換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王鳳梅

(山東省青島市城陽區(qū)第一高級中學(xué) 266108)

換元法作為高中數(shù)學(xué)具體教學(xué)中，較為常見的一種解題方法，在數(shù)學(xué)的解題中，通常會出現(xiàn)較為復(fù)雜或存有兩個(gè)及其以上的未知條件的相關(guān)數(shù)學(xué)題，在解題的時(shí)候，可依據(jù)知識之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，對數(shù)學(xué)題中存有的數(shù)量關(guān)系實(shí)施轉(zhuǎn)化，并通過各變量的條件轉(zhuǎn)換，將一種問題轉(zhuǎn)變成另種問題，以實(shí)現(xiàn)整個(gè)解題的簡化.同時(shí)，換元方法有許多種，如函數(shù)換元、變量換元、不等量換元、三角函數(shù)的換元等.在具體解題的時(shí)候，教師通過換元法的靈活應(yīng)用，不僅能夠?qū)W(xué)生自身的思維敏捷度進(jìn)行鍛煉，而且還能使學(xué)生自身的思維能力得到有效提高.

一、換元法內(nèi)涵及其應(yīng)用技巧歸納

1.換元法內(nèi)涵

所謂的換元法，其主要就是把數(shù)學(xué)題目中原先的部分變量通過另一些變量進(jìn)行替代，經(jīng)過換元，通常能夠產(chǎn)生縮減變量、簡化形式的效果.較為常見的換元方式包含三種，具體為：(1)整體換元，如將x表達(dá)式的f(x)進(jìn)行整體替換成t，并通過t表示成其他的與x有關(guān)的表達(dá)式；(2)利用關(guān)系，其主要指將較為相似的表達(dá)式進(jìn)行換元，其主要是通過已知代數(shù)式和三角知識的聯(lián)系實(shí)施換元，也就是在解題的時(shí)候，通過相同的參數(shù)，對兩個(gè)變量進(jìn)行表示，以減少變元，促使問題簡化；(3)均值換元，當(dāng)能夠確切求出兩個(gè)變量和的時(shí)候，就能通過均值換元.不論是何種換元，在換元之后，都能夠?qū)π伦兞繉?shí)施運(yùn)算，在對變量完成計(jì)算后，再對原變量進(jìn)行取值，通過這樣的解題思路，需確保換元時(shí)的等效變換，特別是定義域轉(zhuǎn)變，只有確保變換的等效，才能確保計(jì)算結(jié)構(gòu)的有效性.

2.應(yīng)用技巧歸納

首先，常規(guī)換元法的掌握.對于不同換元法，其通常具有相應(yīng)的形式，特別是三角換元.因此，對于難度較低的題目，學(xué)生只要充分掌握較為常規(guī)化的換元規(guī)律，并做出迅速反應(yīng)，就能實(shí)現(xiàn)迅速解題.

其次，注重題目形式的觀察.對于難度相對較高的數(shù)學(xué)題型，其題目的條件通常具有較強(qiáng)的隱藏性，此時(shí)，就需對題目條件實(shí)施相應(yīng)的梳理與分析，并找到換元實(shí)施的突破點(diǎn).需要注意的是，題型的難度通常不會對換元的相關(guān)條件造成影響，因此，對條件實(shí)施初步解算以及分析，不僅有利于學(xué)生打開解題思路，而且還能實(shí)現(xiàn)高效解題.

最后，注意等效的條件.應(yīng)用換元法的前后，其等效性通常是其正確應(yīng)用的重要保證，但也是在解題中最容易被忽略的部分.不論是哪種題型，難度如何，都需對等效性進(jìn)行牢固記憶.

二、換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

1.基于換元法的三角函數(shù)教學(xué)

例1 已知x、y滿足x2-xy+y2=1，求x2-y2的取值范圍.

2.基于構(gòu)造輔助的函數(shù)換元

基于構(gòu)造輔助的函數(shù)換元屬于極其重要的一種解題方法.對于函數(shù)而言，其作為高中數(shù)學(xué)具體教學(xué)中的核心知識，通常具有相應(yīng)的導(dǎo)向性與工具性，大部分問題都能夠以巧妙的構(gòu)造進(jìn)行函數(shù)輔助，促使復(fù)雜難解的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^明了，轉(zhuǎn)變?yōu)槌绦蚧?

解若m=1，a<0的時(shí)候，f(x)=x-aInx-1，x∈(0,+∞).

通過構(gòu)造輔助函數(shù)方法，對具體問題進(jìn)行分析，明確原問題和和輔助函數(shù)之間的聯(lián)系，并通過相應(yīng)的推理，構(gòu)造出合理的輔助函數(shù)，從而對問題進(jìn)行有效解決.

3.基于換元法的不等式解題

不等的證明與解答相關(guān)問題屬于高中數(shù)學(xué)中的重要模塊，通過換元法，對題實(shí)施新元替換，不僅有助于學(xué)生解題思路進(jìn)行梳理，而且還能實(shí)現(xiàn)高效解題.

在實(shí)際解題中，經(jīng)過換元法進(jìn)行新不等式的構(gòu)建，不僅使解題思路得到有效簡化，而且還能促使解題方式實(shí)現(xiàn)簡便化，這對不等式相關(guān)問題解答是個(gè)重要突破口，也是一種高效的解法.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，換元法屬于較為常見的一種解題方法，其不僅指解題過程的簡化，而且還有助于學(xué)生形成良好的解題思路，并形成發(fā)散思維，同時(shí)，靈活的應(yīng)用各種換元法，還能使繁瑣且復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題實(shí)現(xiàn)簡化計(jì)算.