外測數(shù)據誤差的高精度估計與分離方法

劉利軍，涂國勇，朱時銀，李 曦

(中國人民解放軍63620部隊,甘肅酒泉 732750)

0 引言

航天發(fā)射場測量數(shù)據的精度在很大程度上取決于測控設備的跟蹤精度，但提高設備跟蹤精度的成本較高，且受制于設備生產的工藝水平和其他因素，有其固有的極限。目前，廣泛采用的處理策略是通過先進、可靠的數(shù)據預處理方法來彌補設備精度的不足[1]。測量數(shù)據誤差的估計與分離是外測數(shù)據預處理中的一項重要工作，無論是無線電測量、光學測量或其他測量手段，由于測控設備本身或數(shù)據傳輸、記錄和處理過程中周圍環(huán)境的影響，都不可避免地存在誤差。如果對測量數(shù)據序列中的誤差不予以分離和消除，將給數(shù)據處理結果帶來很大的偏差，嚴重影響外測數(shù)據處理的精度[2]。

對測量數(shù)據而言，系統(tǒng)誤差影響真實信號的準確度，隨機誤差影響真實信號的精密度。要獲得高精度的外彈道測量數(shù)據，必須準確分離系統(tǒng)誤差，同時要正確地揭示隨機誤差的統(tǒng)計特性。本文針對航天發(fā)射場外測數(shù)據預處理中的傳統(tǒng)方法難以對測量數(shù)據的隨機誤差和系統(tǒng)誤差進行準確估計與分離的難題，提出采用小波非線性濾波和回歸匹配診斷兩種新方法，有效提高了參與融合求解的測元數(shù)據質量和外彈道參數(shù)精度。

1 隨機誤差分離方法

目前，在外測數(shù)據處理中最常用的觀測數(shù)據隨機誤差的方法是差分法和最小二乘擬合殘差法，由于受數(shù)據采樣間隔、誤差統(tǒng)計特性、差分階次和截斷誤差等多種因素的影響，兩種方法的處理結果常常出現(xiàn)不一致性[3]。通過對測控數(shù)據的深入研究和分析，認識到外測數(shù)據隨機誤差性質十分復雜，如果再應用這兩種常用和簡單的統(tǒng)計方法，已經難以準確統(tǒng)計數(shù)據隨機誤差的數(shù)字特征。小波變換則是一種比傅里葉變換還要靈活的信號處理工具，在時域、頻域同時具有良好的局部化性質，而且由于對高頻采取逐漸精細的時域或頻域步長，可以聚焦到分析對象的任意細節(jié)，把對象中存在的任何變化表現(xiàn)出來[4]。本文將小波變換方法用于分離雷達測量數(shù)據的隨機誤差，再通過與具有更高精度的設備進行數(shù)據比對，得到該雷達的總誤差，兩者相減便可得到當前雷達的系統(tǒng)誤差。

1.1 小波變換去噪原理

小波變換去噪基于如下基本假設，即攜帶信息的原始信號在頻域或小波域的能量相對集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號分解系數(shù)的絕對值比較大，而噪聲信號的能量譜相對分散，所以其系數(shù)的絕對值小，這樣我們就可以通過作用閾值的方法過濾掉絕對值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而達到降噪的效果。

一個含噪聲的一維信號的模型可以表示成如下形式，即

(1)

式中，f(t)為真實信號，e(t)為噪聲，σ為噪聲強度，S(t)為含噪聲的信號。如果以一個簡單的噪聲模型加以說明，即認為e(t)為高斯白噪聲N(0,1)，則σ=1[5]。在實際的工程應用中，有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號通常表現(xiàn)為高頻信號，因而，可以應用門限閾值等形式對小波系數(shù)進行處理，然后對信號進行重構即可達到消噪的目的。對信號S(t)消噪的目的就是要抑制信號中的噪聲部分，從而在S(t)中恢復出真實信號f(t)。一般情況下，一維信號的消噪過程可按照圖1所示的流程來進行。

圖1 小波變換除噪流程圖

一維信號利用小波進行除噪的步驟如下：

1) 對含噪信號進行預處理，便于后續(xù)處理。

2) 一維信號的小波分解。選擇一個小波并確定一個分解層次N，然后對信號S進行N層分解。

3) 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。對第一層到第N層的每一層高頻系數(shù)，選擇一個閾值進行軟閾值或硬閾值量化處理。

4) 一維小波的重構。根據小波分解的第N層的系數(shù)和經過量化處理后的第一層到第N層的高頻系數(shù)，進行一維信號的重構。

小波分解是把信號分解到不同的頻段上，噪聲主要在高頻段，信號主要在低頻段。噪聲對應相對較小的小波系數(shù)，信號對應相對較大的小波系數(shù)。選擇一個合適閾值處理小波系數(shù)，認為小于此閾值的小波系數(shù)主要由噪聲引起，將其去掉，用剩下的小波系數(shù)重建信號。從去噪原理看出，在小波去噪過程中，噪聲能量估計是確定噪聲和信號分界點的關鍵。閾值的選擇即噪聲和信號分界點的確定，對去噪效果有較大影響。

根據噪聲的特點，小波分析消噪主要采用前兩種處理方法。第一種是強制消噪處理方法。該方法把小波分解結構中的高頻系數(shù)全部為零，即把各尺度或某幾個尺度的部分全部濾掉，然后再對信號進行重構處理。這種方法比較簡單，重構后的信號也比較平滑，但容易丟失原信號中有用的高頻分量。第二種是門限消噪處理方法。該方法要根據經驗或某種依據設定閾值，對信號小波分解中的最高頻系數(shù)用閾值處理，即大于閾值的部分保留，低于閾值的系數(shù)變?yōu)榱?。這種處理符合噪聲在高頻部分均勻密集的特點。對其他各尺度的高頻系數(shù)改變閾值處理，隨著分解層次的增加，閾值可大約按照乘以2倍到0.5倍減小，這種閾值消噪處理方法在很多實際應用中取得了良好的效果[6]。

針對最小尺度上的小波系數(shù)估計噪聲能量，即依靠最小尺度上的小波系數(shù)估計噪聲的方差。在最小尺度上，分辨率最高，信噪比很小，可以認為這一層次主要是噪聲。根據方差定義，其在最小尺度上的估計值為

(2)

式中，n為第J尺度上小波系數(shù)的個數(shù)，d為某一尺度上高頻小波系數(shù)，J為尺度，i為某一尺度上小波系數(shù)序號。美國著名學者Donoho提出在小波域中噪聲標準方差的估計公式[7]，即

(3)

1.2 應用效果

本文采用了Donoho等人提出的小波非線性濾波方法分離靶場測量數(shù)據的隨機誤差，與傳統(tǒng)方法相比，不需要噪聲先驗知識，噪聲強度可以通過高頻波分解系數(shù)進行估計，在實際應用中取得了較好的效果，其可分為以下3個主要步驟：

1) 對帶隨機誤差的發(fā)射場外彈道測量數(shù)據y(ti),i=1,2,…,N進行多尺度分解，獲得各尺度的小波分解系數(shù)dj,k；

3) 采用新的小波系數(shù)進行信號重構，得到去噪的測量數(shù)據。

其中，σ為測元理論隨機誤差指標，n為第j尺度上小波系數(shù)的個數(shù)，d為某一尺度上高頻小波系數(shù)，k為某一尺度上小波系數(shù)序號。

該方法的原理依據是N個具有獨立同分布的標準高斯變量中的最大值小于t1的概率隨著N的增大趨于1。若被測信號含有獨立同分布的噪聲時，經小波變換后，其噪聲部分的小波系數(shù)也是獨立同分布的。如果具有獨立同分布的噪聲經小波分解后，它的系數(shù)序列長度N很大，則根據上述理論可知：該小波系數(shù)中最大值小于t的概率趨于1，即存在一個閾值t，使得該序列的所有小波系數(shù)都小于它。小波系數(shù)隨著分解層次的加深，其長度也越來越短，根據t的計算公式，可知該閾值也越來越小。當噪聲強度已知時，可直接采用此方法濾波，在實際應用中噪聲強度是未知的，這時可以計算出該噪聲的強度，然后采用Donoho方法進行濾波[8]。

采用具有較好對稱性及正則性的Daubechies(dbN)小波基系列中的db4小波基對某脈沖雷達測量數(shù)據求解的彈道參數(shù)進行了隨機誤差分離。圖2為隨機誤差分離前后時的誤差對比曲線，由圖可見，對該脈沖雷達測量數(shù)據求解的彈道參數(shù)采用小波分離隨機誤差后，彈道參數(shù)的光滑性與平穩(wěn)性得到了明顯改善。

(a) 隨機誤差分離前

(b) 隨機誤差分離后圖2 采用小波方法分離隨機誤差前后彈道參數(shù)誤差曲線

實踐證明，靶場外測數(shù)據隨機誤差性質復雜，用簡單的模型不能準確統(tǒng)計出隨機誤差的數(shù)字特征。傳統(tǒng)方法只能統(tǒng)計隨機誤差的大小而不能對其有效分離，平滑濾波器可以將部分隨機誤差分離但不能對其值進行估計。采用小波變換的方法可以高精度地分離靶場測量數(shù)據的隨機誤差，且不需要噪聲先驗知識，噪聲強度可以通過高頻波分解系數(shù)進行估計，有效提高了彈道參數(shù)的精度和平穩(wěn)性。

2 系統(tǒng)誤差診斷方法

傳統(tǒng)的靶場測量數(shù)據系統(tǒng)誤差處理，通常采用與高精度數(shù)據作差后的殘差平均值作為測控設備的固定偏差并進行扣除，這種方法對消除復雜的系統(tǒng)誤差，如時間、光機、光電、動態(tài)滯后等誤差應用效果較差。本文依據可匹配的測元系統(tǒng)誤差成分建立測控設備誤差回歸分析模型，通過模型辨識確定最優(yōu)，然后利用回歸分析方法對系統(tǒng)殘留誤差進行分離。

2.1 系統(tǒng)誤差模型分析和診斷方法

脈沖測量雷達在衛(wèi)星發(fā)射、導彈試驗的上升段、自由段、再入段按時段接力方式承擔外彈道跟蹤測量任務，作為靶場測控體制下的常規(guī)定位設備，在數(shù)據處理中占有重要的地位，對其測量數(shù)據的挖掘和應用具有深遠的意義[9]。一方面，通過研究和分析脈沖雷達系統(tǒng)誤差特性，可為設備準確查找誤差源提供依據；另一方面，經過多個子樣的統(tǒng)計和比對，找到誤差變化的規(guī)律，力圖采用先進、可靠的數(shù)據處理方法來彌補設備精度的不足。因此，本文以脈沖雷達的系統(tǒng)誤差特性和參數(shù)估計方法為例進行分析，光學等其他外彈道測量設備的系統(tǒng)誤差特性可由此借鑒。

作為一種數(shù)理統(tǒng)計方法，回歸分析主要用于處理各變量之間的相關關系。對脈沖雷達建立一個誤差分析模型，其中的誤差系數(shù)作為未知數(shù)。根據不同彈道、不同目標，突出某些誤差因素，忽略另外一些誤差因素，以便確定這些待定系數(shù)，對系統(tǒng)殘差進行估計和研究。根據測量誤差模型和誤差影響函數(shù)，省略其中的微小量,經過合并與化簡，可導出如式(4)的脈沖雷達誤差原始回歸分析模型[10]。

(4)

式中：ΔR為脈沖雷達測距系統(tǒng)誤差；ΔA為脈沖雷達方位角系統(tǒng)誤差；ΔE為脈沖雷達俯仰角系統(tǒng)誤差；A0,B0,C0為零值；A1為比例誤差系數(shù)；A2,B1,C1為時間誤差系數(shù)；A3,B2,C2為動態(tài)滯后誤差系數(shù)；A4為角度相關誤差系數(shù)(包含折射殘差)；B3為對準誤差系數(shù)(包含光機軸和光電軸誤差)；C3為俯仰角折射殘差系數(shù)；B4,B5,C4,C5為大盤不水平誤差系數(shù)；B6為不正交誤差系數(shù)；C6為天線重力下垂誤差系數(shù)。

從這些系統(tǒng)誤差的基函數(shù)可以看出，部分誤差項可能存在相關性。因此，在估計系統(tǒng)誤差時總是假設沒有系統(tǒng)誤差，即系統(tǒng)誤差項盡量少，估計過程中丟掉影響較小(通常為數(shù)值較小)的系統(tǒng)誤差項。如有高精度標準數(shù)據，如衛(wèi)星精軌或彈載GNSS數(shù)據，可以使用最小二乘估計方法直接給出這些系統(tǒng)誤差估計值。將一組觀測數(shù)據和所對應的系統(tǒng)誤差帶入式(4)的回歸分析模型中，上述問題可歸結為求解下列線性方程組。假設m個觀測數(shù)據y1,y2,…,ym與n個待估系數(shù)x1,x2,…,xm有如下線性關系式[11-12]：

(5)

式中：{aij}為已知脈沖雷達的觀測數(shù)據，{ηi}為觀測數(shù)據的隨機誤差，滿足

(6)

用矩陣形式來表示方程組(6)，有

Y=AX+η

(7)

式(4)中：rankA=n，E(η)=0，E(ηηT)=σ2I。當m>n時，即觀測子樣個數(shù)多于未知系數(shù)個數(shù)時，經典的最小二乘估計為

(8)

上述系統(tǒng)誤差模型中，某些誤差項影響很小，當測量元素較多，待估的誤差源過多，加上眾多誤差源之間可能存在相關性，會造成矩陣的病態(tài)。此時必須通過系統(tǒng)誤差模型辨識、壓縮和篩選影響很小的誤差項，合并相關性較強的誤差項。由于引入的誤差模型已近似為線性模型，因此可以應用線性模型假設檢驗方法對實測數(shù)據系統(tǒng)誤差模型進行辨識，辨識內容有如下3項[13]。

1) 系統(tǒng)誤差模型的準確性檢驗(或稱顯著性檢驗)；

2) 系統(tǒng)誤差模型的緊致性檢驗(或稱有效性檢驗)；

3) 系統(tǒng)誤差模型的穩(wěn)定性檢驗。

顯著性檢驗的目的在于檢驗系統(tǒng)誤差是否明顯存在，檢驗引入的誤差模型與實際情況是否相吻合。如果假設檢驗成立，則誤差模型可以接受。模型中每個誤差源對測量數(shù)據的影響各不相同，有的影響很小，有些誤差源之間則存在相關性。在綜合處理中，如果待估的誤差源過多，會影響它們估計的精度。因此，在估計系統(tǒng)誤差時總是假設沒有系統(tǒng)誤差，即系統(tǒng)誤差項盡量少，估計過程中丟掉數(shù)值較小的系統(tǒng)誤差項。必須對誤差源進行篩選，使誤差模型緊致。在跟蹤飛行器飛行的過程中，不同弧段上外測系統(tǒng)誤差模型會發(fā)生變化，為檢驗模型穩(wěn)定性，可將觀測數(shù)據分成兩組(或多組)，檢驗各組誤差向量是否一致。

2.2 應用效果

典型單脈沖雷達系統(tǒng)誤差分離的具體步驟為：

1) 根據原始模型和誤差特性分析結果建立初始回歸模型；

2) 對所建立的回歸模型進行模型辨識，判斷其正確性；修改模型并重復模型辨識過程直至確定最優(yōu)模型；

3) 依據最優(yōu)模型進行回歸分析，分離系統(tǒng)誤差。

在靶場某雷達精度鑒定過程中，采用本文提出的方法通過測距系統(tǒng)誤差估計分析出設備存在約-26 ms的時間誤差。為了檢驗誤差模型的正確性，分別使用全程數(shù)據和部分數(shù)據進行估計，結果如表1所示，統(tǒng)計結果顯示系統(tǒng)誤差模型可以有效估計設備的時間誤差。

表1 某脈沖雷達跟蹤衛(wèi)星的時間誤差估計結果

使用全程數(shù)據扣除系統(tǒng)誤差前后的測距殘差序列如圖3所示，估算的測距零值為-15.8 m，扣除零值和時間誤差后的殘差序列的均值為0 m，標準差為8.0 m。

圖3 某脈沖雷達跟蹤衛(wèi)星的測距殘差曲線

同樣對雷達的方位、俯仰角進行系統(tǒng)誤差估算與分析。首先添加所有誤差項，發(fā)現(xiàn)方位角不正交誤差與動態(tài)滯后誤差較大；俯仰角零值誤差較大；然后忽略其他誤差項分別進行重新估計，認為該設備方位角確實存在不正交誤差和動態(tài)滯后誤差，在與設備人員溝通后對不正交誤差重新進行標校后，分別修正方位角的動態(tài)滯后誤差和俯仰角的零值誤差。系統(tǒng)修正前后的雷達方位角、俯仰角殘差序列如圖4所示。

(a) 方位角殘差

(b) 俯仰角殘差圖4 某脈沖雷達精度鑒定時測角殘差曲線

由圖4可見，系統(tǒng)誤差修正后，雷達方位角、俯仰角偏差基本被消除，測量精度明顯提高。通過多次仿真測試表明，該方法在事后數(shù)據處理中能準確、有效分離出系統(tǒng)殘差的主要成分。同時，誤差識別結果在實時數(shù)據處理中應用可以最大限度地消除系統(tǒng)誤差，提高實時彈道參數(shù)求解精度。

3 結束語

高密度、常態(tài)化的航天任務對發(fā)射場外測數(shù)據預處理方法提出了越來越高的要求，本文提出的小波非線性濾波和回歸匹配診斷新方法，解決了傳統(tǒng)方法難于對發(fā)射場測控設備測元誤差進行準確分離與估計的難題，可有效提高參與融合求解的測元數(shù)據質量和外彈道參數(shù)精度。