用字典排列法解答的一道改編題

甘志國

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

基金項(xiàng)目：本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(課題編號(hào)FT2017GD003，課題負(fù)責(zé)人：甘志國)階段性研究成果之一.

改編題(由普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)第41頁第2題改編)用數(shù)字0,1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，問：

(1)其中有多少個(gè)是奇數(shù)？

(2)其中有多少個(gè)大于201345？

(3)其中的320514是從小到大排列的第幾個(gè)數(shù)？

(4)其中從小到大第300個(gè)數(shù)是幾？

(5)其中從大到小第300個(gè)數(shù)是幾？

綜上所述，可得所求答案是321540.

綜上所述，可得所求答案是324015.

注這道改編題的解法就是字典排列法.

下面這道類題的解法也是字典排列法.

類題[1][2](2013年華約自主招生數(shù)學(xué)試題第1題)已知集合A={x|x≥10,x∈N},B?A，且B中的每個(gè)元素同時(shí)滿足：(a)各數(shù)位上的數(shù)字互不相同；(b)任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和不為9.求：

(1)B中有多少個(gè)兩位數(shù)？多少個(gè)三位數(shù)？

(2)B中是否有五位數(shù)？是否有六位數(shù)？

(3)將B中的元素從小到大排列后，第1081個(gè)元素是多少？

解將0,1,2,…,9中和為9的數(shù)字兩兩配成5對(duì)：(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).

得B中的元素不能同時(shí)含有上述一對(duì)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字.

(1)對(duì)于B中的兩位數(shù)：十位數(shù)字有9種選法(可選1,2,…,9)；十位數(shù)字選定后，個(gè)位數(shù)字有8種選法(與十位數(shù)字不同，且不能是上面配對(duì)的數(shù)).所以B中的兩位數(shù)為9×8=72個(gè).

對(duì)于B中的三位數(shù)：百位數(shù)字有9種選法(可選1,2,…,9)；百位數(shù)字選定后，十位數(shù)字有8種選法(與十位數(shù)字不同，且不能是上面配對(duì)的數(shù))；百位、十位數(shù)字均選定后，個(gè)位數(shù)字有6種選法(與百位、十位數(shù)字均不同，且均不能是上面配對(duì)的數(shù)).所以B中的三位數(shù)為9×8×6=432個(gè).

(2)B中有五位數(shù)，比如12340.

因?yàn)樵谏厦媾涑?對(duì)數(shù)的每對(duì)數(shù)中至多只能選一個(gè)作為B中數(shù)的數(shù)字，所以B中沒有六位數(shù).

(3)由(1)的結(jié)論知，B中的兩位數(shù)、三位數(shù)共72+432=504個(gè).同理可求得B中的四位數(shù)為9×8×6×4=1728個(gè).

所以將B中的元素從小到大排列后，第1081個(gè)元素是四位數(shù)，且是四位數(shù)中從小到大的第1081-504=577個(gè).

B中的四位數(shù)中，千位數(shù)字為1,2,3的各為8×6×4=192個(gè)，共192×3=576個(gè)，所以所求答案是將B中的元素從小到大排列后的最小四位數(shù)，即4012.