均勻帶電薄圓盤(pán)在垂直于盤(pán)面軸線(xiàn)上任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的等效算法

楊鈞捷 汪 飛

(江蘇省海門(mén)中學(xué),江蘇 南通 226100)

均勻帶電薄圓盤(pán)在垂直于盤(pán)面軸線(xiàn)上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度可以用微積分進(jìn)行計(jì)算,這里介紹一種等效算法來(lái)計(jì)算均勻帶電薄圓盤(pán)在垂直于盤(pán)面軸線(xiàn)上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.

圖1

例1.如圖1所示,圓錐體O-S的頂點(diǎn)為O,底面面積為S,頂角為2θ0,垂直于底面對(duì)稱(chēng)軸為y軸,底面的圓心為C、半徑為R,AB為底面的直徑,OA、OB為圓錐體的母線(xiàn).以O(shè)為球心,OC=a為半徑作球面與圓錐體O-S的側(cè)面相交得到相切于圓錐底面的頂角為2θ0、半徑為a、面積為S1的球冠面.

若在圓錐底面S處放置電荷面密度為σ的薄圓盤(pán),在球冠面S1處放置電荷面密度同為σ的薄球冠面.各面上電荷不能自由移動(dòng).

圖2

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,帶電薄圓盤(pán)σS在軸線(xiàn)y軸上O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)沿軸線(xiàn)方向,薄圓盤(pán)S上的面元電荷σΔS在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿y軸的分量為

可以看出,無(wú)窮大均勻帶電平面在面外任一點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)與到平面的距離a無(wú)關(guān),即無(wú)窮大均勻帶電薄平面在面外任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是恒定的,方向垂直于平面,與高斯定理分析得到的結(jié)論是相同的.[2]

在往年一些省份的高考選擇題中也考察了帶電圓盤(pán)軸線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題,主要考察特殊值及量綱法分析,這里選用高考題的題干情境利用等效算法進(jìn)行定量計(jì)算.

圖3

例2.(2009年北京高考題)如圖3所示為一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面,電荷面密度為σ.取環(huán)面中心O為原點(diǎn),以垂直于環(huán)面的軸線(xiàn)為x軸.設(shè)軸上某點(diǎn)P到O點(diǎn)的的距離為x,求P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小.

圖4

例3.(2010年福建高考題)如圖4所示為兩個(gè)彼此平行且共軸的半徑分別為R1和R2的圓盤(pán),兩圓盤(pán)的電荷面密度分別為σ1和σ2,兩圓盤(pán)的圓心O1和O2相距為2a,在圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)為O,為使兩帶電圓盤(pán)在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零,則兩圓盤(pán)的面電荷密度之比應(yīng)為多少?