基于間隙等效模型的舵機(jī)非線性控制研究

羅明亮，林 俊，余志凱，武曉峰，黃佳怡，孫 遜

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.空軍裝備部駐上海地區(qū)第一軍代室，上海 201109)

0 引 言

導(dǎo)彈舵機(jī)系統(tǒng)作為機(jī)電一體化產(chǎn)品，內(nèi)含電氣控制單元和機(jī)械傳動(dòng)單元，其中機(jī)械傳動(dòng)單元主要采用齒輪系、滾珠絲杠、諧波齒輪以及蝸輪蝸桿等結(jié)構(gòu)部件作為末端舵面的傳動(dòng)環(huán)節(jié)，而涉及到實(shí)際機(jī)械傳動(dòng)部件就必然存在間隙等非線性因素，勢(shì)必增加了系統(tǒng)位置控制和速度控制的難度，尤其在速度反向或轉(zhuǎn)矩反向時(shí)會(huì)發(fā)生碰撞問題，疊加系統(tǒng)的有限剛度會(huì)引起機(jī)械諧振，甚至極限環(huán)振蕩或控制系統(tǒng)失穩(wěn)，直接影響著舵機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)[1-2]。因此，對(duì)舵機(jī)系統(tǒng)的間隙等非線性問題的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

目前國內(nèi)高校及研究院所對(duì)舵機(jī)系統(tǒng)非線性做了較多研究，比如胡江濤，曹云峰[3]利用S：mulink模塊中死區(qū)模型模擬間隙環(huán)節(jié)，并搭建了舵機(jī)前向通道各環(huán)節(jié)的傳函模型，通過仿真分析得到間隙對(duì)系統(tǒng)時(shí)域控制精度的影響，因涉及到減速傳動(dòng)環(huán)節(jié)較多，模型一般都較為復(fù)雜，黃立梅等[4]人針對(duì)間隙遲滯模型設(shè)計(jì)了非線性補(bǔ)償器，解決了飛控系統(tǒng)由于舵機(jī)間隙引起的超調(diào)和極限環(huán)振蕩問題，張明月[5]針對(duì)含間隙滾珠絲杠式電動(dòng)舵機(jī)各個(gè)部位進(jìn)行分析，并給出間隙死區(qū)模型，利用ADAMS進(jìn)行了間隙系統(tǒng)下的響應(yīng)仿真，郝亮[6]針對(duì)死區(qū)間隙模型帶來的機(jī)械諧振開展了機(jī)理分析與抑制研究，王永娟，侯杭州[7]利用ADAMS定量分析了某供彈機(jī)構(gòu)傳動(dòng)間隙對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響分析。

以上文獻(xiàn)都集中在利用死區(qū)模型、遲滯模型等對(duì)舵機(jī)間隙環(huán)節(jié)進(jìn)行建模，并未對(duì)較為關(guān)注的大閉環(huán)下間隙非線性疊加舵面慣量響應(yīng)對(duì)導(dǎo)彈飛控系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析；另外，部分文獻(xiàn)雖進(jìn)行了機(jī)械動(dòng)力學(xué)或控制仿真補(bǔ)償仿真，但所提出的補(bǔ)償方法未考慮外界負(fù)載干擾下間隙惡化對(duì)舵機(jī)控制系統(tǒng)的影響研究。本文以某在研工程舵機(jī)為應(yīng)用背景，結(jié)合長(zhǎng)時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)出現(xiàn)機(jī)構(gòu)磨損帶來的間隙放大實(shí)際問題，建立了間隙等效模型，并針對(duì)模型中的間隙和傳動(dòng)靜剛度參數(shù)進(jìn)行舵機(jī)實(shí)物試驗(yàn)測(cè)量，據(jù)此分析了間隙對(duì)舵機(jī)自身控制特性的影響以及飛行狀態(tài)大間隙下慣量響應(yīng)帶來的導(dǎo)彈飛行穩(wěn)定性問題，最后引入了自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC)[8]，一定程度上解決了含間隙的舵機(jī)系統(tǒng)負(fù)載干擾下魯棒性較弱的問題，為后續(xù)開展控制器設(shè)計(jì)和間隙控制提供了理論支撐。

1 間隙模型

隨著伺服控制要求的提高和間隙非線性研究的深入，間隙模型經(jīng)歷不斷的完善[1-2]，目前主要有遲滯模型[3]、死區(qū)模型[2,4,6]和“振-沖[9]”模型等，其中間隙死區(qū)模型考慮了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜剛度，特別在舵機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)中間隙存在易產(chǎn)生彈性形變，引起振動(dòng)，因此該模型較能體現(xiàn)電動(dòng)舵機(jī)的實(shí)際工況。

模型函數(shù)如下所示：

(1)

式中Δθ=θin-θout，其中θin為輸入端轉(zhuǎn)角，θout為輸出端轉(zhuǎn)角，kg為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜剛度，T為傳遞力矩，α為單側(cè)間隙。

2 含間隙等效的舵機(jī)建模

本文依托某在研工程舵機(jī)實(shí)際問題開展建模研究，該舵機(jī)為位置閉環(huán)控制系統(tǒng)，用于導(dǎo)彈舵面偏角的實(shí)時(shí)跟蹤偏轉(zhuǎn)。與傳統(tǒng)位置伺服一樣，含控制器、減速傳動(dòng)、伺服電機(jī)以及反饋測(cè)量模塊，其中減速傳動(dòng)為齒輪系+滾珠絲杠副+搖臂組成，伺服電機(jī)選用帶旋轉(zhuǎn)變壓器的無刷電機(jī)，反饋測(cè)量模塊為導(dǎo)電塑料電位器。

圖2給出了位置控制框圖，間隙存在于減速傳動(dòng)中，如齒輪系之間的嚙合、絲杠兩端的軸承徑向竄動(dòng)、絲杠軸與軸承內(nèi)側(cè)的配合、螺母與絲杠的導(dǎo)向回程配合以及搖臂與舵軸撥叉的配合等。

為了便于分析，將無刷電機(jī)視作一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，慣量為J，將所有減速傳動(dòng)的慣量等效為另一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，慣量為Jl，那么電動(dòng)舵機(jī)的間隙模型就等效為如圖1所示的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體之間的間隙模型，則可按照式(1)建立它們之間的力學(xué)傳遞關(guān)系，其中電動(dòng)舵機(jī)的間隙可通過間隙測(cè)量設(shè)備實(shí)測(cè)得到，同樣傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜剛度也可以通過剛度測(cè)量設(shè)備實(shí)測(cè)得到。建立等效模型如圖3所示，相關(guān)變量定義見表1。

圖1 間隙示意圖

圖2 舵機(jī)位置控制框圖

圖3 舵機(jī)間隙等效模型框圖

表1 變量定義

以下對(duì)靜剛度測(cè)量以及間隙測(cè)量實(shí)現(xiàn)做介紹。

2.1 靜剛度測(cè)量

將電動(dòng)舵機(jī)通過工裝固定在測(cè)量臺(tái)面上，測(cè)試過程中，將電機(jī)輸入端通過蓋板將電機(jī)齒輪固死，從而可將電機(jī)齒輪-絲杠齒輪-絲杠副-搖臂-舵軸這一傳動(dòng)機(jī)構(gòu)固定；為最大限度減小連接間隙，支臂與舵機(jī)舵軸采用4個(gè)螺釘銷連接；支座與加載臺(tái)底座采用四個(gè)M16螺柱連接，可有效保證支座剛度；數(shù)顯測(cè)角器膠粘在支臂上，用以測(cè)量支臂的角度變化。試驗(yàn)過程中分別在支臂兩端加砝碼，可以首先消除舵機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)間隙，隨后舵機(jī)所受扭矩到達(dá)一定程度后舵機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)將發(fā)生彈性變形，可使用測(cè)角器測(cè)量舵機(jī)由于傳動(dòng)機(jī)構(gòu)彈性變形而產(chǎn)生的舵角偏轉(zhuǎn)，進(jìn)而可得到舵機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜剛度。實(shí)測(cè)靜剛度數(shù)據(jù)和曲線分別如表2、圖4所示。

表2 舵機(jī)靜剛度試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖4 舵機(jī)靜剛度曲線

支臂及支座在試驗(yàn)中的變形可忽略不計(jì)，若不考慮支臂與舵機(jī)的連接剛度，根據(jù)圖4可計(jì)算得出的靜剛度近似為79Nm/°。

2.2 間隙測(cè)量

利用間隙測(cè)量設(shè)備對(duì)電動(dòng)舵機(jī)間隙進(jìn)行測(cè)量，前面已經(jīng)分析，電動(dòng)舵機(jī)的間隙主要來源于減速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)環(huán)節(jié)，其間隙的角度測(cè)量采用位于間隙測(cè)量設(shè)備的兩個(gè)位移傳感器來實(shí)現(xiàn)，工作原理為將測(cè)量桿固定在電動(dòng)舵機(jī)輸出軸，實(shí)時(shí)檢測(cè)測(cè)量桿位移值，測(cè)量桿在外部負(fù)載作用下(5N)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)角度計(jì)算方法來計(jì)算整個(gè)減速傳動(dòng)間隙的數(shù)值[10](通過近似計(jì)算)，計(jì)算方法如圖5所示(圖中D1L、D2L分別為兩個(gè)位移傳感器在測(cè)量桿往左側(cè)旋轉(zhuǎn)的讀數(shù)，D1R、D2R分別為位移傳感器在測(cè)量桿往右側(cè)旋轉(zhuǎn)的讀數(shù)，L為兩個(gè)位移傳感器的間距)。

圖5 舵機(jī)間隙角度計(jì)算原理圖

由圖5可得計(jì)算公式為

(2)

通過設(shè)備測(cè)量得到工程舵機(jī)的間隙為0.12°，結(jié)合前面章節(jié)的靜剛度測(cè)量數(shù)據(jù)約79Nm/°，按照式(1)可繪制間隙環(huán)節(jié)的曲線如下：

圖6 舵機(jī)位置控制框圖

3 自抗擾控制器設(shè)計(jì)

常規(guī)控制器采用位置偏差分段控制[15]，能夠?qū)崿F(xiàn)大偏差下快速跟蹤，小偏差下穩(wěn)定跟蹤的效果，但存在魯棒性較弱的問題，一旦外界引入干擾，疊加自身的間隙等非線性，將會(huì)嚴(yán)重惡化系統(tǒng)的控制精度。常規(guī)控制器設(shè)計(jì)如下：

(3)

式中,Upos為位置環(huán)的控制量輸出；kd1為位置環(huán)的微分系數(shù)；e為位置環(huán)的跟蹤偏差；e1為位置環(huán)算法的跟蹤切換數(shù)值。

由式(3)可以看出，控制量輸出Upos只與位置偏差e有關(guān)系，本文針對(duì)控制系統(tǒng)非線性以及干擾下的控制特點(diǎn)引入自抗擾控制技術(shù)[8]，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)時(shí)對(duì)系統(tǒng)干擾(不對(duì)內(nèi)外干擾區(qū)分，含死區(qū)力矩波動(dòng))部分進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償，使被控對(duì)象實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)積分串聯(lián)型對(duì)象的系統(tǒng)控制問題[11-12]。下圖7為舵機(jī)自抗擾位置控制框圖，其中虛框部分為自抗擾控制器。

圖7 舵機(jī)自抗擾位置控制框圖

根據(jù)控制框圖，為了便于數(shù)學(xué)關(guān)系描述，下面給出了從控制量輸出U到間隙環(huán)節(jié)的傳遞力矩輸出T的具體信號(hào)流框圖，詳見圖8。

圖8 信號(hào)流描述圖

將間隙環(huán)節(jié)的力矩波動(dòng)Tf作電機(jī)的外界干擾，由電機(jī)的電壓方程可得電機(jī)速度方程

(4)

整理得

(5)

考慮到間隙模型函數(shù)為非連續(xù)函數(shù)，則間隙造成的力矩變化也不連續(xù)，為了方便控制器設(shè)計(jì)，這里采用文獻(xiàn)[5]提供的雙曲正切函數(shù)，它將間隙模型線性化描述為連續(xù)函數(shù)，即

(6)

對(duì)上式求微分得

(7)

式中Δθ=δf-δ。

進(jìn)一步整理得

(8)

其中

將式(5)代入式(8)得

(9)

(10)

以末端舵面偏轉(zhuǎn)角度δ為電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)中間狀態(tài)變量，即x1=δ，則式(10)可寫為

(11)

將舵機(jī)狀態(tài)空間模型中F′看做是系統(tǒng)的擾動(dòng)量，并設(shè)為新的狀態(tài)量x2，由此可推出相應(yīng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器如下：

(12)

式中Z1實(shí)現(xiàn)對(duì)x1的跟蹤，Z2是x2的估計(jì)量。則狀態(tài)觀測(cè)器整理有

(13)

圖9 狀態(tài)觀測(cè)器

式(13)中矩陣H=[β1β2]T按任意配置極點(diǎn)的需要進(jìn)行選擇，以決定狀態(tài)誤差衰減的速率[11]。為兼顧控制器快速性以及噪聲敏感性[12]，令其特征方程為

(14)

有β1=2ω0，β2=(ω0)2。

按照勞斯判據(jù)，觀測(cè)器穩(wěn)定的必要條件為特征方程式(14)中各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)。

λ(λ+β1)+β2=0

(15)

列出相應(yīng)的勞斯表為

表3 勞斯表

則觀測(cè)器穩(wěn)定的條件為第一列各元素為正，即有β1>0，β2>0。

4 含間隙舵機(jī)系統(tǒng)試驗(yàn)及分析

4.1 控制性能仿真分析

4.1.1 舵機(jī)系統(tǒng)

利用Matlab/Smulink模塊，根據(jù)圖2、圖3搭建基于間隙等效模型的舵機(jī)控制框圖如圖10所示。

圖10 舵機(jī)控制Smulink框圖

其中間隙等效環(huán)節(jié)(如式(6)所示)通過Smulink自帶的嵌入式函數(shù)編程實(shí)現(xiàn)。

圖11給出了取值為0.12°和0.32°間隙下的系統(tǒng)頻域仿真曲線。經(jīng)數(shù)據(jù)判讀出，0.32°間隙下系統(tǒng)頻域諧振峰且相位滯后均較大；另外，0.32°間隙下時(shí)域空載/負(fù)載超調(diào)量相對(duì)較大且穩(wěn)態(tài)精度誤差均稍大，其中負(fù)載下由于系統(tǒng)魯棒性較弱無法抑制干擾帶來的控制精度，故相對(duì)空載控制精度呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。判讀數(shù)據(jù)以及曲線分別如表4、圖11所示。

表4 時(shí)域及頻域數(shù)據(jù)

圖11 舵機(jī)反饋曲線

4.1.2 穩(wěn)定控制系統(tǒng)

舵機(jī)作為導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)的分系統(tǒng)，其非線性控制特性直接影響導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)。以下通過穩(wěn)定控制系統(tǒng)的過載響應(yīng)來評(píng)估舵機(jī)非線性的影響，圖12為俯偏通道的過載控制框圖，其中虛框內(nèi)為含間隙舵機(jī)系統(tǒng)。

圖12 穩(wěn)定控制系統(tǒng)模型

將圖10搭建的舵機(jī)控制Simulink框圖嵌入到穩(wěn)定控制系統(tǒng)仿真模型(如圖12所示)中的虛框位置，通過選取典型彈道特征點(diǎn)開展過載響應(yīng)仿真，得到過載響應(yīng)的仿真曲線。下圖13分別對(duì)比了兩種工況下的過載響應(yīng)，其一是不同間隙下的過載響應(yīng)對(duì)比曲線，其二是大間隙下(0.32°)舵面慣量差異性所帶來的過載響應(yīng)對(duì)比曲線。

圖13 過載響應(yīng)曲線

由圖13(a)可看出，舵機(jī)存在0.12°間隙時(shí)，穩(wěn)定控制系統(tǒng)過載響應(yīng)曲線平滑，但當(dāng)間隙擴(kuò)大到0.32°時(shí)過載響應(yīng)曲線出現(xiàn)明顯振蕩；圖13(b)中曲線較直觀地看出大慣量下的過載響應(yīng)抖動(dòng)幅值幾乎完全“覆蓋”了小慣量下的過載響應(yīng)抖動(dòng)幅值，主要由于大慣量降低了系統(tǒng)的剛度和系統(tǒng)阻尼，在大間隙下慣量增大會(huì)加劇系統(tǒng)的抖動(dòng)響應(yīng)，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定，舵面慣量來回正反轉(zhuǎn)又會(huì)加劇間隙的增大，惡化系統(tǒng)的控制性能。因此，控制間隙對(duì)舵面慣量響應(yīng)以及穩(wěn)定控制系統(tǒng)的性能提升有著很重要的意義。

4.2 控制性能實(shí)測(cè)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)室條件下，硬件基于工程舵機(jī)控制器實(shí)現(xiàn)，軟件采用DSP2812集成開發(fā)環(huán)境CCS完成舵機(jī)控制器算法實(shí)現(xiàn)，其中載波周期4 kHz，驅(qū)動(dòng)方式沿用成熟的無刷電機(jī)(參數(shù)如表5所示)上橋臂調(diào)制控制方式。

表5 電機(jī)參數(shù)

先通過間隙測(cè)量臺(tái)得到舵機(jī)初始間隙數(shù)值大概為0.12°，然后結(jié)構(gòu)方面分別通過增加墊片等方式調(diào)整舵機(jī)減速傳動(dòng)環(huán)節(jié)中絲杠兩端與軸承的徑向傳動(dòng)間隙大致增大到0.3°或減小到0.08°；控制方面按照工程經(jīng)驗(yàn)，給定指令0.5 Vpk(舵面1.8°偏角)，1 Hz～50 Hz正弦波掃頻信號(hào)，圖14繪制了頻域曲線，實(shí)測(cè)結(jié)果表明，大間隙下系統(tǒng)諧振峰與相位滯后均較大，小間隙下效果較好，系統(tǒng)諧振峰與相位滯后均較小，驗(yàn)證了理論仿真結(jié)果。

圖14 舵機(jī)頻域?qū)崪y(cè)曲線

4.3 帶干擾仿真結(jié)果

針對(duì)負(fù)載下含間隙舵機(jī)系統(tǒng)魯棒性較弱帶來的穩(wěn)態(tài)控制精度差的問題，按照章節(jié)3分析結(jié)果建立了自抗擾控制器模型，框圖如圖15所示。

圖15 位置外環(huán)結(jié)構(gòu)圖(加自抗擾補(bǔ)償)

按照上圖搭建Simulink框圖，與常規(guī)PID控制進(jìn)行了對(duì)比，經(jīng)數(shù)據(jù)判讀，經(jīng)過ADRC補(bǔ)償控制后，舵機(jī)在負(fù)載下無差跟蹤階躍指令變化，可見引入自抗擾控制算法能夠較好地抑制內(nèi)外干擾，即通過采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行觀測(cè)，所得到的觀測(cè)量Z2可以較好補(bǔ)償控制量輸出U，保證了控制系統(tǒng)的精度。仿真曲線如下：

圖16 舵機(jī)反饋曲線

5 結(jié) 語

針對(duì)電動(dòng)舵機(jī)間隙等非線性控制問題，本文通過含間隙環(huán)節(jié)的電動(dòng)舵機(jī)控制框圖建模，并開展實(shí)際工程樣機(jī)測(cè)試，可得如下結(jié)論：通過控制舵機(jī)間隙，能夠達(dá)到改善舵機(jī)諧振峰和相位滯后以及慣量響應(yīng)、導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)等控制指標(biāo)特性的目的；引入了自抗擾先進(jìn)補(bǔ)償控制算法設(shè)計(jì)，一定程度上解決了含間隙的舵機(jī)系統(tǒng)負(fù)載干擾下魯棒性較弱的問題，為后續(xù)開展控制器設(shè)計(jì)和間隙控制提供了理論支撐。