二項(xiàng)式定理兩類常見錯誤警示

高振寧

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

二項(xiàng)式定理是歷年高考的必考內(nèi)容，考查的方式相對比較穩(wěn)定，主要考查以下兩點(diǎn)：(1)考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，包括求展開式的指定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等.(2)考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，特別關(guān)注賦值法處理系數(shù)和以及二項(xiàng)式系數(shù)和問題.筆者在研讀文[2]后，發(fā)現(xiàn)解答二項(xiàng)式定理問題中的兩種常見錯誤.

錯誤類型1二項(xiàng)展開式中系數(shù)和易錯問題

A.28B.28-1 C.27D.27-1

錯因分析因(2x-1)n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，則當(dāng)n為偶數(shù)時，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為S偶=an-1+an-3+…+a1，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為S奇=an+an-2+…+a0.令x=-1得(-3)n=S奇-S偶=-37，顯然無解.

當(dāng)n為奇數(shù)時，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為S偶=an-1+an-3+…+a0，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為S奇=an+an-2+…+a1.令x=-1得(-3)n=S偶-S奇=37，因n為奇數(shù)，故也無解.此題是一個錯題,如果把(2x-1)n改成(1-2x)n，利用升冪形式的二項(xiàng)展開式，就可以求出正確答案.二項(xiàng)展開式應(yīng)該嚴(yán)格按照通式展開，必須明確是升冪展開式還是降冪展開式.

錯題類型2二項(xiàng)展開式中系數(shù)最值易錯問題

文[2]中指出,求系數(shù)最大的項(xiàng)采用不等式法，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)為Pr+1最大，則有以下不等式成立.

無解.故系數(shù)最小的項(xiàng)不存在.

傳統(tǒng)解決二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問題的方法是不等式法，設(shè)Tr+1項(xiàng)系數(shù)最小，隱含著系數(shù)最小項(xiàng)的r范圍是1≤r≤n-1，但實(shí)際上0≤r≤n.不等式法求解最值項(xiàng)的三個不足之處：(1)需要解兩個不等式，計算量較大；(2)不等式組有解時，說明系數(shù)最值在中間項(xiàng)取到，若不等式組無解，并不是系數(shù)最值項(xiàng)不存在，而是說明最值項(xiàng)不在中間項(xiàng)，而是在首尾兩項(xiàng)中取得；(3)不等法的運(yùn)用有局限性，不等式組只能反映局部關(guān)系，不能反映整體情形.系數(shù)數(shù)列的單調(diào)性法成功地克服了不等式法的局限，可以完美解決系數(shù)最值問題.但是利用系數(shù)單調(diào)性法在確定其單調(diào)性時利用的是作差法，一定是tr+2-tr+1，需要特別注意0≤r≤n-1這個范圍.從整體上來看，系數(shù)數(shù)列單調(diào)性法有非常大的優(yōu)點(diǎn)，希望在以后的教學(xué)中，擯棄不等式法，推廣系數(shù)數(shù)列單調(diào)性法.