巧妙變形 靜待花開(kāi)

許銀伙

(福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000)

解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系幾乎都要用到韋達(dá)定理，因?yàn)樗梢杂行p少運(yùn)算量，體現(xiàn)設(shè)而不求方法，其運(yùn)用技巧是解析幾何壓軸問(wèn)題常見(jiàn)的關(guān)卡設(shè)置.本文通過(guò)四個(gè)例題，介紹聯(lián)立直線與圓錐曲線方程后，所求式子是含有x1+x2，x1x2，mx1+nx2(m≠n)或同類型含y1,y2的分式時(shí)，如何運(yùn)用韋達(dá)定理，通過(guò)變形，求出定值.

方法一

2.解決的思路是這樣得到的：在問(wèn)題沒(méi)有解決前，條件必須試著使用，當(dāng)y1y2用韋達(dá)定理代入，分式中還含有y1,y2,m三個(gè)量，把y1+y2也用韋達(dá)定理代入，就可以減少一個(gè)未知數(shù)，方便看出結(jié)果.

3.如果設(shè)直線PQ方程為：y=k(x+2)，方法類似，運(yùn)算量略大些，同時(shí)必須說(shuō)明當(dāng)斜率不存在時(shí)的情況.

例題2 (泉州市2019屆單科質(zhì)檢理科20)已知△ABC中，B(-1,0)，C(1,0)，AB=4，點(diǎn)P在AB上，且∠BAC=∠PCA.

(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

評(píng)注本題只采用把y2寫(xiě)成(y1+y2)-y1代入解決，其余方法可自行嘗試.

(1)求E的方程；

(2)若AC⊥l1，垂足為C，直線BC交x軸于點(diǎn)D，證明：|MD|=|DG|.

評(píng)注設(shè)直線l2：x=1+my(m≠0)，避免討論斜率存在與否.

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)E(0,1)作不與y軸重合的直線l交橢圓于點(diǎn)M，N，直線MB1與直線NB2交于點(diǎn)T，試討論點(diǎn)T是否在某條定直線上？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.通過(guò)分析：橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱且點(diǎn)E(0,1)在y軸上，可以判斷點(diǎn)T所在的定直線應(yīng)該關(guān)于y軸對(duì)稱，可以快速選用方法二.

3.方法二在y0表達(dá)式中還可以直接把韋達(dá)定理代入得出結(jié)果.

韋達(dá)定理的應(yīng)用是解析幾何繞不過(guò)去的坎.在高考嘗試破除函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸，嘗試的概率統(tǒng)計(jì)壓軸又難度過(guò)大，得分率太低的情況下，解析幾何作為壓軸題的可能性正在增加，因此韋達(dá)定理的應(yīng)用技巧，應(yīng)該得到重視和加強(qiáng).