基于閉式解算法的粘彈性振子系統(tǒng)阻尼效應(yīng)分析

孫 寶，張文超，李占龍，秦 園

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院， 太原 030024； 2.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

由于大型工程車輛工作環(huán)境的特殊性，使其在作業(yè)時(shí)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的振動(dòng)和噪聲，對(duì)周邊環(huán)境造成很多負(fù)面的影響。研究發(fā)現(xiàn)粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)能夠很好的解決這一問(wèn)題，且制造和維修費(fèi)用較低，所以被廣泛的應(yīng)用到工程車輛的振動(dòng)控制中。在工程車輛的建模中，主要是通過(guò)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的三變量關(guān)系構(gòu)造系統(tǒng)的基本關(guān)系，由于整數(shù)階微分模型的局限性，很多情況下無(wú)法準(zhǔn)確的表達(dá)出粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系及其力學(xué)特性，所以分?jǐn)?shù)階微分已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于粘彈性材料及其緩沖結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)阻尼分析等方面的建模中[1-2]。

近年來(lái)，求解分?jǐn)?shù)階微分方程的方法層出不窮，但是由于求解分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解難度較大，且一般解的形式都是帶有特殊函數(shù)的(例如多變量的Mittag-Leffler函數(shù)、Green函數(shù)等)，這些特殊函數(shù)計(jì)算起來(lái)比較困難，甚至無(wú)法得到最終的確切值，所以對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的研究就尤為重要[3-5]。常見(jiàn)的數(shù)值方法有Adomain分解法[6]，變分迭代法[7]，同倫分析法[8]等。此外，任建婭等[9]將Haar小波[10]與算子矩陣思想結(jié)合在一起，利用小波矩陣獨(dú)有的性質(zhì)求解分?jǐn)?shù)階微分方程，使得計(jì)算更加簡(jiǎn)便，且精度較高。B.K.Singh等[11]在同倫攝動(dòng)法的基礎(chǔ)上結(jié)合Laplace變換提出了一種新的同倫攝動(dòng)變換法(簡(jiǎn)稱HPTM)，該數(shù)值方法所求得的級(jí)數(shù)形式的解收斂速度快，常用來(lái)求解各種工程中的物理模型。Wang Z[12]提出了一種用廣義Adams-Bashforth-Moulton方法與線性插值方法相結(jié)合的方法來(lái)求解一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程，并驗(yàn)證了其數(shù)值格式是有效的。 M.Khan等[13]在同倫分析法的基礎(chǔ)上結(jié)合Laplace變換思想形成了一種新的同倫分析變換法，該方法在選取合適的參數(shù)后，能夠用較少的迭代次數(shù)求得方程的數(shù)值解且精度較高，但是在實(shí)際的應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn)。Golbabai A等[14]提出了一種利用Bernoulli多項(xiàng)式的性質(zhì)求解的方法，但求解過(guò)程較為復(fù)雜且計(jì)算量較大。

本文建立了一種可用于構(gòu)建大型工程車輛阻尼緩沖結(jié)構(gòu)的Maxwell分?jǐn)?shù)粘彈性振子系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱MFVEO)。針對(duì)MFVEO系統(tǒng)進(jìn)行建模，根據(jù)粘彈性材料的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系及動(dòng)力學(xué)關(guān)系，建立分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型。采用閉式解算法求解零初值下系統(tǒng)模型的數(shù)值解，并對(duì)該粘彈性系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)進(jìn)行分析。

1 MFVEO模型的建立及求解

1.1 預(yù)備知識(shí)

為了方便對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究，不同的研究者在研究過(guò)程中給分?jǐn)?shù)階微分算子賦予了不同的定義。常見(jiàn)的有Riemann-Liouville、Caputo和Grünwald-Letnikov三種定義，由于Grünwald-Letnikov定義下的微分算子不含積分形式，可寫(xiě)為離散形式，所以在此用到的算子均為Grünwald-Letnikov定義下的分?jǐn)?shù)階微分算子，定義如下[15]：

定義1：函數(shù)f(t)在Grünwald-Letnikov定義下的分?jǐn)?shù)階微分為

(1)

分?jǐn)?shù)階微分是對(duì)整數(shù)階的一個(gè)擴(kuò)充，所以與整數(shù)階微分算子一樣，分?jǐn)?shù)階微分算子也具有以下性質(zhì)：

(2)

(3)

Laplace變換是分?jǐn)?shù)階微分方程中最常用的積分變換，對(duì)分?jǐn)?shù)階常微分方程的求解具有重要的作用，下面對(duì)其相關(guān)定義進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的介紹。

定義2：設(shè)函數(shù)f(t)在[0,+∞]上有定義，對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)(或復(fù)數(shù))s，如果有

(4)

則稱F(s)為函數(shù)f(t)的Laplace變換，F(xiàn)(s)和f(t)分別為像函數(shù)和原函數(shù)。

1.2 MFVEO模型的建立

在MFVEO系統(tǒng)中，該阻尼系統(tǒng)是由理想胡克彈性元k和分?jǐn)?shù)階粘彈性元〈c,α,β〉兩部分組合構(gòu)成的，如圖1所示，其中α和β為材料系數(shù)，0<α<1,0<β<1。

圖1 MFVEO模型結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)其本構(gòu)關(guān)系為

(5)

給該阻尼系統(tǒng)外接一個(gè)質(zhì)量為m的物體(圖2)，當(dāng)該物體受到一個(gè)大小為f的外力時(shí)，該阻尼系統(tǒng)發(fā)生變形時(shí)提供的阻尼力為fd，設(shè)S為物體的受力面積，a為該阻尼系統(tǒng)的長(zhǎng)度，x為物體受到外力作用時(shí)發(fā)生的位移，與所受外力方向相反。

圖2 MFVEO模型受力分析圖

根據(jù)物理中的動(dòng)力學(xué)方程及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，我們可以得到以下關(guān)系：

(6)

(7)

(8)

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(5)，得：

(9)

根據(jù)G-L分?jǐn)?shù)階微分的性質(zhì)，上式可寫(xiě)為：

(10)

將式(10)整理后得到MFVEO系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程為

(11)

將式(11)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(12)

1.3 MFVEO模型的求解

在零初值的條件下，對(duì)方程式(12)的第一個(gè)式子兩邊同時(shí)作用于Laplace變換，則得到系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)為

(13)

根據(jù)式(1)中Grünwald-Letnikov的定義，其離散形式可寫(xiě)為

(14)

其中

(15)

將式(14)代入式(12)的第一個(gè)式子中，得：

(16)

將含xt的項(xiàng)提出，整理得：

(17)

所以，由式(17)可知式(12)在零初值條件下的閉式解為

(18)

該方法主要用到了離散的G-L分?jǐn)?shù)階算子的定義，相對(duì)于其他的數(shù)值解方法來(lái)說(shuō)，計(jì)算量較小，易得出分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解，可用于求解零初值下MFVEO系統(tǒng)的數(shù)值解。下面討論分析不同激勵(lì)下參數(shù)變化對(duì)MFVEO阻尼效應(yīng)的影響。

2 MFVEO系統(tǒng)阻尼效應(yīng)分析

2.1 正弦激勵(lì)下系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)分析

現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)所受外界激勵(lì)為正弦激勵(lì)f=sinωt，其中ω為外力激勵(lì)頻率。取m=80，令系數(shù)a1=0.1,a2=0.5,b1=0.012 5,b2=0.001 25,ω=2π，分析MFVEO系統(tǒng)參數(shù)改變對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)所帶來(lái)的影響。

1) 階數(shù)α對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。固定階數(shù)β的值為0.1且方程系數(shù)不變時(shí)，分析階數(shù)α取值變化對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。為了能夠更加方便簡(jiǎn)潔的觀察響應(yīng)曲線的變化，現(xiàn)將其分為α∈(0,0.5)和α∈(0.5,1)兩部分來(lái)進(jìn)行討論，結(jié)果如圖3所示。

圖3 階數(shù)α取不同值時(shí)粘彈性振子隨時(shí)間變化曲線

從圖3中可知當(dāng)β=0.1且方程系數(shù)都不發(fā)生變化時(shí)，當(dāng)α取值為0.1時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線的波動(dòng)最為強(qiáng)烈。隨著分?jǐn)?shù)階微分的階數(shù)值α的不斷增大，該粘彈性振子振動(dòng)的幅值不斷減小，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增強(qiáng)。

2) 階數(shù)β對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。固定階數(shù)α的值為0.3和0.8且方程系數(shù)不變時(shí)，分析階數(shù)β變化對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響，結(jié)果如圖4所示。

圖4 階數(shù)β取不同值時(shí)粘彈性振子隨時(shí)間變化曲線

由圖4可知：無(wú)論α取何值，隨著β取值的不斷增大，該粘彈性振子振動(dòng)的幅值不斷增大，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)越來(lái)越弱。

3) 外力激勵(lì)頻率ω對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。固定階數(shù)α=0.4，β=0.1，在其他系數(shù)不變時(shí)，討論當(dāng)系統(tǒng)所受外力激勵(lì)的頻率ω取2π，4π和6π時(shí)，對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響，結(jié)果如圖5所示。

圖5 頻率ω=2π,4π,6π時(shí)粘彈性振子隨時(shí)間變化曲線

由圖5可知：隨著外力激勵(lì)頻率ω的不斷增大，該粘彈性振子的幅值不斷減小，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增大。對(duì)比圖3和圖4，當(dāng)固定方程的系數(shù)不變時(shí)，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)受階數(shù)α的影響較大，受階數(shù)β的影響較小。

2.2 單位沖激激勵(lì)下系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)分析

當(dāng)外界激勵(lì)由正弦激勵(lì)變?yōu)閱挝粵_激激勵(lì)后，取m=80，令系數(shù)為a1=0.1,a2=0.5,b1=0.0125,b2=0.001 25，分析MFVEO系統(tǒng)的階數(shù)發(fā)生改變時(shí)，對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)所帶來(lái)的影響。

1) 階數(shù)α對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。固定階數(shù)β=0.1且方程其他系數(shù)不變，分析單位沖激激勵(lì)下階數(shù)α取值變化對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。結(jié)果如圖6所示。

圖6 階數(shù)α取不同值時(shí)粘彈性振子隨時(shí)間變化曲線

由圖6可知：取β=0.1且方程系數(shù)都不發(fā)生變化，當(dāng)階數(shù)α∈(0,0.5)時(shí)，隨著α取值的不斷增大，該粘彈性振子振幅衰減的速度越來(lái)越快，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增強(qiáng)；當(dāng)階數(shù)α∈(0.5,1)時(shí)，隨著α取值的不斷增大，該粘彈性振子振幅衰減的速度越來(lái)越慢，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷減弱。由于粘彈性材料的特性，當(dāng)α的取值越小，越趨于0時(shí)，粘彈性振子的波動(dòng)曲線越接近于彈簧的振動(dòng)，即材料的力學(xué)特性更趨向于彈性；當(dāng)α的取值越大，越趨于1時(shí)，粘彈性振子的波動(dòng)曲線的波動(dòng)變化幅度越小，即材料的力學(xué)性能更趨向于粘性。

2) 階數(shù)β對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響。固定階數(shù)α的值為0.3和0.8且方程系數(shù)不變時(shí)，分析單位沖激激勵(lì)下，階數(shù)β變化對(duì)系統(tǒng)阻尼效應(yīng)的影響，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知：固定階數(shù)α及方程系數(shù)不變時(shí)，隨著階數(shù)β取值的不斷增大，該粘彈性振子振幅衰減的速度越來(lái)越快，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增強(qiáng)。

圖7 階數(shù)β取不同值時(shí)粘彈性振子隨時(shí)間變化曲線

3 結(jié)論

1) 在正弦函數(shù)激勵(lì)下，MFVEO系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)與階數(shù)α的變化與呈正相關(guān)，與階數(shù)β的變化呈負(fù)相關(guān)；且該系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)對(duì)階數(shù)α的變化較敏感，對(duì)階數(shù)β的變化不敏感；隨著外力頻率ω的不斷增大，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增強(qiáng)。

2) 在單位沖激激勵(lì)下，當(dāng)階數(shù)α∈(0,0.5)時(shí)，隨著α取值的不斷增大，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增強(qiáng)；當(dāng)階數(shù)α∈(0.5,1) 時(shí)，隨著α取值的不斷增大，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷減弱。隨著階數(shù)β取值的不斷增大，系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)不斷增強(qiáng)。

3) 該閉式解算法可用于求解零初值下的分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解。而在實(shí)際工程中，系統(tǒng)的初值不一定都為0，所以如何求解初值不為0的分?jǐn)?shù)階微分方程的解，需進(jìn)一步探討和研究。