“模型”在立體幾何試題中的應用剖析

◇ 江西 章建榮 龍光鵬

立體幾何試題在高考中旨在考查學生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).立體幾何中有許多幾何模型,其中長方體模型是學生認識空間點、線、面位置關(guān)系的最佳模型,所以高考試題的命制中越來越關(guān)注長方體模型.立體幾何中學生易掌握的簡單幾何體是長方體,其幾何性質(zhì)和直觀的幾何結(jié)構(gòu)學生更容易掌握和理解,并且在長方體中添加輔助線,可以構(gòu)建各種線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系,所以在遇到點、線、面的問題時,應該巧妙合理地構(gòu)造出長方體模型或截面模型加以解決,使得復雜的問題變得更易理解.

1 典例剖析

例1(2019年全國卷Ⅲ理8)如圖1,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則( ).

A.BM＝EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM＝EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

分析本題主要考查空間直線的位置關(guān)系,既有定性分析,又有定量研究.

圖1

解如圖2,根據(jù)題干信息建立長方體模型.由長方體模型易知M,N分別是ED,BD的中點,則MN∥EB,又知M,N,B,E四點共面,所以可以準確判斷出直線BM,EN是相交直線,且BM≠EN.故選B.

圖2

點評

借助長方體模型,易知MN∥EB,則四邊形MNBE為梯形,同時,結(jié)合四邊形ABCD為正方形,△ECD為等邊三角形,則BD＝ 2DE,故梯形MNBE不是等腰梯形,再進行幾何圖形的定性分析與研究.依托長方體模型,采用降維的方式,將立體幾何中的問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再分析問題、解決問題.結(jié)合梯形MNBE不是等腰梯形,所以BM≠EN.進一步將問題轉(zhuǎn)化為定量研究.

例2(2018年全國卷Ⅰ理12)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

分析本題主要考查動態(tài)截面的最值、面面平行的性質(zhì)定理、線面角等知識,考查了學生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想,同時,旨在考查學生的直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

解法1如圖3所示,每條棱所在直線與平面α所成的角相等時,平面α與體對角線垂直,則當截面為六邊形時,面積會比截面為三角形時的面積大.

圖3

探究當截面為六邊形時截面的面積S,設(shè)ED＝a,則可以分別求出各邊長(如圖4),所以

故選A.

圖4

解法2易知,當截面為正六邊形時,截面面積最大,如圖5所示.所以故選A.

點評

求解立體幾何問題時,直觀想象素養(yǎng)是不可或缺.但學生觀察幾何圖形的時候,往往缺乏對幾何圖形的直觀感知,導致解題產(chǎn)生困惑.若學生能夠較好地理解當截面為正六邊形的時候,截面面積最大,問題就容易獲解了.

圖5

例3設(shè)點P是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1對角線BD1的中點,平面α過點P,且與直線BD1垂直,則平面α與正方體ABCDA1B1C1D1的表面的交線長為________.

分析本題主要考查截面的周長、線面垂直的性質(zhì)定理,考查了學生的空間想象能力,同時,旨在考查學生的直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

解如圖6所示,將立體問題平面化,得到如圖7的平面圖形.設(shè)∠DBD1＝θ,則,所以,因為,所以即E為BD的四等分點,所以截面為正六邊形,其周長為.

圖6

圖7

點評

解題時,要重視對文字語言、圖形語言和符號語言的理解,故教學中,教師應注意引導學生結(jié)合長方體模型,學會將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言,使學生準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關(guān)系.同時,在教學中要利用類比、聯(lián)想等方法,辨別平面圖形和立體圖形的異同,理解兩者的內(nèi)在關(guān)系,并逐漸感悟到要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,這是處理立體幾何問題的重要思想.

例4如圖8所示,在四面體ABCD中,AB＝CD＝2,AC＝BD＝,AD＝BC＝,E,F分別為AD,BC的中點.若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每個面都相交的平面α去截該四面體,由此得到的一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為( ).

圖8

分析本題考查四面體的截面問題、線面的位置關(guān)系和線面垂直的性質(zhì)定理,旨在考查學生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力,培養(yǎng)學生的直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

解在四面體ABCD中,AB＝CD＝2,AC＝,將四面體放到一個長方體中,其中長方體的長為,寬為,高為1.如圖9所示,因為EF⊥平面α,故截面為平行四邊形MNKL,可得,設(shè)異面直線BC與AD所成的角為θ,則sinθ＝sin∠LKN,可知,所以當且僅當NK＝KL時,等號成立.故選B.

圖9

點評

我們知道,幾何體組成的基本元素是點、線、面,解決幾何體中元素之間的等量和位置關(guān)系時,首先要尋求幾何體的模型,準確地把握幾何體中元素的關(guān)系,依托模型,提升解題能力,促進邏輯推理素養(yǎng)的提升.

例5已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,垂直于棱AA1的截面分別與面對角線A1D,A1B,C1B,C1D相交于點E,F,G,H四點,則四棱錐A1-EFGH體積的最大值為________.

分析主要考查動態(tài)幾何體的體積最值問題,涉及線面垂直的性質(zhì)定理和三次函數(shù)求最值的方法.

解如圖10所示,易知四邊形EFGH為矩形,△A1EF,△BFG為等邊三角形,設(shè)EF＝x,則FG＝,設(shè)棱錐的高為h,則,

圖10

點評

通過對空間圖形的觀察、實驗、操作和思辨,使學生了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法,空間想象能力的培養(yǎng)是立體幾何教學的重點.

2 總結(jié)與反思

縱觀近幾年的高考試題可以發(fā)現(xiàn),高考試題來源于教材,又高于教材.高考中的立體幾何試題大多數(shù)是以長方體模型和截面模型為依托,考查學生的空間想象能力,關(guān)注學生的學科核心素養(yǎng).

在立體幾何中,長方體模型和截面模型是非常重要的兩個模型,依托長方體模型和截面模型可以解決很多立體幾何問題.同時,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,也是求解立體幾何問題的一種基本方法.作幾何體的截面,既是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題的一個方法,也是理解空間點線面關(guān)系的一個很好的途徑.

長方體模型和截面模型的研究,對于發(fā)展學生的空間想象能力,提升綜合運用立體幾何各方面的知識技能,提高學生的解題能力,都是十分有啟發(fā)、有思考價值的題材.同時對學生進行空間幾何體截面的作圖等訓練也是培養(yǎng)和發(fā)展學生核心素養(yǎng)的拓展課題.