漫談初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想

亢振國(guó)

摘要：說(shuō)起數(shù)學(xué)，我們避免不和抽象性和枯燥結(jié)合在一起，而數(shù)與形的結(jié)合在數(shù)學(xué)中可以避免數(shù)學(xué)的抽象和枯燥?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學(xué)領(lǐng)域兩大研究主題，“數(shù)”就是數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確、可操作、易于掌握，“形”則是空間形式，生動(dòng)、直觀(guān)、易于理解.數(shù)形結(jié)合可以把二者進(jìn)行轉(zhuǎn)化統(tǒng)一，從而結(jié)合二者的優(yōu)勢(shì)，達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的效果.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);數(shù)與形;應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行教學(xué)，不僅能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵，還能提高課堂效率、優(yōu)化教學(xué)方法.下面本文將從數(shù)變形、形變數(shù)兩方面給出若干教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例，從中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

一、數(shù)變形，直觀(guān)發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，有些數(shù)量關(guān)系十分抽象，學(xué)生難以理解，而圖形的優(yōu)點(diǎn)就是直觀(guān)、形象.考慮到數(shù)與形本來(lái)就存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以把“數(shù)”轉(zhuǎn)換成“形”，利用圖形解決有關(guān)數(shù)量的問(wèn)題.數(shù)變形的意義在于：（1）將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何直觀(guān)，可以避開(kāi)復(fù)雜的計(jì)算或推理;（2）通過(guò)直觀(guān)的幾何圖形幫助學(xué)生理解和闡述抽象、難懂的代數(shù)關(guān)系，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的過(guò)程;（3）優(yōu)化教師的教學(xué)過(guò)程，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)習(xí)效率.下面以一道例題來(lái)說(shuō)明如何在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)變形.例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.分析：對(duì)于剛學(xué)習(xí)完絕對(duì)值知識(shí)的學(xué)生而言，解這道題是存在一定難度的.這時(shí)便需要教師一步步引導(dǎo)學(xué)生將其與已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)建立聯(lián)系：將-1、2、3作為三個(gè)定點(diǎn)A、B、C，那么x便可以看作一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，絕對(duì)值的運(yùn)算可以看作求兩點(diǎn)間距離，此時(shí)我們只需要借助數(shù)軸找到定點(diǎn)A、B、C和動(dòng)點(diǎn)D，便可以找到解題思路.在此過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、分析，借助數(shù)軸畫(huà)圖，數(shù)變形貫穿教學(xué)過(guò)程的始終，進(jìn)而解決絕對(duì)值函數(shù)的最值這一難點(diǎn)，并借助這個(gè)例題點(diǎn)明“數(shù)變形”的價(jià)值.

二、形變數(shù)，挖掘圖形中的隱含信息

眾所周知，圖形的優(yōu)點(diǎn)就是形象、直觀(guān)，可以將抽象的東西直觀(guān)展示出來(lái)，但是有的時(shí)候也會(huì)有圖形無(wú)法精確表示的東西，如平面直角坐標(biāo)系中不在格點(diǎn)上的點(diǎn)，我們需要借助有序數(shù)對(duì)才可以準(zhǔn)確地描述它的位置，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)可能需要借助代數(shù)計(jì)算才可以得到，在這些情況下我們都不得不借助“數(shù)”來(lái)分析“形”.利用數(shù)量來(lái)解決圖形的問(wèn)題，要充分利用幾何圖形的性質(zhì)和意義挖掘出圖形中的隱含條件，把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量問(wèn)題，并通過(guò)分析計(jì)算、邏輯推理解決圖形問(wèn)題.形變數(shù)的意義在于：（1）利用“數(shù)”的精確性和嚴(yán)密性刻畫(huà)出模糊的圖形信息;（2）利用已知的幾何信息并結(jié)合代數(shù)方法找到數(shù)量之間的關(guān)系，彌補(bǔ)空間想象上的不足.下面以勾股定理的應(yīng)用為例來(lái)探討一下形變數(shù)在教學(xué)中的體現(xiàn).例2《九章算術(shù)》中記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何.”（如圖3）你能給出解答嗎？分析：由于勾股定理是典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，所以許多問(wèn)題都可以通過(guò)直角三角形來(lái)分析.這道題是非常典型的勾股定理的應(yīng)用，需要先從題目給出的圖形中分析出直角三角形，再結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算，從而解決題目中的圖形問(wèn)題.

教學(xué)片段：師：同學(xué)們，通過(guò)閱讀例2，你們獲得了哪些數(shù)學(xué)信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的長(zhǎng)度是5尺，葭出水一尺，所以BC的長(zhǎng)度是1尺.師：（追問(wèn)）很好，這是題目直接告訴我們的信息，還有沒(méi)有隱藏著的信息呢？認(rèn)真閱讀題目，你能發(fā)現(xiàn)葭有什么變化嗎？生1：我發(fā)現(xiàn)葭有兩種狀態(tài)，一種是在池中央出水一尺，另一種是葭赴岸與岸齊.師：（再問(wèn)）這兩種狀態(tài)下，有什么量是不發(fā)生改變的？生1：葭長(zhǎng)不變，也就是AB=AB′.師：對(duì)，這個(gè)隱藏信息是我們解題的一個(gè)突破口.還有沒(méi)有同學(xué)能發(fā)現(xiàn)其他的隱藏條件呢？生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.師：是的，葭與水平面是垂直的，結(jié)合這個(gè)隱藏條件，你們打算怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？生3：運(yùn)用勾股定理解決.師：（追問(wèn)）對(duì)哪個(gè)直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些條件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.師：（再問(wèn)）勾股定理是關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系的，可是在直角三角形ACB′中我們只知道其中一邊，怎么辦呢？生3：可以設(shè)AC長(zhǎng)為x尺，則AB長(zhǎng)為x+1尺，即AB′為x+1尺.師：你說(shuō)得非常好！AC和AB′是有聯(lián)系的，設(shè)出一個(gè)未知數(shù)，就可以把兩個(gè)量都表示出來(lái)，這樣直角三角形的三邊就都表示出來(lái)了，也就可以用勾股定理了.下面大家動(dòng)手把完整的解題過(guò)程寫(xiě)一下.師：通過(guò)這道習(xí)題，相信大家對(duì)勾股定理的應(yīng)用已經(jīng)有了初步了解，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們通常需要先從題目中挖掘出直角三角形模型，然后分析出數(shù)量關(guān)系，再運(yùn)用勾股定理解答，把形變數(shù).由以上兩例可見(jiàn)，

結(jié)束語(yǔ)

總之，數(shù)形結(jié)合思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，在教學(xué)過(guò)程中，教師如能有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，將對(duì)學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)有事半功倍的效果.在一些涉及數(shù)形結(jié)合內(nèi)容的教學(xué)中，教師可從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)對(duì)象的代數(shù)意義和幾何意義，并同時(shí)從“數(shù)”與“形”的角度尋求解決方案，深刻領(lǐng)會(huì)這些方案之間的本質(zhì)聯(lián)系.

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