一種三對角矩陣的相似對角化及其應(yīng)用

張興剛　曹磊

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11965007）;貴州省科技合作計劃資助項(xiàng)目（20157641）

摘 要：針對二維筒倉中隨機(jī)堆積的顆粒體系，建立了一個由吸收系數(shù)p和側(cè)向傳遞系數(shù)q決定的格點(diǎn)系統(tǒng)模型。導(dǎo)出了筒倉底部的壓力分布與頂部壓力分布的關(guān)系式，該關(guān)系式的解析計算涉及到三對角形式的傳遞系數(shù)矩陣A（p，q）的相似對角化。通過相似變換將A（p，q）對稱化，并且提出基于二階差分方程的方法討論這種對稱三對角矩陣的特征值和特征向量，只有在特殊情況下才能解析地求出A（p，q）的所有特征值并將其相似對角化。最后將相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)果用于計算有效質(zhì)量隨顆?？傎|(zhì)量的變化關(guān)系，結(jié)果表明格點(diǎn)系統(tǒng)模型可以得到與Janssen模型類似的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：糧倉效應(yīng);格點(diǎn)模型;三對角矩陣;特征值;特征向量

中圖分類號：O151，O312? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

顆粒介質(zhì)的靜力學(xué)問題是顆粒物質(zhì)研究中基礎(chǔ)且重要的方面，它與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)（例如，工程中地基的承載能力、砂石骨料的受力結(jié)構(gòu)，材料科學(xué)中顆粒材料的力學(xué)性能，等等），對于其它復(fù)雜體系（例如，懸浮液、泡沫、膠體等）的理解也有重要的意義[1-2]。人們在很早的時候就發(fā)現(xiàn)，筒倉中的糧食與水在靜力學(xué)方面有很不相同的表現(xiàn)，糧倉底部所受壓力會隨糧食堆積高度的增加而趨于飽和，這就是顆粒物質(zhì)靜力學(xué)中一個著名的效應(yīng)——糧倉效應(yīng)[1，3]。早在1895年，德國工程師Janssen就提出了基于一定假設(shè)的連續(xù)介質(zhì)模型，對糧倉效應(yīng)進(jìn)行解釋。然而，顆粒物質(zhì)是一種典型的復(fù)雜體系，目前還沒有關(guān)于顆粒介質(zhì)靜力學(xué)的系統(tǒng)、成熟的理論，許多基本問題仍需深入探究。因此，自上世紀(jì)九十年代的顆粒物質(zhì)研究熱潮以來，仍有許多研究者對糧倉效應(yīng)及相關(guān)的問題進(jìn)行研究[4-13]。例如，最近有關(guān)反糧倉效應(yīng)[11]和磁性顆粒體系糧倉效應(yīng)[12]的工作。已有的研究工作以實(shí)驗(yàn)和計算機(jī)模擬為主，理論方面也主要是對Janssen模型、OSL模型等宏觀唯象模型[4]的討論，對于糧倉效應(yīng)產(chǎn)生的微觀機(jī)理以及唯象參數(shù)與微觀結(jié)構(gòu)的聯(lián)系還不是很清楚。為了深入認(rèn)識顆粒介質(zhì)所服從的力學(xué)規(guī)律，很有必要加強(qiáng)顆粒體系的微觀結(jié)構(gòu)、力網(wǎng)、力傳遞等問題的研究，基于微觀的幾何和力學(xué)分析建立體系的微觀特征與宏觀性質(zhì)之間的聯(lián)系[13-15]。

對于圓盤的晶格堆積，文獻(xiàn)[6]中通過結(jié)構(gòu)和力學(xué)平衡的分析得到了相鄰兩層顆粒間力傳遞的規(guī)則，并且利用力傳遞規(guī)則得到了隨著堆積層數(shù)增加容器底部總壓力會趨向飽和的結(jié)果。對于非晶格的堆積結(jié)構(gòu)，不借助計算機(jī)模擬很難從理論上直接進(jìn)行結(jié)構(gòu)和力學(xué)的分析。標(biāo)量q模型是研究顆粒堆積中力的幾率分布的一個著名的模型[15]。為了便于從理論上研究筒倉底部壓力分布與頂部壓力分布的關(guān)系，可以采用q模型的基本思想，將筒倉中隨機(jī)堆積的顆粒體系抽象簡化為格點(diǎn)系統(tǒng)。本文以二維筒倉中隨機(jī)堆積的顆粒體系為物理背景，建立了一個由吸收系數(shù)p和側(cè)向傳遞系數(shù)q決定的格點(diǎn)系統(tǒng)模型，該模型的解析求解涉及到三對角形式的傳遞系數(shù)矩陣A（p，q）的相似對角化。文中通過相似變換將A（p，q）對稱化，并且提出基于二階差分方程的方法對矩陣的特征值和特征向量進(jìn)行分析和計算;最后，將相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)果用于討論糧倉效應(yīng)的有關(guān)問題。

1 力傳遞的數(shù)學(xué)模型

為討論問題方便，這里主要研究二維的情形，將糧倉效應(yīng)中的物理體系抽象為圖1所示的帶有邊界的格點(diǎn)系統(tǒng)。在格點(diǎn)系統(tǒng)中，一個格點(diǎn)等效于一小團(tuán)顆粒，第m行n列的格點(diǎn)用符號P（m，n）表示，格點(diǎn)的總行數(shù)M≥2，總列數(shù)N≥5，并且每個格點(diǎn)都受到重力m的作用。類似于標(biāo)量q模型，這里主要關(guān)注每個作用力在豎直方向上的分量，因此在下面的討論中，所說的作用力一般是指力在豎直方向上分力的大小。頂部各個格點(diǎn)所受的壓力可用行向量f=（f， f，…，f）描述，底部各個格點(diǎn)對容器底的壓力用f=（f，f，…，f）描述。為了給出底部壓力分布f與頂部壓力分布f的關(guān)系，需要結(jié)合實(shí)際物理體系的特征定義恰當(dāng)?shù)南噜弮蓪痈顸c(diǎn)間力傳遞的規(guī)則。這里以隨機(jī)堆積為物理背景，定義了圖1所示的一種典型的力傳遞規(guī)則。規(guī)定同一行的格點(diǎn)間沒有豎直方向的分力，不相鄰的兩行格點(diǎn)間也沒有相互作用。對于任意格點(diǎn)P（m，n），稱其所受的重力、頂部對其產(chǎn)生的壓力、以及第m-1行格點(diǎn)對其產(chǎn)生的作用力為輸入力;將P（m，n）對第m+1行格點(diǎn)、及其對容器的作用力稱為輸出力;對于每一個格點(diǎn)，只有上述五種豎直方向分力的存在，為了保證格點(diǎn)在豎直方向的力平衡，總輸入力必須等于總輸出力。圖1中用實(shí)線箭頭比較完整地畫出了第一行格點(diǎn)的各個輸入力及輸出力的情況（重力沒有畫），圖中的虛線箭頭上也標(biāo)出了每種輸出力對應(yīng)的系數(shù)。

是一個三對角矩陣[16]。傳遞系數(shù)矩陣只由p和q這兩個參量確定，因此為了表述方便，稱這個模型為pq模型。模型中的p稱為吸收系數(shù)，反映了由于容器側(cè)壁與顆粒的摩擦所導(dǎo)致的格點(diǎn)總輸入力被器壁吸收的程度，它滿足0≤p<1;若容器側(cè)壁與顆粒無摩擦，則p=0，有摩擦?xí)r0? ? ?由圖1中定義的力傳遞規(guī)則，有fM=wM;因此由（1）、（2）兩式可以導(dǎo)出fM與f0的關(guān)系。假設(shè)存在可逆矩陣Q使A=QΛQ-1，并且假設(shè)A-E可逆（E是N階單位矩陣），不難導(dǎo)出

利用Janssen模型[1，4]可以得到Me=Ms（1-e-Mt/Ms），其中Ms叫作飽和質(zhì)量;顯然（33）式的結(jié)果與Janssen模型得到的結(jié)果很接近，這說明本文中的pq模型也可以解釋糧倉效應(yīng)，它在一定程度上正確反映了筒倉系統(tǒng)中力傳遞的特征。利用（29）式，還可以比較方便地討論容器底部的應(yīng)力分布、點(diǎn)載荷的響應(yīng)等方面的力學(xué)問題。當(dāng)然，如果要深入了解p和q對這些力學(xué)問題的影響，就需要求解方程（25）;根據(jù)前面的數(shù)學(xué)討論，在一般情況下應(yīng)該結(jié)合數(shù)值計算才能解決這個問題。

4 結(jié)論

為了從微觀上理解糧倉效應(yīng)，我們針對二維隨機(jī)堆積建立了一個格點(diǎn)系統(tǒng)模型——pq模型。該模型的解析求解涉及到三對角形式的傳遞系數(shù)矩陣A（p，q）的相似對角化，這也是本文的重點(diǎn)。我們通過相似變換將A（p，q）對稱化，并且提出基于二階差分方程的方法比較有效地解決了該對稱矩陣的特征值和特征向量的計算。對于p=1/2、q=1這種典型的情況，我們解析地導(dǎo)出了糧倉底部的有效質(zhì)量隨顆粒總質(zhì)量的變化關(guān)系;其它p，q取值的情況也可轉(zhuǎn)化為數(shù)值求解高次代數(shù)方程（25）的問題。本文討論的pq模型只是格點(diǎn)系統(tǒng)模型中一種可能的力傳遞形式，對于不同的堆積結(jié)構(gòu)和環(huán)境條件，可能具有不同的力傳遞規(guī)則，在數(shù)學(xué)上一般表現(xiàn)為不同的傳遞系數(shù)矩陣。本文提出的理論方法對于其它傳遞系數(shù)矩陣的情形有借鑒的價值，研究的結(jié)果也能加深對微觀力傳遞規(guī)則與宏觀壓力分布之間關(guān)系的認(rèn)識。參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

作者簡介：張興剛（1980—），男，副教授，博士，研究方向：統(tǒng)計物理和凝聚態(tài)理論的研究，E-mail：xgzhang@gzu.edu.cn.

通訊作者：張興剛，E-mail：xgzhang@gzu.edu.cn.

Similarity Diagonalization of a Tridiagonal Matrix and its Applications

ZHANG Xinggang CAO Lei

（1.School of Physics，Guizhou University，Guiyang 550025，China;

2.Powerchina Guiyang Engineering Co. Ltd.， Guiyang 550081，China）

Abstract： A lattice model which is determined by the absorption coefficient p and the lateral transfer coefficient q is proposed for the two dimensional disordered granular columns. The pressure distribution relation between the top and the bottom of the container is deduced， and the analytic calculation of this mathematical relation involves the similarity diagonalization of tridiagonal transfer matrix A（p，q）. A similarity transformation is proposed to symmetrize A（p，q）， and the method based on the second order difference equations is proposed to obtain the eigenvalues and eigenvectors of the symmetric matrix. Finally， these mathematical results are used to discuss Janssen effect. Calculations show that results similar to Janssen model can be produced by our lattice model.

Key words： janssen effect; lattice model; tridiagonal matrix; eigenvalue; eigenvector