矩形薄板受橫向均布載荷作用彈性小撓度解*

王 霂，王洪波

（海軍士官學(xué)校 六系，安徽 蚌埠 233012）

矩形薄板在橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)是工程中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。無(wú)論是高空建筑中外立面承受風(fēng)載問(wèn)題[1-7]，還是艦艇受海浪沖擊問(wèn)題[8-10]，都可以抽象為這一問(wèn)題。經(jīng)過(guò)一百多年的發(fā)展，學(xué)界對(duì)矩形薄板在橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)已非常充分。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)梳理了推導(dǎo)矩形薄板在橫向均布載荷作用下彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)的三種方法，并對(duì)三種方法進(jìn)行了對(duì)比。

1 問(wèn)題的力學(xué)抽象

對(duì)于不同邊界條件的矩形薄板，都可以用四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的解疊加邊界的彎矩來(lái)得到理論解。因此，本文主要考慮四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)。對(duì)工程實(shí)際的力學(xué)抽象如圖1所示，考慮一塊四邊簡(jiǎn)支，初始靜止，幾何尺度為a×b×h，彈性常數(shù)為E、v的矩形薄板，受到垂直于其特征面的橫向均布載荷沖擊，這一均布載荷可以是時(shí)變的，即可表示為Pd（t）的形式。問(wèn)題的研究對(duì)象是該矩形薄板在此橫向沖擊作用下的撓度隨空間、時(shí)間變化的函數(shù)。

2 求解動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的理論分析

2.1 強(qiáng)迫振動(dòng)法

強(qiáng)迫振動(dòng)法是求解該問(wèn)題動(dòng)力學(xué)響應(yīng)應(yīng)用最為普遍的方法。Navier最早提出了該方法[11]，其基本思想是將板的位移響應(yīng)設(shè)為雙正弦級(jí)數(shù)形式，在預(yù)先滿足板的邊界條件的基礎(chǔ)上，通過(guò)調(diào)整各項(xiàng)系數(shù)，使預(yù)設(shè)的位移響應(yīng)函數(shù)靠近真實(shí)響應(yīng)。

圖1 問(wèn)題的力學(xué)抽象

彈性小撓度薄板的控制方程為：

簡(jiǎn)支邊界條件下，Navier解為：

將橫向載荷按Navier解的形式展開(kāi)，得到：

其中，每項(xiàng)系數(shù)可以表示為：

考慮到Navier解各項(xiàng)之間的正交性，可以得到：

該方程的解為：

其中，前兩項(xiàng)是通解，最后一項(xiàng)為特解。

由初位移和初速度為零的初始條件，有：

對(duì)于m、n不全為奇數(shù)的情況，方程化為齊次，由（2.1.8），該方程只有零解。

對(duì)于m、n全為奇數(shù)的情況，可先求出特解，再根據(jù)特解求出通解系數(shù)從而定解。值得指出的是，如果均布載荷隨時(shí)間的變化函數(shù)性態(tài)不好，這一特解不一定有顯式表達(dá)。對(duì)于常見(jiàn)的倒三角型線性衰減時(shí)變載荷，不難求出：

其中，p0為初始載荷，td為載荷衰減到零的時(shí)刻。

代入初始條件（2.1.8）式，可以解出前兩項(xiàng)系數(shù)為：

由（2.1.2）、（2.1.7）、（2.1.9）、（2.1.10）即可以得到板內(nèi)任意一點(diǎn)在沖擊過(guò)程中任意時(shí)刻的撓度。

對(duì)沖擊結(jié)束后的振動(dòng)，為（2.1.6）的齊次方程，即：

由連續(xù)性條件，可以得到其初始條件為：

與沖擊過(guò)程相同，解是否能顯式表達(dá)高度依賴于均布載荷的時(shí)變函數(shù)，對(duì)前述的倒三角衰減問(wèn)題，其解為：

由（2.1.2）、（2.1.11）、（2.1.13），可以得到?jīng)_擊結(jié)束后板內(nèi)任一點(diǎn)任意時(shí)刻的撓度信息。

2.2 能量法

能量法的基本思想非常簡(jiǎn)單，忽略動(dòng)力學(xué)過(guò)程中的各種力學(xué)參數(shù)的復(fù)雜變化，只考慮動(dòng)力學(xué)過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)化。

簡(jiǎn)支薄板受到橫向沖擊時(shí)，沖擊所做外力功全部轉(zhuǎn)化為板的動(dòng)能和應(yīng)變能：

其中，W為應(yīng)變能密度函數(shù)，可以由撓度給出，其關(guān)系為：

仍然考慮 Navier形式的解，將（2.1.2）代入（2.2.2），將結(jié)果再代入（2.2.1）式，并計(jì)算空間上的積分，得到：

（2.2.3）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮各項(xiàng)分別相等，得到：

（2.2.4）和（2.1.6）是完全相同的。

同樣，如果考慮沖擊結(jié)束后，板的動(dòng)能和應(yīng)變能相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)類似的計(jì)算可以得到：

（2.2.5）實(shí)際上是（2.1.6）的齊次方程。

能量法與強(qiáng)迫振動(dòng)得到的定解方程和初始條件完全相同，最終的解也應(yīng)該完全相同。

2.3 瞬態(tài)振動(dòng)解疊加法

瞬態(tài)振動(dòng)解疊加法的求解思路是將沖擊視為一系列瞬態(tài)載荷的疊加，通過(guò)卷積計(jì)算激勵(lì)響應(yīng)。

對(duì)初始條件為 w（0）和 w′（0）的薄板，其彈性小撓度無(wú)阻尼自由振動(dòng)的解為：

將（2.3.2）按 Navier解形式展開(kāi)，并代入（2.3.1），得到：

定義響應(yīng)函數(shù)，使其滿足：

則可得到響應(yīng)函數(shù)：

將沖擊看作一系列瞬態(tài)載荷的疊加，可以通過(guò)卷積計(jì)算激勵(lì)響應(yīng)：

由前述的倒三角型線性衰減的均布載荷，可以得到：

這一結(jié)果和前兩種方法得到的是一致的。

3 對(duì)三種計(jì)算方法的討論

三種計(jì)算方法都可以準(zhǔn)確得到矩形薄板受橫向均布時(shí)變載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)。

強(qiáng)迫振動(dòng)法從薄板的小撓度控制方程出發(fā)，逐步求解微分方程，求解思路相當(dāng)直接，便于理解和掌握，因此在實(shí)際工作中應(yīng)用十分廣泛。

能量法則不去計(jì)算板內(nèi)各復(fù)雜的力學(xué)變量，僅從能量的角度出發(fā)，更加便捷地得到了和強(qiáng)迫振動(dòng)法相同的微分方程。和強(qiáng)迫振動(dòng)法相比，能量法的思路更加巧妙，數(shù)學(xué)計(jì)算要求偏低一些，但對(duì)力學(xué)的理解要求更高。

但是，無(wú)論是強(qiáng)迫振動(dòng)法還是能量法，其微分方程的求解高度依賴于時(shí)變載荷的積分特性，很難給出微分方程特解的顯式解析表達(dá)式，進(jìn)而在后續(xù)求解過(guò)程中帶來(lái)較大難度。

瞬態(tài)振動(dòng)解疊加法通過(guò)卷積計(jì)算激勵(lì)響應(yīng)，巧妙地避開(kāi)了時(shí)變載荷積分特性不好帶來(lái)的數(shù)學(xué)上的麻煩。即使載荷時(shí)變函數(shù)較為復(fù)雜，也可以表示成形如（2.3.6）的卷積形式，數(shù)值上進(jìn)行積分計(jì)算也較為簡(jiǎn)便。因此，雖然理解該方法難度更高，但在實(shí)際工程應(yīng)用中該方法具有比較明顯的優(yōu)勢(shì)。