例談高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題的解題方法

錢夢迪

(江蘇省蘇州市常熟市中學(xué) 215500)

一、分離參數(shù)求函數(shù)最值

例1已知函數(shù)f(x)=ex-mx，x∈R，若x>0，關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

小結(jié)本題通過不等式恒成立分離參數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得已知函數(shù)的最值，根據(jù)要求求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

小結(jié)含雙變量的恒成立問題，按照變量的轉(zhuǎn)化順序解題.本題解法是分離出c后，先關(guān)于b求最值，再關(guān)于x求最值.本例也可以先關(guān)于x求最值，再關(guān)于b求最值，但解題過程復(fù)雜，運(yùn)算量大，讀者不妨一試.

二、分類討論，研究含參函數(shù)的最值

例3 若不等式(x+1)ln(x+1)

解析可設(shè)f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax2-2ax,問題轉(zhuǎn)化為f(x)<0在(0,+∞)上恒成立.求得f′(x)=ln(x+1)-2ax-2a+1,x>-1.

(1) 當(dāng)a≤0時，f′(x)=ln(x+1)+1-2a(x+1)>0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)=0在(0,+∞)上恒成立，與已知不符，故a≤0不符合題意．

小結(jié)本題用了函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.一般的f(x)≤g(x)恒成立等價于f(x)-g(x)≤0恒成立，記G(x)=f(x)-g(x)，則G(x)max≤0.本題中由于G(x)有參數(shù)，需要分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求最值．

小結(jié)本題用了函數(shù)思想方法，對于多元素的恒成立問題，轉(zhuǎn)化順序，依次求解.

三、數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的最值

解析當(dāng)-1

由此作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.

小結(jié)本題利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出函數(shù)圖象，研究取值范圍.