例談高中數學教學中的問題設計

徐德明

摘要：“問題是數學的心臟。”在高中數學教學實踐中，以努力“理解數學”“理解學生”為基礎，借助現實情境、數學實驗、已有知識（問題），圍繞教學重難點，針對解題錯誤來設計問題，啟發(fā)學生思考，引導學生學習。

關鍵詞：高中數學;問題設計;理解數學;理解學生

“問題是數學的心臟?！痹跀祵W教學中，利用問題啟發(fā)學生思考，引導學生學習，可以增強學生的問題意識，培養(yǎng)學生發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的能力;激活學生的思維，提升學生的思維能力;使學生不再被動地接受知識，而是主動地探求新知，從而完成“再發(fā)現”“再創(chuàng)造”，實現意義建構，發(fā)展探究精神。

在高中數學教學實踐中，筆者以努力“理解數學”“理解學生”為基礎，采取以下策略設計問題。

一、借助現實情境設計問題

高度抽象的特征常常使學生難以理解數學知識。對此，可將數學知識還原到現實情境中，使其更加具體、直觀，讓學生增加感性認識。因此，可借助現實情境設計問題，引導學生學習。

比如，學生初學立體幾何時，普遍空間感不強，想象力不夠。而現實世界就是一個立體世界，教室就是一個典型的幾何體，其中，點、線、面的位置關系非常豐富，也非常清楚。教師可充分利用教室情境設計問題，引導學生學習。以“平面的基本性質”的教學為例，可借助教室情境設計如下問題：

1.用兩個合頁和一把鎖就可以將一扇門固定，這說明平面具有什么性質？或者說，這利用了平面的什么性質？

2.將一把尺子置于桌面上，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整，這說明平面具有什么性質？或者說，這利用了平面的什么性質？

3.教室內墻角處有三個平面，它們有一個公共點，任意兩個有且只有一條過該點的公共直線，這說明平面具有什么性質？

4.椅子放不穩(wěn)，可用兩根細繩沿椅子四個腳的對角拉直，通過兩根細繩是否相交檢查椅子的四個腳是否在同一平面內，這說明平面具有什么性質？或者說，這利用了平面的什么性質？這里的性質和前面的性質有關系嗎？

由此，可以引導學生得出平面的三個基本性質以及第一個性質的一個推論：

1.過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面。

2.如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內。

3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的直線。

4.經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

二、借助數學實驗設計問題

要使數學知識更加具體、直觀，還可以設計合適的數學實驗，給學生觀察、操作的機會，強化學生的學習體驗。因此，可借助數學實驗設計問題，引導學生學習。

例如，教學“橢圓的定義和標準方程”時，可讓學生用兩枚圖釘將一條不可伸縮的細繩的兩端固定在白紙上，使繩子不繃緊，然后用鉛筆將繩子拉緊并沿著繩子在白紙上畫圖。借助這一數學實驗，可提出如下問題：

1.得到的圖形是什么？

2.在畫圖的過程中，有哪些變化的量和不變的量？

3.改變圖釘之間的距離，得到的圖形有什么不同？繩子的長度和圖釘之間的距離有什么關系？

4.固定繩子時將繩子繃緊，會得到什么圖形？

5.我們之前是如何得到圓的方程的？請嘗試求出橢圓的方程（比較不同的建系方法）。

6.橢圓標準方程中的量在圖形中如何體現？

借助數學實驗，以問題為導向，可讓學生在動手動腦的過程中充分理解橢圓的定義以及標準方程。

這里值得一提的是，有了幾何畫板、GeoGebra等數學軟件，數學實驗也可不借助實物操作，而借助模擬操作來設計和完成。

三、借助已有知識（問題）設計問題（變式）

奧蘇伯爾說過：“影響學習的最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點并據此進行教學?！睌祵W教學中的問題設計，除了要考慮內容是否便于學生理解，還要考慮學生已經知道（掌握）了什么，即知識背景。因此，可借助學生的已有知識（問題）設計問題（變式）。這也是“真學習”或“學習進階”理念的要求。

例如，蘇教版高中數學教材《數列》一章中，有這樣一道題：“已知無窮等比數列{an}的首項為a1，公比為q，那么數列{can}（其中，c為常數，且c≠0）是等比數列嗎？如果是，它的首項和公比是什么？”這個問題對很多學生來說很容易解決。教師可借助該問題設計變式（拓展延伸）問題，幫助學生深化理解、觸類旁通。變式問題如下：

1.已知數列{an}、{bn}是無窮等比數列，那么數列{anbn}、{anbn}、{pan+qbn}、{an+an+r}也是等比數列嗎？

2.已知數列{an}、{bn}是無窮等差數列，那么數列{pan+qbn}、{an+an+r} 也是等差數列嗎？

四、圍繞教學重難點設計問題

當然，為了提高教學效率，不必處處設問，還應該適當講授。為此，可依據教學目標和學習情況確立教學重難點，然后圍繞教學重難點，變換角度設計問題，促進學生理解知識，幫助學生克服困難。

例如，《等差數列的概念》一課，教學重點是讓學生掌握等差數列的概念。為此，可聚焦數學情境，讓學生觀察具體的等差數列，思考如下問題：

1.從第一項開始依次觀察，書本上引例中的數列各項都有怎樣的變化？

2.各項依次變化的程度有什么共同點？你能否為該數列命名？

3.判斷數列“1，2，3，5，6，7，…”是否為等差數列？

4.判斷數列“0，-1，-2，-3，…”是否為等差數列？

5.判斷數列“1，1，1，1，1，1，…”是否為等差數列？

6.能否模仿這樣的特點給出一個數列？

在問題的引導下，通過對具體數列特點的抽象、概括以及運用，學生充分理解了等差數列的概念。

再如，《函數的零點》一課，學生容易理解零點的定義及其中蘊含的函數與方程思想，但是很難理解零點判定定理條件和結論的內涵和價值，難以穩(wěn)固掌握零點判定定理。對此，可設計問題，讓學生充分辨析零點判定定理的條件和結論。問題如下：

1.從函數零點判定定理中可以看出，函數具備了哪些條件，就可斷言它有零點？

2.如果去掉條件“圖像連續(xù)不斷”，會怎么樣？

3.如果去掉條件“f（a）f（b）<0”呢？

4.如果具備上述兩個條件，函數有多少個零點？是否恰有一個零點？

5.若連續(xù)函數 f（x） 在[a，b]上有零點，是否一定有 f（a）f（b） <0 ？ 若恰有一個零點呢？

6.函數的零點是否都可由上述定理判斷？

五、針對解題錯誤設計問題

學生在學習（如解題）中出現錯誤在所難免。教師要幫助學生糾正錯誤，并且避免學生再犯類似的錯誤。為此，教師首先要弄清楚學生出錯的原因，然后要設計有針對性的問題，引導學生在解決問題的過程中明晰出錯的原因，獲得正確的認識（解法），同時提高思維能力。

學生解題錯誤的原因主要有概念理解偏差、相似問題干擾、認知水平不夠等。對于概念理解偏差，可抓住定義中的關鍵詞設計問題，引導學生深入理解概念的內涵;也可引導學生舉出符合概念定義的例子或構建概念體系，明確概念的外延。對于相似問題干擾，可將兩個（類）問題歸到一起，激發(fā)學生的認知沖突，引導學生比較分析兩個（類）問題的異同點，厘清認識。對于認知水平不夠，可搭建“臺階”，降低思維的跨度，減緩思維的坡度。

例如，高一《數列》習題課上，學生解答問題“已知數列{an}滿足a1=1，an+1-an=n，求數列{an}的通項公式”時，出現了這樣的錯誤：an=1+（n-1）n=n2-n+1。這說明學生沒有理解等差數列定義中“同一個常數”的含義，將{an}當成等差數列來求通項公式了。對此，可設計如下問題：

1.判斷下列數列是否為等差數列：①1，2，3，4，5，6，…;②1，2，4，7，11，16，22，29，…。

2.若數列{an}滿足an=n2-n+1，判斷該數列是否為等差數列，并說明理由。

3.我們是如何推導等差數列的通項公式的？本題中的條件“an+1-an=n”與等差數列定義的表達式有何相似之處？這對我們求本題中數列{an}的通項公式有什么啟發(fā)？

4.若將本題中“an+1-an=n”這一條件改成“an+1an=nn+1”，如何求解？

5.一般地，若數列{an}滿足an+1-an=d（d為常數），或an+1an=q（q為常數），或an+1-an=f（n），或an+1an=f（n），則數列{an}的通項公式分別是什么？

這里，問題1通過正、反兩個例子讓學生具體感受等差數列等距離遞推的本質屬性，從而明白自己的錯誤所在;問題2讓學生通過推理得到矛盾，從而確認自己的錯誤事實，同時培養(yǎng)學生追求嚴謹的科學精神;問題3搭建“支架”，引導學生通過類比獲得解決問題的方法;問題4為變式，引導學生對比變化解決問題的方法;問題5引導學生總結梳理不同的問題類型和解決方法。