電磁感應(yīng)問(wèn)題中動(dòng)量定理應(yīng)用歸類

◇ 北京 羅倩敏(特級(jí)教師)

動(dòng)量定理是指物體在一個(gè)過(guò)程中所受力的沖量等于它在這個(gè)過(guò)程中始末的動(dòng)量變化量,體現(xiàn)了力在時(shí)間上的積累效應(yīng).動(dòng)量定理是高中物理極其重要的定理,反映了物體狀態(tài)的變化是要通過(guò)一定的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)的.下面就電磁感應(yīng)問(wèn)題中動(dòng)量定理的應(yīng)用進(jìn)行歸類,挖掘其獨(dú)特表現(xiàn)與共性,探尋其應(yīng)對(duì)策略.

1 線圈進(jìn)出磁場(chǎng)

例1如圖1所示,在光滑的水平面上,有一豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在寬度為L(zhǎng)的區(qū)域內(nèi),現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為l(l＜L)的正方形線圈,垂直磁場(chǎng)邊界進(jìn)入時(shí)速度為v1,滑離磁場(chǎng)時(shí)速度為v2,則( ).

A.完全進(jìn)入磁場(chǎng)中時(shí)的速度v大于(v1＋v2)/2

B.完全進(jìn)入磁場(chǎng)中時(shí)的速度v等于(v1＋v2)/2

C.進(jìn)入磁場(chǎng)和滑離磁場(chǎng)過(guò)程中通過(guò)線圈的電荷量相等

D.進(jìn)入磁場(chǎng)和滑離磁場(chǎng)過(guò)程中線圈的發(fā)熱量相等

圖1

解析

線圈進(jìn)入和離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程均做減速運(yùn)動(dòng),在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng),由動(dòng)量定理得,而通過(guò)線圈電荷量為,顯然,線圈進(jìn)入和離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程中磁通量變化絕對(duì)值相同,故有q＝ˉI1Δt1＝ˉI2Δt2,聯(lián)立得.由功能關(guān)系得,線圈進(jìn)入和離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程中的發(fā)熱量等于對(duì)應(yīng)線圈克服安培力所做的功,即在短時(shí)間Δt內(nèi)發(fā)熱量有又因?yàn)榫€圈進(jìn)出磁場(chǎng)的位移相等,所以線圈的發(fā)熱量是進(jìn)入磁場(chǎng)的大于離開(kāi)磁場(chǎng)的,故選項(xiàng)B、C正確.

策略線圈垂直進(jìn)出磁場(chǎng),關(guān)鍵是抓住進(jìn)入和離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程中的磁通量變化的絕對(duì)值相同,以動(dòng)量定理為樞紐,以線圈為載體進(jìn)行分析.表現(xiàn)有中間特征:回路電流為零,線圈做勻速運(yùn)動(dòng).

2 單棒切割磁感線

2.1 單棒切割發(fā)電式

例2已知金屬棒的質(zhì)量為m＝5g,導(dǎo)軌固定且足夠長(zhǎng),其寬為L(zhǎng)＝0.4m,電阻R＝2Ω,其余電阻不計(jì),勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.5T.(g取10m·s－2)

(1)已知棒和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.4.

a.如圖2所示,若棒受一沖量作用后以速度v0＝4m·s－1沿水平平行導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng),經(jīng)一段時(shí)間后停止.測(cè)得棒從運(yùn)動(dòng)到停止的過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)線的電荷量q＝10－2C.試求棒運(yùn)動(dòng)的距離x與時(shí)間t.

圖2

b.如圖3所示,若棒受未知外力F作用,從靜止開(kāi)始,以加速度2m·s－2做勻加速運(yùn)動(dòng),在棒運(yùn)動(dòng)位移為1m的過(guò)程中,畫(huà)出F-t圖象,并求出該位移內(nèi)外力F的沖量.

(2)不計(jì)棒和導(dǎo)軌間的摩擦,若將圖2中電阻R換成電容為C的電容器.

a.棒以速度v0沿平行導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng),求棒最終穩(wěn)定時(shí)的速度大小.

b.棒受已知恒定外力F作用,畫(huà)出加速度—時(shí)間圖象,并求出位移為s時(shí)的速度(用字母表示).

圖3

解析

(1)a.對(duì)棒,由動(dòng)量定理得 －μmgt－BL∑IΔt＝0－mv0,又,解得t＝

b.對(duì)棒,由動(dòng)量定理得Ft－μmgt－BL∑IΔt＝mv,由聯(lián)立解得t＝畫(huà)出F-t圖象,如圖4所示.由圖象中的面積求得F的沖量為0.04N·s－1.

圖4

(2)a.對(duì)棒,由動(dòng)量定理得－BL∑IΔt＝mvmv0,對(duì)電容器充電電荷量為q＝∑IΔt＝CBLv,聯(lián)立解得

b.對(duì)棒,在任意短時(shí)間Δt內(nèi),由動(dòng)量定理得FΔt－BLIΔt＝mΔv,而.對(duì)電容 器 有 Δq＝CBLΔv＝IΔt,聯(lián) 立 得 F＝ma＋CB2L2a.可見(jiàn),棒做勻加速運(yùn)動(dòng),即畫(huà)出a-t圖象如圖5,故棒運(yùn)動(dòng)位移s時(shí)的速度

圖5

策略單棒切割發(fā)電(阻尼和動(dòng)力)式,關(guān)鍵是抓住單棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),以動(dòng)量定理為樞紐,以電阻或電容為載體進(jìn)行分析.表現(xiàn)有收尾特征:回路電流為零,棒靜止或做勻速運(yùn)動(dòng).對(duì)含電容器的單棒,在恒力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

2.2 單棒切割電動(dòng)式

例3一對(duì)足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平面上,有一質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬棒ab靜止于導(dǎo)軌上,且與導(dǎo)軌垂直良好接觸,金屬棒的電阻為R,導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì),整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.

(1)如圖6所示,若導(dǎo)軌左端接一電源,其電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻為r,閉合開(kāi)關(guān)S,棒運(yùn)動(dòng)時(shí)間t時(shí)剛好達(dá)到最大速度.試求在時(shí)間t內(nèi)流過(guò)棒的電荷量和棒運(yùn)動(dòng)的位移.

(2)一個(gè)半徑為a的金屬圓盤(pán),可繞豎直中心軸O在水平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),圓盤(pán)的邊緣和中心分別通過(guò)電刷與導(dǎo)軌左端相連,如圖7所示.已知圓盤(pán)的邊緣和中心之間的等效電阻為r,外電阻為R,電容器的電容為C,單刀雙擲開(kāi)關(guān)S開(kāi)始與觸頭1閉合,當(dāng)電路穩(wěn)定時(shí),金屬圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω.然后,將開(kāi)關(guān)S撥向觸頭2,棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),求棒的最大速度.

圖6

圖7

解析

策略單棒切割(平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng))電動(dòng)(電源和電容)式,關(guān)鍵是抓住電流“驅(qū)動(dòng)”單棒切割磁感線產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì),解題時(shí)要以動(dòng)量定理為樞紐,以電源和電容器為載體進(jìn)行分析.表現(xiàn)有收尾特征:回路電流為零,棒做勻速運(yùn)動(dòng)或勻速轉(zhuǎn)動(dòng).

3 雙棒切割磁感線

3.1 等長(zhǎng)雙棒切割式

例4直流電動(dòng)機(jī)是一種使用直流電流的動(dòng)力裝置,是根據(jù)通電線圈在磁場(chǎng)中受到安培力的原理制成的.如圖8所示是一臺(tái)最簡(jiǎn)單的直流電動(dòng)機(jī)模型示意圖,固定部分(定子)裝了一對(duì)磁極,旋轉(zhuǎn)部分(轉(zhuǎn)子)裝設(shè)圓柱形鐵芯,將abcd矩形導(dǎo)線框固定在轉(zhuǎn)子鐵芯上,能與轉(zhuǎn)子一起繞軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng).線框與鐵芯是絕緣的,線框通過(guò)換向器與直流電源連接.定子與轉(zhuǎn)子之間的空隙很小,可認(rèn)為磁場(chǎng)沿徑向分布,線框無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置,它的平面都跟磁感線平行,如圖9所示(側(cè)面圖).已知ab、cd桿的質(zhì)量均為M、長(zhǎng)度均為L(zhǎng),其他部分質(zhì)量不計(jì),線框總電阻為R.電源電動(dòng)勢(shì)為E,內(nèi)阻不計(jì).當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)S,線框由靜止開(kāi)始在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng),線框所處位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.忽略一切阻力與摩擦.

圖8

(1)閉合開(kāi)關(guān)后,線框由靜止開(kāi)始到轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到穩(wěn)定的過(guò)程中,求電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的內(nèi)能Q內(nèi).

(2)當(dāng)電動(dòng)機(jī)接上負(fù)載后,相當(dāng)于線框受到恒定的阻力,阻力不同電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度也不相同.則ab、cd兩根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)速度v多大時(shí),電動(dòng)機(jī)的輸出功率P最大,并求出最大功率Pm.

圖9

解析

(1)設(shè)在此過(guò)程中通過(guò)桿橫截面的電荷量為q,穩(wěn)定時(shí)兩桿的速度為vm,由能量守恒定律得,穩(wěn)定時(shí)有E＝2BLvm,在很短的時(shí)間Δt內(nèi)可認(rèn)為電流不變,對(duì)ab,在運(yùn)動(dòng)方向由動(dòng)量定理得BL∑IΔt＝Mvm,而∑IΔt＝q,聯(lián)立解得

(2)電動(dòng)機(jī)的輸出功率P＝EI－I2R,顯然當(dāng)I＝時(shí),輸出功率P最大,而,即v＝聯(lián)立解得最大功率.

例5超級(jí)高鐵是一種以“真空管道運(yùn)輸”為理論核心設(shè)計(jì)的交通工具,其原理如圖10所示,運(yùn)輸車質(zhì)量為m,在其下部固定著間距為D、與導(dǎo)軌垂直的兩根導(dǎo)體棒1和2,每根導(dǎo)體棒長(zhǎng)為L(zhǎng),電阻為R,每段長(zhǎng)度為D的導(dǎo)軌的電阻也為R.其他電阻忽略不計(jì).當(dāng)運(yùn)輸車進(jìn)站時(shí),管道內(nèi)依次分布磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,寬度為D的勻強(qiáng)磁場(chǎng),且相鄰的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向相反,重力加速度為g,不計(jì)摩擦和空氣阻力.求運(yùn)輸車以速度v0從圖10通過(guò)距離D后的速度vt.該過(guò)程中通過(guò)棒的電荷量q和線圈的發(fā)熱量Q.

圖10

解析

對(duì)運(yùn)輸車,兩根導(dǎo)體棒1和2看成一個(gè)整線圈,選取任意一段時(shí)間Δt,由動(dòng)量定理可得－2BL∑IΔt＝mvt－mv0.由閉合電路歐姆定律得回路電流為.由法拉第電磁感應(yīng)定律得E＝2BLv(v為任意時(shí)刻的速度),而∑vΔt＝D.聯(lián)立解得.而 ∑IΔt＝q,聯(lián)立解得q＝.由能量守恒定律得

例6如圖11所示,電阻不計(jì)的兩光滑金屬導(dǎo)軌相距L,放在水平絕緣桌面上,半徑為R的1/4圓弧部分處在豎直平面內(nèi),水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,末端與桌面邊緣齊平.兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好.棒ab質(zhì)量為2m,電阻為r,棒cd的質(zhì)量為m,電阻為r.重力加速度為g.開(kāi)始棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上,棒ab從圓弧頂端無(wú)初速度釋放,進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒(méi)有接觸并一直向右運(yùn)動(dòng),最后兩棒都離開(kāi)導(dǎo)軌落到地面上.棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為3∶1.求:

圖11

(1)棒ab和cd離開(kāi)導(dǎo)軌時(shí)的速度大小;

(2)通過(guò)棒cd的電荷量.

解析

(1)設(shè)ab棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v0,ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能守恒,則有.棒cd離開(kāi)導(dǎo)軌時(shí),設(shè)ab棒速度為v1,cd棒的速度為v2,兩棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量守恒,即2mv0＝2mv1＋mv2.因兩棒離開(kāi)導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等,由平拋運(yùn)動(dòng)水平位移x＝vt可知v1∶v2＝x1∶x2＝3∶1,聯(lián)立解得.

(2)對(duì)cd棒,從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到離開(kāi)軌道,由動(dòng)量定理得BL∑IΔt＝mv2,而∑IΔt＝q,聯(lián)立解得

例7光滑的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平地面上,整個(gè)空間存在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),兩根相同的金屬棒ab和cd垂直放置在導(dǎo)軌上,相距為s,如圖12所示.開(kāi)始時(shí)cd棒靜止,ab棒以初速度v0沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng).隨后cd棒也運(yùn)動(dòng)起來(lái),兩棒始終未能相碰,忽略金屬棒中感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng).

圖12

(1)已知兩根金屬棒的質(zhì)量均為m,電阻均為R,不計(jì)導(dǎo)軌電阻,求兩棒最終的距離x與發(fā)熱量的最大值Qm.

(2)圖13是圖12的俯視圖.請(qǐng)?jiān)趫D13中畫(huà)出ab、cd棒在達(dá)到最終狀態(tài)之前,棒內(nèi)自由電子所受洛倫茲力的示意圖;并從微觀的角度,通過(guò)計(jì)算分析說(shuō)明,在很短的時(shí)間Δt內(nèi),ab棒減少的動(dòng)量是否等于cd棒增加的動(dòng)量.

圖13

解析

(1)ab棒減速、cd棒加速,最終具有相同速度,設(shè)為v,對(duì)兩棒,由動(dòng)量守恒定律得mv0＝2mv.對(duì)cd棒由動(dòng)量定理得BL∑IΔt＝mv,由閉合電路歐姆定律得回路電流為,由法拉第電磁感應(yīng)定律得E＝BL(v1－v2)(v1、v2為兩棒任意時(shí)刻的速度),整理有其中∑(v1－v2)Δt＝Δx為兩棒的相對(duì)位移,由已知得x＝s－Δx,聯(lián)立解得

對(duì)兩棒由能量守恒定律得

(2)兩棒中自由電子受洛倫茲力如圖14所示,ab棒中每個(gè)自由電子受到垂直于棒方向的洛倫茲力f2,設(shè)有n個(gè)電子,ab棒減少的動(dòng)量等于力nf2對(duì)電子的沖量,即I2＝－nf2Δt＝－neuBΔt.同理cd棒增加的動(dòng)量等于力nf′2對(duì)電子的沖量,即I′2＝nf′2Δt＝neuBΔt,可見(jiàn),在很短的時(shí)間t內(nèi),ab棒減少的動(dòng)量等于cd棒增加的動(dòng)量.

圖14

策略等長(zhǎng)雙棒(含阻尼棒和動(dòng)力棒)切割式,關(guān)鍵是抓住雙棒切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)(含反電動(dòng)勢(shì)),以動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒為樞紐,以雙棒或單棒為載體進(jìn)行分析.其中有收尾特征:回路電流為零,棒靜止或以等速做勻速運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng);也有速度隨空間D均勻遞減的特征,即(詳見(jiàn)例5).

3.2 不等長(zhǎng)雙棒切割式

例8如圖15所示,光滑斜面導(dǎo)軌與水平光滑導(dǎo)軌成θ角,兩導(dǎo)軌平滑對(duì)接,已知斜面軌道和水平等寬軌道寬為3l,水平窄軌道寬為l,斜面和水平面都有垂直的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).ab、cd是質(zhì)量均為m的金屬棒,電阻均為R,軌道電阻不計(jì),重力加速度為g.鎖定cd,讓ab從斜面底端以初速度v0沿斜面向上運(yùn)動(dòng),設(shè)各導(dǎo)軌足夠長(zhǎng).當(dāng)ab返回斜面底端時(shí)速度變?yōu)閗v0,k是小于1的常數(shù),與此同時(shí)迅速解鎖cd,不計(jì)空氣阻力.試求:

圖15

(1)ab棒在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t;

(2)兩棒的最終速度va與vb;

(3)全過(guò)程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱Q;

(4)當(dāng)ab進(jìn)入水平軌道的瞬間,從微觀角度,求ab、cd棒中金屬離子對(duì)一個(gè)自由電子沿棒方向的平均作用力大小fa與fb之比.

解析

(1)對(duì)ab,在斜面運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,由動(dòng)量定理得－mgtsinθ－BL∑IΔt＝－mkv0－mv0,而全程磁通量變化為零,即通過(guò)棒的電荷量q＝聯(lián)立解得

(2)當(dāng)ab進(jìn)入水平軌道后做減速運(yùn)動(dòng),cd做加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)電路中電流為零時(shí)兩棒穩(wěn)定,即有3Blva＝Blvb,對(duì)ab由動(dòng)量定理得－3Bl∑IaΔt＝mvamkv0,對(duì)cd同理可得Bl∑IbΔt＝mvb,由于兩棒串聯(lián),故流過(guò)的電荷量有∑IaΔt＝∑IbΔt,聯(lián)立解得.

(4)對(duì)ab進(jìn)入水平軌道的瞬間,回路中電流是一定的,可視為回路中的電子做勻速運(yùn)動(dòng),對(duì)電子有同理對(duì)cd(速度為零)中的電子有聯(lián)立可得,即fa∶fb＝1∶3.

策略不等長(zhǎng)雙棒(含阻尼棒和動(dòng)力棒)切割式,關(guān)鍵是抓住雙棒切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)(含反電動(dòng)勢(shì)),以動(dòng)量定理為樞紐,以雙棒或單棒為載體進(jìn)行分析.其中有收尾特征:回路電流為零,雙棒以不等速勻速運(yùn)動(dòng).

總之,電磁感應(yīng)問(wèn)題中動(dòng)量定理應(yīng)用非常廣泛,既要具體問(wèn)題具體分析,又要善于歸類,挖掘其共性——單棒或雙棒在磁場(chǎng)中切割磁感線運(yùn)動(dòng)往往是由眾多微小的元過(guò)程(如時(shí)間、位移、功等)組成,且所有微元過(guò)程遵循相同的規(guī)律.因此分析時(shí),只要將微元過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)累積求和或進(jìn)行物理整體與隔離、圖象法等思維處理,即可將復(fù)雜的物理問(wèn)題快速求解.要以電阻、電源、電容器、單棒或雙棒為載體,以動(dòng)量定理為樞紐,將閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律等聯(lián)系起來(lái),解決速度、加速度、安培力、洛倫茲力、電流、能量、電荷量等相關(guān)問(wèn)題,并注意分析收尾或中間特征.