方程思想在初中幾何中的運(yùn)用

■江蘇省南通市通州區(qū)西亭初級中學(xué)吳春紅

一、初中幾何知識概況

在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中，方程思想是始終涉及其中的，初中階段幾何教學(xué)中的知識點(diǎn)主要涉及針對三角形、圓形以及四邊形的求解。具體來說，初中階段能應(yīng)用的方程內(nèi)容主要包括一元一次以及二元一次方程或方程組，同時(shí)也可能用到分式方程，一元二次方程也是解決初中問題時(shí)候會用到的方程內(nèi)容。其中一元一次方程就是只包含一個(gè)未知數(shù)，其最高次數(shù)是1，同時(shí)等號兩邊均是整式的等式形式，這種方程的根的數(shù)量只有一個(gè)；如果一個(gè)一元方程，其中所包含的未知數(shù)數(shù)量只有一個(gè)，同時(shí)未知數(shù)項(xiàng)其最高次數(shù)為2，而方程又為整式方程，那么可以稱其為一元二次方程；包含兩個(gè)未知數(shù)，同時(shí)這些未知數(shù)它們的項(xiàng)的次數(shù)均為1，這樣的一種整式方程就稱為二元一次方程；分式方程屬于方程的一種，這是一類有理方程，其分母中包含未知數(shù)或是未知數(shù)整式。

二、如何將方程思想應(yīng)用在初中幾何教學(xué)活動中

方程思想為初中階段所學(xué)的代數(shù)知識中包含的核心思想，在整體初中代數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容中都有它的身影，可見它同初中代數(shù)之間的密切聯(lián)系，然而，這并不意味著這種思想同初中幾何之間就沒有什么聯(lián)系。初中教學(xué)所使用教材也指出這樣一個(gè)事實(shí)，即方程是一種可以有效地將現(xiàn)實(shí)世界里存在的各種數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)模型，因此方程思想不光在代數(shù)問題的解決上有很廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也可以用來解決很多幾何領(lǐng)域的問題，具體來說就是借助圖形所具有的一些形式建立方程，再通過方程解析找到答案。實(shí)際上，對于求解初中幾何問題甚至是一切幾何問題來說，方程思想都是一種重要的手段。

三、用方程思想解決初中幾何問題常見的幾個(gè)切入點(diǎn)

用方程思想解決初中幾何問題常用的模式主要有六種，第一種是借由多邊形內(nèi)角和公式建立方程，很多同多邊形相關(guān)的問題都是給出內(nèi)角和度數(shù)，要求求邊數(shù)，這個(gè)時(shí)候在這一公式基礎(chǔ)上建立方程，再解方程就比較容易得到多邊形邊數(shù)；第二種是借由相似三角形具有的性質(zhì)來建立方程，由于這類三角形對應(yīng)邊彼此成比例,因此在解決相關(guān)的問題時(shí)經(jīng)常要利用該性質(zhì)在方程和幾何之間形成聯(lián)系，以解決有關(guān)問題；第三種是借由勾股定理建立方程，該定理不光在數(shù)學(xué)領(lǐng)域非常關(guān)鍵，而且也同現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活有較為密切的聯(lián)系；第四種是借由面積關(guān)系來建立方程，有些幾何問題如果通過面積關(guān)系基礎(chǔ)上建立的方程分析就會容易找到答案；第五種是借由三角函數(shù)來建立方程，該函數(shù)同數(shù)學(xué)學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活之間也具有重要的聯(lián)系，特別適合解決測量方面的問題；第六種是借由圓的性質(zhì)來建立方程，圓相關(guān)性質(zhì)結(jié)合方程思想可以用來解決多種多樣的問題。

四、利用方程思想解決初中幾何問題的方案示范

（一）平面幾何中的折疊問題

初中階段的幾何學(xué)習(xí)涉及平面幾何的內(nèi)容，其中的折疊問題比較具有代表性，除了線段及三角形幾何形狀的折疊之外，四邊形折疊也是其中一種，這類折疊問題很多都可以通過方程思想來求解。例如人教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊中包含四邊形的內(nèi)容，這里就通過利用幾何思想解決四邊形折疊問題來一窺究竟。例：將矩形紙板ABCD根據(jù)圖1中給出的方式進(jìn)行折疊，讓頂點(diǎn)B與點(diǎn)D互相重合，以EF作為折痕，假如AB長度為6cm，BC長度為=10cm，那么DF長度是多少，重疊部分△DEF其面積又是多少？

圖1

解題思路：設(shè)DF長度是xcm，則CF長度為（8-x）cm，通過勾股定理解得x=7.5cm，在此基礎(chǔ)上就能繼續(xù)求解，最終可以獲得△DEF這個(gè)重疊部分的面積。通過本題的解題方案可以發(fā)現(xiàn)，試圖對幾何問題進(jìn)行解決的時(shí)候，如果能基于圖形本身的性質(zhì)合理建立方程或方程組，并利用解方程的方法探索答案，解題就變得更容易了，所以利用方程思想處理這些問題應(yīng)，成為初中生需要掌握的一種能力和技巧。

（二）利用方程思想解決平面幾何中函數(shù)及幾何圖形類問題

利用方程思想還可以解決平面幾何中函數(shù)及幾何圖形方面問題，此類問題中比較常見的關(guān)系主要包括函數(shù)同三角形之間的關(guān)系、函數(shù)同四邊形之間的關(guān)系以及函數(shù)同圓之間的關(guān)系，在解決涉及這些內(nèi)容的問題過程中都可以將方程思想運(yùn)用進(jìn)來。例如，在平面直角坐標(biāo)系里面有一個(gè)直角梯形OABC，AB平行于OC，OA長度是5，AB長度是10，OC長度是12，y=ax2+bx這一拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)B和C。（1）請將拋物線解析式算出來；（2）有一動點(diǎn)，假設(shè)是P，P從點(diǎn)A開始出發(fā)，并沿著AC朝點(diǎn)C方向前進(jìn)，速度為兩個(gè)單位長度/s，與此同時(shí)，另有一個(gè)動點(diǎn)，假設(shè)是Q，Q從點(diǎn)C開始出發(fā)，并沿著CO朝點(diǎn)O前進(jìn)，速度為一個(gè)單位長度/s，一旦P前進(jìn)到點(diǎn)C，則兩點(diǎn)在同一時(shí)間停止運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間設(shè)為T秒，那么T的值是多少的時(shí)候△PQC構(gòu)成直角三角形？

針對第一個(gè)問題，首先，根據(jù)0A、AB以及OC的長度值可以知道B點(diǎn)坐標(biāo)為(10,5),C點(diǎn)坐標(biāo)為（12,0），在此基礎(chǔ)上將a、b的值計(jì)算出來，最終得到拋物線的解析式。針對第二個(gè)問題，首先還是使用勾股定理計(jì)算出AC長度為13，在此基礎(chǔ)上首先根據(jù)已知條件計(jì)算出點(diǎn)P前進(jìn)到點(diǎn)C花費(fèi)的時(shí)間為6.5秒，那么CP的長度值為AC長度減去AP長度的差值，CQ=T,將角PQC為直角以及角CPQ為直角兩種可能情況都考慮進(jìn)去，就可以計(jì)算出當(dāng)T的值是多少的時(shí)候，該三角形構(gòu)成直角三角形。在解決該問題的時(shí)候，初中幾何中涉及的相似問題以及函數(shù)內(nèi)容和方程思想形成了有機(jī)的結(jié)合，這樣學(xué)生不光可以深化對相關(guān)函數(shù)知識的理解，還可以提高邏輯思考能力。

五、結(jié)語

在初中幾何學(xué)習(xí)中，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)在充分認(rèn)識到方程思想對學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的積極意義的基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生對其進(jìn)行應(yīng)用，這樣不光能讓學(xué)生更有能力解決一些幾何問題，也能讓學(xué)生學(xué)會一種新的解決問題的思考途徑。