基于數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革初探

黃亞男 賈云濤

摘要在高等教育改革、新工科理念的時(shí)代大背景下，本文結(jié)合數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（PME）中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)理解的心理本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的情感因素這三個(gè)方面的相關(guān)理論以及公共數(shù)學(xué)教育教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，具體圍繞豐富認(rèn)知聯(lián)線、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)部心理機(jī)制和數(shù)學(xué)教學(xué)的情感要素展開來談在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)理論的支撐下如何優(yōu)化教學(xué)策略，持續(xù)提高我們的教學(xué)質(zhì)量，真正踐行關(guān)于人的主體的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（PME） 高等教育改革 教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.21.010

On the Teaching Reform of Advanced Mathematics Based on Mathematical Educational Psychology

HUANG Yanan， JIA Yuntao

（School of Applied Science and Civil Engineering， Beijing Institute of Technology， Zhuhai Campus， Zhuhai， Guangdong 519088）

AbstractUnder the background of higher education reform and new engineering concept， this paper combines the relevant theories of mathematics cognitive structure， psychological nature of mathematics understanding， emotional factors in mathematics education and teaching in Mathematics Educational Psychology （PME） and the practical experience of Public Mathematics Education and teaching.Based on the internal psychological mechanism of mathematics understanding and the emotional elements of mathematics teaching， this paper discusses how to optimize teaching strategies， continuously improve our teaching quality， and truly practice the mathematics quality education of human subject under the support of the theory of mathematics educational psychology.

KeywordsMathematics Educational Psychology（PME）； higher education reform； teaching quality

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（Psychology of Mathematics Education，縮寫為PME），是數(shù)學(xué)學(xué)科教育的研究實(shí)踐與教育學(xué)、心理學(xué)理論的交叉領(lǐng)域，旨在構(gòu)建全新的學(xué)科教育理論框架，從而推動(dòng)教師教育改革與創(chuàng)新，切實(shí)提升教育教學(xué)質(zhì)量。

我國(guó)高等教育改革已進(jìn)入一個(gè)綜合縱深、內(nèi)涵式發(fā)展、全面優(yōu)化的新時(shí)代，同時(shí)，在新工科的核心理念下，守住本科數(shù)學(xué)教育教學(xué)的前沿陣地，持續(xù)提升公共數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量就成為擺在每一位一線數(shù)學(xué)教師面前刻不容緩的首要任務(wù)。如何圍繞數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)開展有效的“以學(xué)生主體為中心”的教學(xué)活動(dòng)？如何在現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)和教育學(xué)理論指導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效傳遞？如何幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難心理，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓課堂更有效？本文主要圍繞數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（PME）中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)理解的心理本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的情感因素這三個(gè)方面的相關(guān)理論，并結(jié)合本人的教育教學(xué)實(shí)踐心得來展開對(duì)提升公共數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)等問題的相關(guān)思考。

1數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相關(guān)理論及其對(duì)優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的啟發(fā)

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上是一個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的過程。這個(gè)過程中教師通過語言、書寫、圖示或?qū)嵨锬Ｐ偷韧獠棵浇榈膸椭鷮W(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是一個(gè)內(nèi)外交互不斷打破并重建平衡且不斷建構(gòu)的過程。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的良好構(gòu)建除了有助于信息的存儲(chǔ)、記憶和操作外，還有促進(jìn)理解的功能。正如美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納（Bruner）所說：“獲得的知識(shí)如果沒有完美的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命?！?/p>

1.1數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形式

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在形式上可以看作是由節(jié)點(diǎn)和聯(lián)線組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。其中，節(jié)點(diǎn)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的元素或?qū)ο?，?shù)學(xué)對(duì)象——如數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)等在心理上的表示形態(tài)就是心理表象，而聯(lián)線就是內(nèi)部表象之間的聯(lián)系。認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)線是認(rèn)知理解的入口，是回憶知識(shí)的線索，又是指明節(jié)點(diǎn)“地址”的“指針”。一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的聯(lián)線越多，表示它與更多的節(jié)點(diǎn)相聯(lián)系，并且表明進(jìn)入這個(gè)節(jié)點(diǎn)的通路越多。這樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以指一個(gè)小小的“微觀”的概念結(jié)構(gòu)，也可以指“宏觀”的指針關(guān)系的結(jié)構(gòu)，它如同一張動(dòng)態(tài)平衡的思維地圖——各項(xiàng)知識(shí)各司其位，它們的相互關(guān)系錨定了各個(gè)節(jié)點(diǎn)（概念、性質(zhì)或其組塊）的相對(duì)位置。

我們?cè)诮虒W(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注意建立并豐富節(jié)點(diǎn)之間的“聯(lián)線”，在知識(shí)點(diǎn)的差異性和相似性的辨別區(qū)分中去學(xué)習(xí)。比如，在多元函數(shù)積分學(xué)部分的教學(xué)中，我們可以按照線狀、面狀、體狀積分的分類方法設(shè)計(jì)教學(xué)；我們也可以按照“關(guān)于數(shù)量意義的——如具有物理質(zhì)量總量背景的二重、三重、一類線、一類面”積分和“含有向量意義的——二類線、二類面”積分的方法設(shè)計(jì)教學(xué)；我們甚至還可以借助“形象”的形式化符號(hào)——“∫”，“∫∫”，“∫∫∫”來導(dǎo)入這部分內(nèi)容?？傊覀兊哪康氖且龑?dǎo)學(xué)生在構(gòu)建概念表象的基礎(chǔ)上建立更豐富的“聯(lián)線”，絕不能孤立地灌輸知識(shí)點(diǎn)。

1.2學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主體差異

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在后天的學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步形成和發(fā)展起來的，由于不同主體對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解和組織方式不同，所以數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有個(gè)體差異的，來到同一個(gè)課堂中的學(xué)生在長(zhǎng)時(shí)記憶中存貯的“預(yù)備知識(shí)”其實(shí)是不同的。在課堂教學(xué)情景中，來自書本和教師講授的外部刺激必須首先進(jìn)入工作記憶平臺(tái)才能進(jìn)入長(zhǎng)期記憶，鑒于工作記憶容量的有限性，學(xué)生只能是“有選擇地”在場(chǎng)。首先，教師要調(diào)整自己的心理預(yù)期，讓每位學(xué)生都在有限的45分鐘內(nèi)“學(xué)得全會(huì)、聽的全懂”是不可能的，我們要注重豐富知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)通路，不能簡(jiǎn)單割裂各個(gè)教學(xué)單元，要注重溫故知新式的教學(xué)；其次，教師要意識(shí)到有效的教學(xué)是幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)化知識(shí)——“漁”，而非知識(shí)內(nèi)容——“魚”，并根據(jù)工作記憶“組塊擴(kuò)容”的原理來優(yōu)化教學(xué)策略。

2數(shù)學(xué)理解的心理本質(zhì)、重要性以及如何促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

我們可以以量化的方式衡量數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，比如測(cè)驗(yàn)成績(jī)等，但是，更重要的衡量指標(biāo)首先應(yīng)該是質(zhì)的方面——在認(rèn)知層面是否內(nèi)化了所學(xué)的知識(shí)，按照建構(gòu)主義心理學(xué)的觀點(diǎn)，是否完成了知識(shí)的同化與順應(yīng)，即“駕馭”了所學(xué)知識(shí)。在心理學(xué)意義上，數(shù)學(xué)的掌握在于理解，而理解是為了數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移。在學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究中，理解分解為一系列水平的層次，如：了解、領(lǐng)會(huì)、掌握、熟練應(yīng)用等等，這樣的分層目的是為了更高階意義的量化——在心理測(cè)量的層面科學(xué)地量化理解這個(gè)概念。而我們?cè)诒疚闹懈⒅刂赋鰧?duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的有啟發(fā)作用的理解的基本內(nèi)部心理機(jī)制。

2.1數(shù)學(xué)理解需要心理認(rèn)知基礎(chǔ)

教育心理學(xué)家奧蘇貝爾是“有意義學(xué)習(xí)”的提出者，他認(rèn)為學(xué)生具有有意義學(xué)習(xí)的心向，相較于機(jī)械學(xué)習(xí)，有意義學(xué)習(xí)是指符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的舊知識(shí)發(fā)生的交互作用，從而認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以重新構(gòu)建，新知識(shí)獲取了心理意義。在高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，認(rèn)知基礎(chǔ)非常重要，比如，微積分的教學(xué)需要函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)，而這個(gè)基礎(chǔ)的構(gòu)建貫穿了幾乎整個(gè)初、高中階段，一旦這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)存在重大缺陷，將會(huì)給大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)帶來極大的障礙。當(dāng)然，如果我們的學(xué)生有相關(guān)的學(xué)習(xí)障礙時(shí)，教師恰好需要以教育心理學(xué)的相關(guān)理論為支撐切實(shí)幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)困難，比如，借助于信息化技術(shù)和工具——如數(shù)學(xué)軟件等將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)視覺化，充分發(fā)揮人類表象的形象化優(yōu)勢(shì)來幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)瓶頸。

我們不能離開歷時(shí)性原則來孤立地談結(jié)構(gòu)，歷時(shí)性（強(qiáng)調(diào)時(shí)間線，側(cè)重心理發(fā)展角度）和共時(shí)性原則（強(qiáng)調(diào)共時(shí)性結(jié)構(gòu)，側(cè)重相互邏輯聯(lián)結(jié)）共存于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。在中學(xué)素質(zhì)教育改革的背景下，面對(duì)一部分被刪減的且影響了新知識(shí)建構(gòu)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，如極坐標(biāo)、排列組合的基本計(jì)數(shù)原理等，我們需要結(jié)合教學(xué)進(jìn)度將其有機(jī)地納入教學(xué)設(shè)計(jì)之中，在新舊知識(shí)聯(lián)結(jié)處給予學(xué)生重新構(gòu)建的可能性。

2.2認(rèn)知圖式的操作與數(shù)學(xué)理解

認(rèn)知圖式是瑞士認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰的核心概念，圖式是主體在與外部環(huán)境交互作用的過程中不斷發(fā)展建構(gòu)的。皮亞杰提出了三種能力結(jié)構(gòu)：動(dòng)作圖式（感覺運(yùn)動(dòng)圖式）、符號(hào)圖式和運(yùn)算圖式（1952，1977）。其中，符號(hào)圖式已經(jīng)具有完備的心理表象并可以通過外部動(dòng)作或行為外顯化，這種具有整體性的格式塔意義的符號(hào)圖式發(fā)展的關(guān)鍵期是1.5～7歲，當(dāng)然，符號(hào)圖式具有明顯視覺化的特點(diǎn)。與數(shù)學(xué)教育密切相關(guān)的圖式是運(yùn)算圖示，它具有邏輯性和可逆性，這是最早的算術(shù)運(yùn)算的內(nèi)部心理活動(dòng)的基礎(chǔ)，根據(jù)皮亞杰的發(fā)展理論，7歲以后的兒童思維的主要特征已經(jīng)是運(yùn)算圖式了。

對(duì)發(fā)展至關(guān)重要的三個(gè)過程：同化、順應(yīng)和平衡化。當(dāng)主體根據(jù)現(xiàn)有的圖式或運(yùn)算來知覺新的外部客體時(shí)，就發(fā)生了同化，主體傾向于使用任何可用的心理結(jié)構(gòu)來同化新的外部事件。當(dāng)必須修改現(xiàn)有的圖式或運(yùn)算以便于解釋一種新的經(jīng)驗(yàn)時(shí)，就發(fā)生了順應(yīng)。順應(yīng)影響同化，反過來也一樣。平衡化是主要的發(fā)展過程，包括同化和順應(yīng)。平衡化刻畫了主體從一個(gè)發(fā)展階段向另外一個(gè)發(fā)展階段的過渡。

2.3對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的啟發(fā)

皮亞杰曾從哲學(xué)的角度指出，“每一個(gè)結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是從一個(gè)較初級(jí)的結(jié)構(gòu)過渡到一個(gè)不那么初級(jí)的（或較為復(fù)雜的）結(jié)構(gòu)”，數(shù)學(xué)理解正是在平衡——不平衡——再次建立平衡的循環(huán)往復(fù)的發(fā)展過程中不斷深化的，幫助學(xué)生在這樣的過程中實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)理解正是教學(xué)的根本任務(wù)。

由于新課標(biāo)的實(shí)施，大一修習(xí)“微積分”的同學(xué)在中學(xué)里已經(jīng)學(xué)過導(dǎo)數(shù)了，而中學(xué)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)是從直觀的變化率意義下引入的，因此當(dāng)他們來到大學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，同化的心理機(jī)制雖然易于構(gòu)建，但是，全面地把握在特定類型極限意義下的導(dǎo)數(shù)概念卻對(duì)他們帶來了干擾和理解上的困難，這里不平衡發(fā)生了，而順應(yīng)過程并未重新構(gòu)建。平衡-不平衡的心理發(fā)生機(jī)制對(duì)教師調(diào)整教學(xué)策略具有深刻的指導(dǎo)意義，布雷納德（1978）提出了沖突教學(xué)，他認(rèn)為引發(fā)不平衡并使學(xué)生注意到其思維的沖突和不一致之處是重要的教學(xué)策略。

在這樣的平衡-不平衡的認(rèn)知發(fā)展過程中，給教師提供了創(chuàng)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)需求激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的絕佳時(shí)機(jī)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)需要的教學(xué)智慧可以從微積分發(fā)展的歷史入手，向?qū)W生指出嚴(yán)密的導(dǎo)數(shù)概念的價(jià)值和意義，也可以結(jié)合“最近發(fā)展區(qū)”的教育理論優(yōu)化重組教學(xué)次序，把同化作為順應(yīng)產(chǎn)生的前設(shè)和基礎(chǔ)?？傊?，如果找不到知識(shí)結(jié)構(gòu)重新構(gòu)建的機(jī)會(huì)的話，學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)便無法得到改善和提高，正如我國(guó)教育家陶行知先生所說：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo)?！笔聦?shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大部分的過程是順應(yīng)過程，這是數(shù)學(xué)難學(xué)的重要因素。

3數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的情感支撐

在我國(guó)，這樣一個(gè)專題是相較于“智力因素”而提出的“非智力因素”，它包括情緒、意志、興趣、信念等心理因素，隨著認(rèn)知心理學(xué)研究的深入，認(rèn)為后者也涉及了智力，故改稱為“非認(rèn)知因素”，數(shù)學(xué)教育心理理論將此類因素統(tǒng)稱為情感因素。我們所教學(xué)的對(duì)象，相較于中學(xué)階段，師生關(guān)系更加是平等的主體間關(guān)系，更加適用于“學(xué)生中心”的教育教學(xué)。

3.1“期待”的數(shù)學(xué)課堂與承載情緒情感的教學(xué)語言

無論教師還是學(xué)生，在走進(jìn)教室的時(shí)候，對(duì)這樣一堂課心里是充滿期待還是不情愿甚至是排斥的，都將預(yù)示這是一次成功的教學(xué)還是失敗的教學(xué)。這一點(diǎn)，無關(guān)歸納和演繹的邏輯法則，也無關(guān)數(shù)學(xué)的認(rèn)知知識(shí)結(jié)構(gòu)，它僅僅關(guān)乎人的異化本質(zhì)，即人類的基本聯(lián)結(jié)是愛，而愛的符號(hào)載體正是語言。心理學(xué)著名的“皮格馬利翁效應(yīng)”表明，對(duì)教學(xué)對(duì)學(xué)生滿懷正面意義的期待是可以跨越智力因素的，它可以直接影響到數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。美國(guó)哲學(xué)家杜威曾指出，“人類本質(zhì)最深遠(yuǎn)的驅(qū)策力就是希望具有重要性”，期待得到他人的認(rèn)可和承認(rèn)是人重要的天性。

語言不僅僅是信息符號(hào)的載體，也是情緒情感信息的載體，語言的感染力是課堂教學(xué)的重要技巧。當(dāng)我們需要吸引學(xué)生的注意力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣時(shí)，我們需要變換語調(diào)語速使用“飽含溫情的”或“慷慨激昂的”等富有情緒感染力的語言；當(dāng)我們聚焦于結(jié)合板書演示解題的思路與推理細(xì)節(jié)時(shí)，需要使用“清晰的”理性的語言?？桃饩S持和鍛煉教學(xué)語言能力也是數(shù)學(xué)教師的基本功之一。

3.2數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度的相關(guān)研究及其對(duì)教學(xué)的啟發(fā)

態(tài)度是主體對(duì)特定對(duì)象所持有的穩(wěn)定的心理傾向。這種心理傾向蘊(yùn)含著個(gè)體的主觀評(píng)價(jià)以及由此產(chǎn)生的行為傾向性。那么，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度即是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容或數(shù)學(xué)教師等所持有的穩(wěn)定的心理傾向，它具有主觀性和行為導(dǎo)向型。一些研究結(jié)果表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度積極與否，與他們的學(xué)習(xí)效果或成績(jī)高低是正相關(guān)的，因此，我們要注意引導(dǎo)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，比如，向?qū)W生傳達(dá)“后天的努力”比“先天的智力”更重要的信息，因?yàn)檎J(rèn)知心理學(xué)的相關(guān)研究表明智能是可變的，“人定勝天”正是人類主觀能動(dòng)性的精神價(jià)值的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生注重練習(xí)，數(shù)學(xué)的學(xué)科特殊性決定了后天不懈努力的重要性；再比如，通過數(shù)學(xué)課堂向?qū)W生傳遞“失敗并不可怕”的氛圍，鼓勵(lì)他們從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，“試錯(cuò)-頓悟”也是人類發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的重要途徑。

綜上所述，教育的本質(zhì)是關(guān)于人的主體的教育，以符號(hào)性數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)教育也不例外，只有我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法符合了人類認(rèn)知發(fā)展的科學(xué)規(guī)律以及教育教學(xué)的一般理論，我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作才真正是立足于“立德樹人”的素質(zhì)教育的踐行。

基金項(xiàng)目：該文系2019年北京理工大學(xué)珠海學(xué)院“金課”培育項(xiàng)目：高等數(shù)學(xué)（19012016）階段性成果

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