一道圓錐曲線綜合題的多種精妙解法

高群安 鄭 晴

(湖北省襄州一中 441104)

圖1

(2)若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．

把A(2pt2,2pt)代入x2+2y2=2得

4p2(t4+t2)=2?1=2p2(t4+t2)≥2p2(64+16)

點(diǎn)評本解答的關(guān)鍵是利用與AB斜率有關(guān)的k表示A點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用不等式求出p的最大值.

解法二設(shè)A(2pa2,2pa),M(2pm2,2pm)(a>0,m<0)得B(4pm2-2pa2,4pm-2pa).因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在橢圓上，所以

?(m2+ma+2)(m2-ma)=0,

∵m2-ma>0，所以m2+ma+2=0

把A(2pa2,2pa)代入C1得

1=2p2(a4+2a2)≥2p2(64+16)

點(diǎn)評本解答的關(guān)鍵是利用拋物線的參數(shù)方程求出AB的斜率k,再利用橢圓x2+2y2=2的秘密武器:中點(diǎn)M(x0,y0)斜率(k)公式：x0+2y0k=0導(dǎo)出a,m的關(guān)系式：m2+am+2=0，過程更加簡潔！

1=2p2(t4+2t2)≥2p2(64+16)

點(diǎn)評本解答運(yùn)用了橢圓的“中點(diǎn)-斜率公式”和“拋物線內(nèi)接多邊形的性質(zhì)”，運(yùn)用秘密武器使得過程更加簡潔.

本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，難度大.如果處理不當(dāng)，會陷入繁雜運(yùn)算的泥潭.

上述各種解法精妙獨(dú)特，簡潔明快，令人拍案叫絕，感嘆不已！這是一道難得的好題，它考查的思想方法如此之多，為學(xué)生展示才華提供了廣闊的空間！