具有通用零部件的按訂單裝配系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布研究

金 鑫，王正肖，葉建芳，潘曉弘

(1.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué) 華南工業(yè)技術(shù)研究院，廣東 廣州 510700)

0 引言

按訂單裝配(Assemble to Order, ATO)生產(chǎn)系統(tǒng)的庫存控制問題屬于隨機(jī)庫存控制[1-3]，從數(shù)學(xué)建模的角度來說，則屬于隨機(jī)離散線性規(guī)劃[4-5]。DE KOK等[6]提供了一個對于ATO生產(chǎn)系統(tǒng)庫存控制早期研究的全面綜述(截止至2003年)。Zümbül等[7]則給出了ATO生產(chǎn)系統(tǒng)庫存控制研究進(jìn)度的一個簡單整理。

由于ATO系統(tǒng)的復(fù)雜性，關(guān)于它的最優(yōu)控制策略形式目前只有一些較簡單的結(jié)論[8-11]。多數(shù)研究集中在給定的控制策略形式(包括庫存補(bǔ)貨策略和庫存分配策略)下求解各種性能指標(biāo)(如訂單滿足率、缺貨隊列分布、單位時間庫存總成本等)的表達(dá)式，并進(jìn)一步求解出控制策略中的最優(yōu)參數(shù)[12-14]。

在ATO系統(tǒng)庫存控制的研究中，庫存水平、現(xiàn)有庫存和庫存位值是3個容易混淆的系統(tǒng)狀態(tài)變量。其中，現(xiàn)有庫存是指企業(yè)倉庫中實際存放的每個零部件的庫存數(shù)量，庫存水平是現(xiàn)有庫存與滿足所有產(chǎn)品缺貨所需的零部件數(shù)量之間的差值，庫存位值是庫存水平與在途庫存的總和?？梢?，現(xiàn)有庫存是直接產(chǎn)生庫存持有成本的系統(tǒng)狀態(tài)變量，而庫存位值則是高層的、全局性的系統(tǒng)狀態(tài)變量。常見的庫存補(bǔ)貨策略均是通過控制庫存位值來間接控制現(xiàn)有庫存(同時也會間接控制產(chǎn)品缺貨)，進(jìn)而影響系統(tǒng)性能。如在(s，S)策略中，控制參數(shù)s與S均是庫存位值，而在(r，nQ)策略中，再訂貨點r也是庫存位值。

本文研究庫存補(bǔ)貨策略為(r，nQ)策略、產(chǎn)品需求到來和零部件補(bǔ)貨提前期均隨機(jī)的ATO系統(tǒng)。此時，系統(tǒng)任意時刻的庫存位值是一個隨機(jī)變量。若系統(tǒng)存在平穩(wěn)狀態(tài)，則其各種性能指標(biāo)均與庫存位值的平穩(wěn)分布有關(guān)，因此研究庫存位值的平穩(wěn)分布是進(jìn)行系統(tǒng)性能優(yōu)化的第一步。在采用(r，nQ)策略的MTS系統(tǒng)中，一個經(jīng)典的結(jié)論是：平穩(wěn)時庫存位值的分布是全空間(即r+1,r+2,…,r+Q)上的均勻分布(參見Sven[1]中的Proposition 5.1)。由于ATO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得(r，nQ)策略下ATO系統(tǒng)庫存位值的平穩(wěn)分布比按庫存生產(chǎn)(Make to Stock, MTS)系統(tǒng)更為復(fù)雜。

ATO系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布的研究難點在于：①具有不同裝配物料清單(Bill of Material,BOM)結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)，其庫存位值的分布空間結(jié)構(gòu)也不同；②在一個典型的ATO系統(tǒng)中，有些零部件會用于多種產(chǎn)品的裝配(即存在通用零部件)，這些產(chǎn)品的需求會對通用零部件的庫存位值產(chǎn)生疊加影響；③當(dāng)庫存位值的平穩(wěn)分布存在不同的分布規(guī)律時，需要提供只基于結(jié)構(gòu)參數(shù)的、簡單有效的判定方法。由于上述難點，目前學(xué)界對ATO系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布的研究尚不成熟。其中，Song[15]首先證明了當(dāng)庫存位值的變化服從不可約、非周期的馬爾可夫過程時，其平穩(wěn)分布為全空間均勻分布。這一結(jié)論是對MTS系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布規(guī)律的研究成果的推廣。然而，馬爾可夫過程的不可約性不能直接從系統(tǒng)的BOM結(jié)構(gòu)和庫存補(bǔ)貨策略中判斷。Feng等[16]將該馬爾可夫過程的不可約性的判定轉(zhuǎn)化為對一系列線性同余方程組的有解性的判定，從而第一次提出了通過ATO系統(tǒng)的BOM結(jié)構(gòu)和庫存補(bǔ)貨策略判定其庫存位值的平穩(wěn)分布的方法。

此后，學(xué)者們都假設(shè)庫存位值的平穩(wěn)分布為全空間上的均勻分布。如，Lu[17]用概率母函數(shù)法研究了產(chǎn)品需求服從更新過程、采取(r，nQ)策略的ATO系統(tǒng)，并研究了產(chǎn)品需求和補(bǔ)貨提前期的波動性變化對系統(tǒng)性能的影響。Feng等[18]研究了(r，nQ)策略和先到先得(First Come First Served，F(xiàn)CFS)策略下的組裝系統(tǒng)的產(chǎn)品期望缺貨的表達(dá)式。但斌等[19]研究了采用準(zhǔn)時制生產(chǎn)和(r，nQ)策略的混合補(bǔ)貨策略的ATO系統(tǒng)，表明了企業(yè)對何種類型的零部件采用準(zhǔn)時制生產(chǎn)補(bǔ)貨方式能夠降低供應(yīng)鏈庫存成本。Zhao[20]研究了(r，nQ)策略和FCFS策略下、零部件補(bǔ)貨提前期為一般分布的ATO系統(tǒng)，得到了它的單位時間庫存成本的表達(dá)式。而Reiman等[21]證明了雖然獨立的(r，nQ)策略一般只是ATO系統(tǒng)的次優(yōu)庫存補(bǔ)貨策略，然而其在效率上的損失被零部件的補(bǔ)貨提前期的波動性所控制。當(dāng)全空間均勻分布的假設(shè)不成立時，上述研究結(jié)論都需重新審視。

目前的研究尚有很多不充分之處，而一個完整的研究應(yīng)包括如下方面：①確定庫存位值的平穩(wěn)分布規(guī)律的所有可能的情況；②針對庫存位值不同分布規(guī)律情況的只基于結(jié)構(gòu)參數(shù)的、簡單有效的判定方法；③庫存位值的不同分布規(guī)律對系統(tǒng)性能的影響。

本文將對上述3個問題給出一個初步的結(jié)論。針對第①個問題，證明了ATO系統(tǒng)庫存位值的平穩(wěn)分布只可能是全空間均勻分布或者是在某個子空間上均勻分布這兩種情況，并證明了這些子空間之間是同構(gòu)的；針對第②個問題，給出了一個全空間均勻分布的判定方法。與Feng等[16]不同，該方法本質(zhì)上只需要求出一組線性同余方程組的解數(shù)即可，且還能求解出當(dāng)平穩(wěn)分布為子空間上均勻分布時，該子空間的狀態(tài)個數(shù)；針對第③個問題，給出了庫存分配策略為FCFS策略的情況下，使得單位時間庫存總成本在各個子空間中都相等的充分條件，并通過近似表達(dá)式和仿真分析研究了在FCFS策略和先準(zhǔn)備好先得(First Ready First Served，F(xiàn)RFS)策略下，當(dāng)系統(tǒng)不滿足該充分條件時，各子空間上的單位時間庫存總成本的差異。

1 模型的基本概念、結(jié)構(gòu)參數(shù)和基礎(chǔ)假設(shè)

本節(jié)首先對ATO系統(tǒng)的一些重要概念給出簡要的解釋。

(1)物料清單(BOM) 是建造、制造或維修產(chǎn)品或服務(wù)所需的原材料、零部件和操作指南的詳細(xì)列表。本文中涉及的BOM主要指產(chǎn)品的裝配BOM。每種產(chǎn)品的裝配BOM是指裝配中需要用到的各零部件的數(shù)量，通常用向量表示。此時，整個系統(tǒng)的裝配BOM可用矩陣表示。

(2)通用零部件 多種產(chǎn)品的裝配都需要的零部件。

(3)庫存補(bǔ)貨策略 確定零部件何時補(bǔ)貨、補(bǔ)貨批量大小的庫存控制策略。

(4)庫存分配策略 確定產(chǎn)品需求何時滿足、滿足多少的庫存控制策略。

(5)現(xiàn)有庫存 企業(yè)倉庫中實際存放的每個零部件的庫存數(shù)量。

(6)在途庫存 已經(jīng)訂貨，但尚未到達(dá)目的地、正處于運輸狀態(tài)或等待運輸狀態(tài)的庫存。

(7)產(chǎn)品缺貨 已到來但未被滿足的產(chǎn)品需求數(shù)量。

(8)庫存水平 現(xiàn)有庫存減去滿足所有產(chǎn)品缺貨所需的零部件數(shù)量即為庫存水平。

(9)零部件缺貨 庫存水平取負(fù)后的絕對值為零部件缺貨。

(10)庫存位值 每個零部件的庫存位值等于其庫存水平加上其在途庫存。

(11)平穩(wěn)分布 一般而言，平穩(wěn)分布是指隨機(jī)過程中不受某些算子影響的特定的概率分布。特別的，馬爾科夫過程的平穩(wěn)分布是這樣一類概率分布，若以它為初始分布，則該過程的有窮維分布是推移不變的。

(12)全空間 在(r，nQ)策略下，系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時，庫存位值的所有可能取值所組成的空間。

下面給出刻畫ATO庫存系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

(1)BOM結(jié)構(gòu)

(2)各項成本

在任何時刻，零部件i導(dǎo)致的庫存持有成本與其現(xiàn)有庫存成正比，產(chǎn)品j導(dǎo)致的缺貨成本與其產(chǎn)品缺貨成正比，零部件i的訂貨成本與其訂貨次數(shù)成正比。其中，零部件i的單個現(xiàn)有庫存的單位時間庫存持有成本為hi，產(chǎn)品j的單個缺貨的單位時間缺貨成本為bj，零部件i的單次訂貨成本為ui。

(3)零部件的補(bǔ)貨提前期與產(chǎn)品的需求到來過程

當(dāng)零部件i的補(bǔ)貨提前期是確定值時，用Li表示，它們可以各不相同。當(dāng)零部件i的補(bǔ)貨提前期是一個隨機(jī)變量時，用li表示，它們之間以及它們與系統(tǒng)狀態(tài)之間相互獨立。不同零部件的補(bǔ)貨提前期可以服從不同的分布規(guī)律。不同產(chǎn)品的需求到來過程之間相互獨立，產(chǎn)品的需求到來過程與系統(tǒng)狀態(tài)之間相互獨立。

(4)庫存控制策略

ATO系統(tǒng)中的庫存控制策略包括庫存補(bǔ)貨策略和庫存分配策略。

在本文的研究中，假設(shè)采用(r，nQ)策略來管理零部件的庫存補(bǔ)貨。此時，零部件i相應(yīng)的控制參數(shù)為ri和Qi。記

與本文研究有關(guān)的庫存分配策略有FCFS策略和FRFS策略。FCFS策略將零部件的現(xiàn)有庫存按產(chǎn)品需求到來的時間順序進(jìn)行分配，并且已分配的零部件庫存無法被之后的產(chǎn)品需求使用。FRFS策略將零部件的現(xiàn)有庫存按產(chǎn)品需求到來的時間順序進(jìn)行分配，并且如果某一產(chǎn)品需求無法被立即滿足，則已分配給它的零部件庫存可以被之后的產(chǎn)品需求使用。

2 ATO系統(tǒng)庫存位值分布規(guī)律分析

本節(jié)主要分析ATO系統(tǒng)庫存位值的分布規(guī)律。

引理1狀態(tài)IP可到達(dá)狀態(tài)IP′等價于?x∈Nn,y∈Nm，使得IP-Ax+Θy=IP′。

證明由(r，nQ)策略的性質(zhì)易知。

引理2若狀態(tài)IP可到達(dá)狀態(tài)IP′，則狀態(tài)IP與狀態(tài)IP′相通。

證明見附錄。

定理1IP的整個狀態(tài)空間被分成若干個(1個或多個)相互隔離的子空間，每個子空間內(nèi)部的各狀態(tài)是相通的。

證明由引理2易知。

引理3IP的任意兩個子空間之間同構(gòu)且子空間內(nèi)各狀態(tài)是對稱的。

證明見附錄。

引理4IP的邊際分布(即第i個零部件的IPi分布，i=1,2,…,m)在任何一個子空間中都相同且都為均勻分布。

證明見附錄。

定理2系統(tǒng)平穩(wěn)時，IP的聯(lián)合分布為在某個子空間上的均勻分布。(若只有一個子空間，則為全空間上的均勻分布)

證明因為在任一子空間上，所有狀態(tài)相通，因此在該空間上的庫存位值的馬爾可夫鏈?zhǔn)怯邢?、非周期、不可約的，所以存在唯一的平穩(wěn)分布。又根據(jù)Song[15]可證明均勻分布為該情況下的一個平穩(wěn)分布。綜上所述，均勻分布為該情況下的唯一平穩(wěn)分布。

例1考慮一個包含兩種產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)，其中：產(chǎn)品1由一個零部件1、一個零部件2和一個零部件3裝配而成，產(chǎn)品2由一個零部件1和兩個零部件2裝配而成，Q1=Q2=3,Q3=2,r1=r2=r3=2。此時，經(jīng)過簡單計算就可看出庫存位值的所有狀態(tài)之間都是相通的。因此，系統(tǒng)平穩(wěn)時，庫存位值的聯(lián)合分布為在全空間上的均勻分布。

例2考慮一個包含兩種產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)，其中：產(chǎn)品1由一個零部件1、一個零部件2和一個零部件3裝配而成，產(chǎn)品2由一個零部件1和兩個零部件2裝配而成，Q1=Q2=Q3=3,r1=r2=r3=2。易知，庫存位值的狀態(tài)空間被分割成如下3個子空間：

子空間Ⅰ：[5,5,5]、[4,4,4]、[3,3,3]、[5,4,3]、[4,3,5]、[3,5,4]、[5,3,4]、[4,5,3]、[3,4,5]；

子空間Ⅱ：[5,5,4]、[4,4,3]、[3,3,5]、[5,4,5]、[4,3,4]、[3,5,3]、[5,3,3]、[4,5,5]、[3,4,4]；

子空間Ⅲ：[5,5,3]、[4,4,5]、[3,3,4]、[5,4,4]、[4,3,3]、[3,5,5]、[5,3,5]、[4,5,4]、[3,4,3]。

而且，所有狀態(tài)的轉(zhuǎn)化如圖1所示。

圖中：實箭頭表示狀態(tài)轉(zhuǎn)化是被一個產(chǎn)品1的需求觸發(fā)的，虛箭頭表示狀態(tài)轉(zhuǎn)化是被一個產(chǎn)品2的需求觸發(fā)的。

可見，在上述ATO系統(tǒng)中，子空間之間相互分離且同構(gòu)，每個子空間內(nèi)部各狀態(tài)之間相通。因此，系統(tǒng)平穩(wěn)時庫存位值的聯(lián)合分布為在某個子空間上的均勻分布(比如，若系統(tǒng)運行的初始狀態(tài)為[4,3,3]，則平穩(wěn)時庫存位值的聯(lián)合分布為在子空間Ⅲ上的均勻分布)。

將上述結(jié)論與MTS庫存系統(tǒng)對比之后可以看出：在MTS系統(tǒng)中，庫存位值的分布為全空間上的均勻分布，而在ATO系統(tǒng)中，全空間上的均勻分布只是庫存位值的聯(lián)合分布可能出現(xiàn)的情況之一而已。顯然，當(dāng)庫存位值的聯(lián)合分布為全空間均勻分布時，系統(tǒng)各項性能指標(biāo)的求解要比其為某個子空間上的均勻分布時更為簡單，因此下一節(jié)將給出庫存位值的聯(lián)合分布為全空間均勻分布的判定方法。

3 全空間均勻分布的判定方法

本章將給出庫存位值的聯(lián)合分布為全空間均勻分布的充分必要條件。

由于定理4是定理3的一個推廣，因此，要證明這兩個定理，只需證明定理4即可。

證明見附錄。

由定理3和定理4可以求出任何一個ATO系統(tǒng)的庫存位值的子空間個數(shù)。進(jìn)而可以求出平穩(wěn)時庫存位值的聯(lián)合分布情況。

4 不同子空間中的庫存位值分布對系統(tǒng)性能影響的比較研究

當(dāng)平穩(wěn)時庫存位值的聯(lián)合分布不為全空間上的均勻分布時，系統(tǒng)運行初始狀態(tài)的不同將可能會導(dǎo)致庫存位值平穩(wěn)分布的子空間的不同，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)性能的不同。本章集中考慮在庫存分配策略為FCFS策略和FRFS策略的情況下，庫存位值在不同的子空間上分布會對系統(tǒng)庫存總成本造成的影響。

為便于討論，在以下分析中，均假設(shè)ATO系統(tǒng)的BOM矩陣是0-1矩陣，且產(chǎn)品j的需求到來過程是強(qiáng)度為λj的齊次泊松過程。下面的結(jié)論可以很自然地推廣到任意BOM矩陣及復(fù)合齊次泊松過程的情況。

根據(jù)Zhao[21]和引理4，ATO系統(tǒng)在子空間V上的單位時間庫存總成本有如下表達(dá)式：

當(dāng)ATO系統(tǒng)采取FCFS策略時，某一產(chǎn)品的時段訂單滿足率只取決于裝配它所需要的零部件的庫存水平。因此，在FCFS策略下，對于某一產(chǎn)品，可以只考慮裝配它的所有零部件的庫存位值的分布規(guī)律，并將定理3、定理4限制到這些零部件上。若限制后的ATO系統(tǒng)滿足判定條件，則該產(chǎn)品的時段訂單滿足率在各個子空間上均相同。由于產(chǎn)品的期望缺貨E(B(s))被其時段訂單滿足率唯一確定，因此若針對所有產(chǎn)品限制后的ATO系統(tǒng)都滿足判定條件，則它們的期望缺貨在各個子空間上均相同。再由式(1)可知，所有子空間上系統(tǒng)的單位時間庫存總成本cV(r,Q)均相同。

例5考慮一個兩種產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)，其中，產(chǎn)品1由一個零部件1和一個零部件2裝配而成，產(chǎn)品2由一個零部件2和一個零部件3裝配而成，Q1=Q3=Q2=2,r1=r2=r3=2。根據(jù)定理4可知該系統(tǒng)的狀態(tài)空間被分成兩個子空間，其中：

子空間Ⅰ：[4,4,4]、[3,3,4]、[3,4,3]、[4,3,3]；

子空間Ⅱ：[4,4,3]、[3,3,3]、[3,4,4]、[4,3,4]。

雖然原ATO系統(tǒng)的狀態(tài)空間被分成了兩個相互獨立的子空間，但是產(chǎn)品1和它的零部件、產(chǎn)品2和它的零部件各自組成的兩個子系統(tǒng)卻滿足定理3或定理4。因此，該系統(tǒng)在FCFS策略下，產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的期望缺貨在子空間Ⅰ和子空間Ⅱ上是相同的，進(jìn)而系統(tǒng)的單位時間庫存總成本也是相同的。

例6考慮一個有兩個產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)。其中，產(chǎn)品1由一個零部件1、一個零部件2、一個零部件3和一個零部件4裝配而成，產(chǎn)品2由一個零部件1和一個零部件2裝配而成。Q1=Q2=Q3=Q4=2，r1=r2=r3=r4=0。根據(jù)定理4可知，庫存位值的狀態(tài)空間被分割成如下四個子空間：

子空間Ⅰ：[2,2,2,2]、[1,1,1,1]、[2,2,1,1]、[1,1,2,2]；

子空間Ⅱ：[1,2,2,2]、[2,1,1,1]、[1,2,1,1]、[2,1,2,2]；

子空間Ⅲ：[2,2,2,1]、[1,1,1,2]、[2,2,1,2]、[1,1,2,1]；

子空間Ⅳ：[2,1,1,2]、[1,2,2,1]、[2,1,2,1]、[1,2,1,2]。

對于產(chǎn)品1，限制后的ATO系統(tǒng)不滿足上述判定條件。

在FCFS策略和(r，nQ)策略下，目前并不存在能求解ATO系統(tǒng)的產(chǎn)品期望缺貨的多項式時間復(fù)雜度的精確算法，因此，研究的重點集中在求出其近似表達(dá)式。其中，Lu等[23]通過將原系統(tǒng)“拆分”成若干分配系統(tǒng)，并用這些分配系統(tǒng)的單位時間庫存總成本的和來作為原系統(tǒng)的單位時間庫存總成本的近似。由引理3和引理4可知，“拆分”后的分配系統(tǒng)的單位時間庫存總成本的和與子空間的選擇無關(guān)，這也間接表明不同的子空間對ATO系統(tǒng)的單位時間庫存總成本的影響是很小的。

表1 例7中產(chǎn)品1的即時滿足率隨λL的變化規(guī)律

當(dāng)ATO系統(tǒng)的庫存分配策略采取FRFS策略時，某一產(chǎn)品的訂單滿足率不僅取決于裝配它所需要的零部件的庫存水平，還取決其他零部件的庫存水平和現(xiàn)有庫存，此時上述判定方法將會失效。下面通過一個簡單的例子就可以看出這一點。

例8考慮例7中的ATO系統(tǒng)。

5 FCFS策略與FRFS策略下不同子空間中產(chǎn)品期望缺貨的仿真實驗

根據(jù)前面的證明過程，比較不同子空間對單位時間庫存總成本的影響時，只需要考慮不同子空間對產(chǎn)品期望缺貨的影響即可。設(shè)計仿真實驗，研究FCFS策略和FRFS策略下不同子空間中的產(chǎn)品期望缺貨的不同。這里以產(chǎn)品的期望缺貨為目標(biāo)，以零部件的到達(dá)間隔時間為變量進(jìn)行仿真。

表2 仿真模型中零部件的相關(guān)參數(shù)

表3 仿真模型中產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)

當(dāng)零部件C4初始庫存位值為[2 2 2 2]時，該ATO系統(tǒng)平穩(wěn)后的子空間為W1，初始庫存位值為[2 2 2 1]時的子空間為W2。零部件C4的平均到達(dá)間隔時間的值為u。通過仿真實驗，研究當(dāng)u變化時，F(xiàn)CFS策略和FRFS策略下不同子空間中的產(chǎn)品期望缺貨之間相對差距的變化。對于每一次實驗，仿真總時間設(shè)定為70 000單位仿真鐘時間。設(shè)定仿真鐘時間前20 000為初始階段，對20 000～70 000時間內(nèi)的運行數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計。零部件C4的平均到達(dá)間隔時間u在0.25～2之間每隔0.25取一個值。在每一次取值下，對FCFS策略和FRFS策略進(jìn)行50次仿真。仿真結(jié)果如表4和表5所示。將表4和表5中FCFS策略和FRFS策略下不同子空間中的產(chǎn)品期望缺貨的相對差距繪制折線圖，如圖3和圖4所示。所有仿真中，p值均小于0.000 1。

表4 FCFS策略下不同子空間中產(chǎn)品期望缺貨相對差距

表5 FRFS策略下不同子空間中產(chǎn)品期望缺貨相對差距

由圖3和圖4可以看出：

(1)FCFS策略下產(chǎn)品P1的期望缺貨在不同子空間中差距較大，而產(chǎn)品P2的期望缺貨在不同子空間中沒有差別。FRFS策略下產(chǎn)品P1和產(chǎn)品P2的期望缺貨在不同子空間中都有一定的差別。這一結(jié)果印證了第4節(jié)中關(guān)于FCFS策略與FRFS策略下不同產(chǎn)品在不同子空間中期望缺貨差距的討論。

(2)隨著零部件C4的平均到達(dá)間隔時間的增大，F(xiàn)CFS策略下的產(chǎn)品P1以及FRFS策略下的產(chǎn)品P1、產(chǎn)品P2的期望缺貨的相對差距均先增大后減小。換句話說，隨著產(chǎn)品的期望缺貨的增大，不同子空間下該產(chǎn)品的期望缺貨的相對差距先增大后減小。該現(xiàn)象可以這樣理解：當(dāng)零部件C4的平均到達(dá)間隔時間很小時，子空間W1和子空間W2中產(chǎn)品的期望缺貨主要取決于另外3種零部件，而這兩個子空間限制到另外3種零部件上是相同的，因此產(chǎn)品的期望缺貨相差不大。而當(dāng)零部件C4的平均到達(dá)間隔時間很大時，子空間W1和子空間W2中產(chǎn)品的期望缺貨主要取決于零部件C4，而這兩個子空間限制到零部件C4上是相同的，因此產(chǎn)品的期望缺貨相差也不大。

6 結(jié)束語

為了對一個ATO系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，需要知道在不同的庫存策略下庫存位值、庫存水平、缺貨、現(xiàn)有庫存和在途庫存等的分布規(guī)律。通常對庫存系統(tǒng)分析是按照庫存位值、在途庫存、庫存水平、缺貨、現(xiàn)有庫存的從易到難的路徑進(jìn)行的。然而，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得在(r，nQ)策略下ATO系統(tǒng)的庫存位值的分布表現(xiàn)出一些MTS系統(tǒng)所不具有的性質(zhì)。因此，需要首先對ATO系統(tǒng)平穩(wěn)時的庫存位值的分布規(guī)律進(jìn)行分析。

本文沿著Song[15]的開創(chuàng)性工作，對ATO系統(tǒng)的庫存位值分布規(guī)律做了更進(jìn)一步的研究。主要包括以下內(nèi)容：

(1)證明了平穩(wěn)時ATO系統(tǒng)的庫存位值的分布要么是在全空間上的均勻分布要么是在某個子空間(取決于運行初始狀態(tài))上均勻分布，并證明了子空間之間相互同構(gòu)并且子空間內(nèi)各狀態(tài)對稱。

(2)Feng等[16]曾給出了一個判定ATO系統(tǒng)的庫存位值平穩(wěn)分布是否是全空間均勻分布的方法，但該方法需要判定很多個線性同余方程組的解，因此較復(fù)雜。本文提供一個新的判定方法，該方法實質(zhì)上只需要求出一個線性同余方程組的解的個數(shù)即可，且該方法還能求出每個子空間的狀態(tài)的個數(shù)。

(3)最后通過近似表達(dá)式和仿真分析初步揭示了在FCFS策略和FRFS策略下，不同的ATO系統(tǒng)的庫存位值分布規(guī)律對其系統(tǒng)性能的影響。

本文的研究表明，在很多情況下，ATO系統(tǒng)庫存位值的平穩(wěn)分布是在某個子空間上的均勻分布，不同子空間對于系統(tǒng)性能將會產(chǎn)生影響。由于初始值的不同將會導(dǎo)致庫存位值在不同的子空間上分布，因此當(dāng)企業(yè)在進(jìn)行ATO系統(tǒng)的庫存管理時，不僅需要確定庫存控制策略的最優(yōu)參數(shù)，還要確定系統(tǒng)運行的最優(yōu)初始值。

在這一領(lǐng)域，還有很多工作需要完成，主要包括：

(1)建立一種更簡單、更直接的判定ATO系統(tǒng)的庫存位值平穩(wěn)分布的方法。最好的結(jié)果是判定方法中無需求解方程組，而是可以通過BOM矩陣和補(bǔ)貨矩陣直接求出平穩(wěn)分布的規(guī)律，并通過求解能得到子空間內(nèi)部更細(xì)致的性質(zhì)。

(2)本文只在FCFS和FRFS策略下對不同子空間的ATO系統(tǒng)的單位時間庫存總成本這一指標(biāo)進(jìn)行了分析，更進(jìn)一步需要研究不同庫存分配策略下不同子空間中的各種性能指標(biāo)(如訂單滿足率、缺貨隊列分布、現(xiàn)有庫存分布等)的表現(xiàn)差異隨各參量的變化規(guī)律，最好能給出差值的近似上下限公式。