且a≠b和所有α∈(0,1)成立[7]237-242.

E(a,b;1/2)=A(a,b)

(7)

Q(a,b;1/2)=A(a,b)

(8)

對(duì)所有a,b>0且a≠b成立.

根據(jù)不等式(7)和(8)可以發(fā)現(xiàn)最大值λ1,λ2∈[1/2,1]和最小值μ1,μ2∈[1/2,1]使得雙向不等式

E(a,b;λ1)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

Q(a,b;λ2)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

對(duì)a,b>0且a≠b和所有α∈(0,1)成立.

二、基礎(chǔ)知識(shí)與引理

為證明本文的主要結(jié)果，需要給出相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)與幾個(gè)引理.

對(duì)r∈(0,1)，第一類和第二類橢圓積分分別定義為：

并有：

κ(r)和ε(r)滿足以下等式[8]474-475：

也是單調(diào)遞增(遞減)的.如果f′(x)/g′(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，那么上述兩式也是嚴(yán)格單調(diào)的[8]10.

引理3函數(shù)

在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增且值域是(1/4,4/π-1).

f2(r)=r2，f(r)=f1(r)/f2(r).

有:

f1(0+)=f2(0)=0，

(9)

(10)

簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

(11)

(12)

引理4函數(shù)

在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增且值域是(0,(4/π-1)2).

g2(r)=r2和g(r)=g1(r)/g2(r).

有:

g1(0+)=g2(0)=0，

(13)

(14)

簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

(15)

(16)

三、主要結(jié)果

定理1設(shè)α∈(0,1)和λ1,μ1∈[1/2,1]，則雙向不等式

E(a,b;λ1)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

證明根據(jù)二元平均A(a,b)，E(a,b) 和TD(a,b) 是對(duì)稱且一階齊次的，不失一般性，設(shè)a>b>0.

令r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，p∈[1/2,1]，則由式(1)(2)(4)可得:

(17)

(18)

由等式(17)和(18)得:

[αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)]-E(a,b;p)=

(19)

其中，函數(shù)f(r)定義在引理3.因此，定理1可由引理3和等式(19)得到.

定理2設(shè)α∈(0,1)和λ2,μ2∈[1/2,1]，則雙向不等式

Q(a,b;λ2)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

對(duì)a,b>0且a≠b成立，當(dāng)且僅當(dāng)

證明根據(jù)二元平均A(a,b)，Q(a,b)和TD(a,b)是對(duì)稱且一階齊次的，不失一般性，設(shè)a>b>0.

令r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)p∈[1/2,1]，則由等式(1)和(3)可得:

(20)

由等式(18)和(20)可得:

[αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)]-Q(a,b;p)=

[2(1-α)f(r)+(1-α)2g(r)-(1-2p)2]，

(21)

其中，函數(shù)g(r)定義在引理4.因此，定理2可由引理4和等式(21)得到.

注：不等式(5)和(6)是定理1和定理2在α=0時(shí)的特殊情況.