旋轉(zhuǎn)液體液面形狀的幾種解法

程震驚

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)，新疆 烏魯木齊 830002)

題干中介紹了旋轉(zhuǎn)液體的液面為旋轉(zhuǎn)拋物面，據(jù)此考察了液體旋轉(zhuǎn)前后，液面高度的變化和一些幾何光學(xué)的知識.但是很多學(xué)生對于旋轉(zhuǎn)液體液面形狀形成的緣由并不清楚，后續(xù)處理一些相關(guān)內(nèi)容時(shí)，會感到棘手.筆者對該問題，使用不同的方法，從不同的角度進(jìn)行說明.

圖1

在重力的作用下，假設(shè)旋轉(zhuǎn)液體的液面達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).如圖1所示，取坐標(biāo)原點(diǎn)在液面的最低點(diǎn)，縱坐標(biāo)軸z與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標(biāo)軸r與z軸垂直.

方法1.由于液面達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，取液面上(r，z)處，某一質(zhì)量為m的小液滴作為研究對象.小液滴在重力mg和支持力N的共同作用下做勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω.則小液滴受到的合力為

F合=mgtanθ=mω2r，

其中r是小液滴到z軸的距離，而

進(jìn)而得到液面微分方程

解得

代入初始條件，ω=0時(shí)，z=z0，其中z0為液體沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)液面的z軸坐標(biāo)，得

為拋物線，繞z軸旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)拋物面.

圖2

方法2.取旋轉(zhuǎn)的圓筒為參考系，為非慣性參考系.由于液面達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，對于某個(gè)質(zhì)量m的小液滴而言，即達(dá)到了受力平衡狀態(tài).因此，有小液滴受到重力mg，支持力N，慣性離心力F慣=mω2r，3個(gè)力的合力為0，如圖2所示.小液滴沿液面切線方向受力平衡，有

mgsinθ=mω2rcosθ，

而

進(jìn)而得到液面微分方程

后續(xù)解法同方法1.

圖3

方法3.取液面上某一點(diǎn)(r，z)到z軸的距離對應(yīng)的水平細(xì)液柱為研究對象，如圖3所示.

化簡得

圖4

為拋物線，繞z軸旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)拋物面.

得

為拋物線，繞z軸旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)拋物面.

容器轉(zhuǎn)動帶動液體旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)液體液面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面.這是物理學(xué)中的一個(gè)重要物理現(xiàn)象.光學(xué)儀器、雷達(dá)天線等越來越多的領(lǐng)域利用這個(gè)物理現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)研究和實(shí)驗(yàn).掌握其不同的推導(dǎo)證明方式，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).