恐懼因子對(duì)帶有避難所的時(shí)滯捕食―食餌模型動(dòng)力學(xué)的影響

吳春妮 楊春梅 黃 嬡 楊文慧 田巧玉

西北民族大學(xué) 甘肅 蘭州 730124

引言

捕食-食餌模型是種群動(dòng)力學(xué)模型中一類重要的模型，如文獻(xiàn)[1，2]。帶有時(shí)滯的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性、漸近性和周期性以及各種分支現(xiàn)象的研究已經(jīng)成為生物數(shù)學(xué)中具有重要意義的研究課題之一，文獻(xiàn)[3，4，5]有充分的體現(xiàn)。因此，研究時(shí)滯對(duì)捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響具有極其重要的現(xiàn)實(shí)意義[3]。

1 簡(jiǎn)介

本文綜合考慮恐懼因子、避難所對(duì)時(shí)滯捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)的影響，建立如下模型:

x(t)和y(t)表示獵物和捕食者的種群密度函數(shù)。r:獵物x的增長(zhǎng)率，μ:捕食者y的增長(zhǎng)率，a:獵物x的個(gè)體間的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度，b:半飽和常數(shù)，c:y導(dǎo)致的x的最大人均減少值。m∈(0，1)是一個(gè)常數(shù)主要衡量避難所的可用性。d是捕食者獨(dú)立存在時(shí)的死亡率，t是捕食者在生命歷程所花費(fèi)的時(shí)間，h為時(shí)滯。

參考文獻(xiàn)[12][13]恐懼因子

參數(shù)k為驅(qū)動(dòng)獵物反捕食者行為的恐懼程度。

通過(guò)對(duì)捕食者的恐懼發(fā)現(xiàn)會(huì)對(duì)種群增長(zhǎng)率(PGR)產(chǎn)生影響，在這里我們對(duì)PGR進(jìn)行如下定義:

證明了該建模方法的合理性，存在恐懼程度k對(duì)種群增長(zhǎng)率的影響即隨著恐懼程度k的增大，PGR降低，這說(shuō)明恐懼因子的存在能夠使PGR顯著地降低。

2 穩(wěn)定性分析

A.不含恐懼因子時(shí)的穩(wěn)定性

·當(dāng)k=0時(shí)，需要考慮h的存在。首先我們證明了模型(1)平衡點(diǎn)的存在性

·若(a)或(b)成立，則E1*局部漸近穩(wěn)定

1.若μ≥r；

2.若μ＞r，滿足以下條件之一:

所以b*＜b*，

B.含恐懼因子時(shí)的穩(wěn)定性

經(jīng)過(guò)分析可得到模型(1)的穩(wěn)定性:

(1)對(duì)于?h≥0時(shí)，則模型(1)的E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定的；

(2)h∈[0，h10)時(shí)，則模型(1)的E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定的，若滿足h＞h10，則E*(x*，y*)是不穩(wěn)定的，當(dāng)h=h10，ω=ω10時(shí)模型(1)在E*(x*，y*)處產(chǎn)生Hopf分支。

3 Hopf分支

通過(guò)證明可得到模型(1)在k=k±處E*附近發(fā)生Hopf分支。從而經(jīng)過(guò)計(jì)算可得到如下結(jié)論:

(a)若0＜m＜m*，模型(1)不存在正平衡。

(b)若m*＜m＜m-，E*1穩(wěn)定；當(dāng)k＜k*時(shí)，E*穩(wěn)定；而若k＞k*，則沒(méi)有正平衡。

(c)若m-＜m＜m*，

[1]、E*1是不穩(wěn)定的；[2]、k＜k+時(shí)，E*不穩(wěn)定；而若k+＜k＜k*，

E*是穩(wěn)定的；[3]、模型(1)在k=k+處發(fā)生Hopf分支。

(d)若m+＜m＜1，

[1]、E*1是穩(wěn)定的；[2]、當(dāng)m+＜m＜mc，當(dāng)k＜k-或k+＜k＜k*時(shí)，E*穩(wěn)定；當(dāng)k-＜k＜k+時(shí)，E*不穩(wěn)定；[3]、模型(1)在k=k±處發(fā)生 Hopf分支；[4]、如果 mc＜m＜1，k＜k*，E*保持穩(wěn)定。