怎樣正確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)

蔣敏

在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，同學(xué)們應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1. 對比分析不等式與等式的性質(zhì)

相同點(diǎn)：

（1） 等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式. 同樣地，不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.

（2） 等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，所得結(jié)果仍是等式.同樣地，不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不同點(diǎn)：

等式兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式. 然而，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

【解析】A選項(xiàng)是在原不等式的兩邊同時減去3，不等號的方向應(yīng)不變. B和C選項(xiàng)是在原不等式的兩邊同乘（或除以）一個負(fù)數(shù)，不等號的方向應(yīng)改變. D選項(xiàng)是在不等式兩邊分別加上1和2，但1<2，所以用不等式的性質(zhì)無法判斷. 故本題答案選C.

【說明】同學(xué)們要特別注意在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時， 要改變不等號的方向.

2. 正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)

（1） 不等式兩邊都乘同一個代數(shù)式時，要關(guān)注這個代數(shù)式的正負(fù)性. 數(shù)的正負(fù)性是顯性的，很直觀；而式的正負(fù)性是隱性的，容易被忽視.

例2 若a>b，則-ac2_____-bc2.

【解析】我們都知道-c2≤0. 當(dāng)-c2<0時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，在原不等式的兩邊同時乘-c2，“>”號變成“<”號；當(dāng)-c2=0時，在原不等式的兩邊同時乘-c2，左邊=右邊=0. 所以-ac2≤-bc2.

【說明】同學(xué)們在用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時，習(xí)慣了“照抄”等號，而在利用不等式的性質(zhì)解決問題時，要避免思維定勢，尤其重視不等號方向的變化.

例3 如果a>b， 請比較與的大小.

【解析】在原不等式兩邊同時乘，即可轉(zhuǎn)化成與比大小的問題. 是一個代數(shù)式，正負(fù)性不確定，所以需要分類討論：當(dāng)a、b同號時，>0，則>；當(dāng)a、b異號時，<0，則<.

【說明】不等式的兩邊同時乘同一個代數(shù)式時，若這個代數(shù)式的正負(fù)性不確定，則需要分類討論.

（2） 在求解未知數(shù)的系數(shù)中含字母的不等式時，要重視系數(shù)的正負(fù)性.

【解析】未知數(shù)的系數(shù)中含字母a，因?yàn)閍-1的正負(fù)性不確定，所以需要對a-1的正負(fù)性進(jìn)行討論：因?yàn)閍≠1，所以可以在不等式兩邊都除以a-1，當(dāng)a-1>0時，不等式的解集為x>；當(dāng)a-1<0時，不等式的解集為x<.

【說明】若未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)性不確定，可先分類討論，再利用不等式的性質(zhì)求解.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）

在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，同學(xué)們應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1. 對比分析不等式與等式的性質(zhì)

相同點(diǎn)：

（1） 等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式. 同樣地，不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.

（2） 等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，所得結(jié)果仍是等式.同樣地，不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不同點(diǎn)：

等式兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式. 然而，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

【解析】A選項(xiàng)是在原不等式的兩邊同時減去3，不等號的方向應(yīng)不變. B和C選項(xiàng)是在原不等式的兩邊同乘（或除以）一個負(fù)數(shù)，不等號的方向應(yīng)改變. D選項(xiàng)是在不等式兩邊分別加上1和2，但1<2，所以用不等式的性質(zhì)無法判斷. 故本題答案選C.

【說明】同學(xué)們要特別注意在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時， 要改變不等號的方向.

2. 正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)

（1） 不等式兩邊都乘同一個代數(shù)式時，要關(guān)注這個代數(shù)式的正負(fù)性. 數(shù)的正負(fù)性是顯性的，很直觀；而式的正負(fù)性是隱性的，容易被忽視.

例2 若a>b，則-ac2_____-bc2.

【解析】我們都知道-c2≤0. 當(dāng)-c2<0時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，在原不等式的兩邊同時乘-c2，“>”號變成“<”號；當(dāng)-c2=0時，在原不等式的兩邊同時乘-c2，左邊=右邊=0. 所以-ac2≤-bc2.

【說明】同學(xué)們在用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時，習(xí)慣了“照抄”等號，而在利用不等式的性質(zhì)解決問題時，要避免思維定勢，尤其重視不等號方向的變化.

例3 如果a>b， 請比較與的大小.

【解析】在原不等式兩邊同時乘，即可轉(zhuǎn)化成與比大小的問題. 是一個代數(shù)式，正負(fù)性不確定，所以需要分類討論：當(dāng)a、b同號時，>0，則>；當(dāng)a、b異號時，<0，則<.

【說明】不等式的兩邊同時乘同一個代數(shù)式時，若這個代數(shù)式的正負(fù)性不確定，則需要分類討論.

（2） 在求解未知數(shù)的系數(shù)中含字母的不等式時，要重視系數(shù)的正負(fù)性.

【解析】未知數(shù)的系數(shù)中含字母a，因?yàn)閍-1的正負(fù)性不確定，所以需要對a-1的正負(fù)性進(jìn)行討論：因?yàn)閍≠1，所以可以在不等式兩邊都除以a-1，當(dāng)a-1>0時，不等式的解集為x>；當(dāng)a-1<0時，不等式的解集為x<.

【說明】若未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)性不確定，可先分類討論，再利用不等式的性質(zhì)求解.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）

在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，同學(xué)們應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1. 對比分析不等式與等式的性質(zhì)

相同點(diǎn)：

（1） 等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式. 同樣地，不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.

（2） 等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，所得結(jié)果仍是等式.同樣地，不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不同點(diǎn)：

等式兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式. 然而，不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

【解析】A選項(xiàng)是在原不等式的兩邊同時減去3，不等號的方向應(yīng)不變. B和C選項(xiàng)是在原不等式的兩邊同乘（或除以）一個負(fù)數(shù)，不等號的方向應(yīng)改變. D選項(xiàng)是在不等式兩邊分別加上1和2，但1<2，所以用不等式的性質(zhì)無法判斷. 故本題答案選C.

【說明】同學(xué)們要特別注意在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時， 要改變不等號的方向.

2. 正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)

（1） 不等式兩邊都乘同一個代數(shù)式時，要關(guān)注這個代數(shù)式的正負(fù)性. 數(shù)的正負(fù)性是顯性的，很直觀；而式的正負(fù)性是隱性的，容易被忽視.

例2 若a>b，則-ac2_____-bc2.

【解析】我們都知道-c2≤0. 當(dāng)-c2<0時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，在原不等式的兩邊同時乘-c2，“>”號變成“<”號；當(dāng)-c2=0時，在原不等式的兩邊同時乘-c2，左邊=右邊=0. 所以-ac2≤-bc2.

【說明】同學(xué)們在用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時，習(xí)慣了“照抄”等號，而在利用不等式的性質(zhì)解決問題時，要避免思維定勢，尤其重視不等號方向的變化.

例3 如果a>b， 請比較與的大小.

【解析】在原不等式兩邊同時乘，即可轉(zhuǎn)化成與比大小的問題. 是一個代數(shù)式，正負(fù)性不確定，所以需要分類討論：當(dāng)a、b同號時，>0，則>；當(dāng)a、b異號時，<0，則<.

【說明】不等式的兩邊同時乘同一個代數(shù)式時，若這個代數(shù)式的正負(fù)性不確定，則需要分類討論.

（2） 在求解未知數(shù)的系數(shù)中含字母的不等式時，要重視系數(shù)的正負(fù)性.

【解析】未知數(shù)的系數(shù)中含字母a，因?yàn)閍-1的正負(fù)性不確定，所以需要對a-1的正負(fù)性進(jìn)行討論：因?yàn)閍≠1，所以可以在不等式兩邊都除以a-1，當(dāng)a-1>0時，不等式的解集為x>；當(dāng)a-1<0時，不等式的解集為x<.

【說明】若未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)性不確定，可先分類討論，再利用不等式的性質(zhì)求解.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）