垂直三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂通用控制策略設(shè)計(jì)

王樂(lè)君，孟慶鑫，賴旭芝，吳 敏

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)自動(dòng)化學(xué)院，湖北武漢 430074;復(fù)雜系統(tǒng)先進(jìn)控制與智能自動(dòng)化湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074)

1 引言

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[1-2]是一類控制輸入維數(shù)小于自由度維數(shù)的非線性系統(tǒng)，該類系統(tǒng)在節(jié)能、降低成本、減輕重量和增強(qiáng)系統(tǒng)靈活度等方面具有一定優(yōu)勢(shì).然而，該類系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性比較復(fù)雜，系統(tǒng)狀態(tài)間存在強(qiáng)耦合和非線性關(guān)系.由于部分驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的缺失，該類系統(tǒng)的控制存在巨大的挑戰(zhàn).因此，對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究具有重要的實(shí)用價(jià)值和理論意義.

垂直欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂[3-4]是一類典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，此類系統(tǒng)的控制目標(biāo)通常是將機(jī)械臂末端點(diǎn)從垂直向下的初始位置開始移動(dòng)，并最終將其穩(wěn)定在垂直向上的目標(biāo)位置[5-6].垂直欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂屬于二階非完整系統(tǒng)[7]，系統(tǒng)連桿間存在角加速度約束，不滿足Brockett條件[8]，很難通過(guò)一個(gè)光滑的控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo).但由于該類系統(tǒng)在垂直向上目標(biāo)位置附近線性近似模型可控，因此學(xué)者們通常利用分區(qū)控制的方法[9-10]將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)空間劃分為搖起區(qū)和平衡區(qū)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo).

然而，分區(qū)控制方法存在以下問(wèn)題:1)無(wú)法從理論上來(lái)精確地劃分搖起區(qū)和平衡區(qū)的范圍.當(dāng)平衡區(qū)范圍劃分得較窄時(shí)，會(huì)導(dǎo)致切換條件很難滿足[11];而當(dāng)平衡區(qū)范圍劃分得較大時(shí)，在切換點(diǎn)處線性近似模型存在較大誤差，因此切換時(shí)會(huì)出現(xiàn)力矩突變[12-13]，從而使平衡控制器很難將系統(tǒng)穩(wěn)定到目標(biāo)位置;2)搖起運(yùn)動(dòng)控制過(guò)程中，由于系統(tǒng)狀態(tài)之間復(fù)雜的耦合關(guān)系，常用的搖起控制易出現(xiàn)奇異現(xiàn)象.盡管部分學(xué)者通過(guò)調(diào)整控制器參數(shù)可以規(guī)避奇異問(wèn)題[14]，但這會(huì)增加控制器設(shè)計(jì)難度.另外，現(xiàn)有的垂直欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的各種控制方法只能實(shí)現(xiàn)特定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的控制目標(biāo)[15-16]，缺少對(duì)這類系統(tǒng)通用控制方法的研究.

為解決上述問(wèn)題，本文針對(duì)含單一欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的垂直三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂，提出一種基于振蕩衰減軌跡的通用控制策略，該控制策略無(wú)需分區(qū)即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo).首先，根據(jù)驅(qū)動(dòng)連桿的初始和目標(biāo)狀態(tài)，為驅(qū)動(dòng)連桿規(guī)劃含可調(diào)參數(shù)的振蕩衰減軌跡，該軌跡能確保驅(qū)動(dòng)連桿在一定時(shí)間內(nèi)由初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)狀態(tài).同時(shí)，基于連桿狀態(tài)間存在的耦合關(guān)系，引入粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化驅(qū)動(dòng)連桿軌跡的參數(shù)，確保欠驅(qū)動(dòng)連桿和驅(qū)動(dòng)連桿在相同時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài).設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器使驅(qū)動(dòng)連桿跟蹤優(yōu)化后的軌跡，則機(jī)械臂末端點(diǎn)由垂直向下初始位置運(yùn)動(dòng)至垂直向上目標(biāo)位置.進(jìn)而設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器將末端點(diǎn)穩(wěn)定在目標(biāo)位置.最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明所提方法的有效性.

本文的創(chuàng)新點(diǎn)如下:

1) 所提基于振蕩衰減軌跡的控制策略無(wú)需對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)空間進(jìn)行劃分即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo);

2) 所提軌跡規(guī)劃與跟蹤控制方法可以有效規(guī)避運(yùn)動(dòng)過(guò)程中控制器的奇異現(xiàn)象，簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì);

3) 所提控制策略是一種通用控制策略，對(duì)含單一欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的垂直三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂中的三類系統(tǒng)均有效.

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為垂直三連桿全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂示意圖.其中:mr，Lr，Ir分別代表機(jī)械臂第r連桿的質(zhì)量、長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;lr為第r連桿質(zhì)心到前一關(guān)節(jié)的長(zhǎng)度;ur為系統(tǒng)控制力矩;r=1，2，3.

圖1 垂直三連桿全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂模型Fig.1 The model of vertical three-link full-actuated manipulators

由歐拉-拉格朗日方程可得三連桿垂直全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型為

當(dāng)?shù)趈(j ∈{1，2，3})關(guān)節(jié)缺少驅(qū)動(dòng)裝置時(shí)，上述全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)變成欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，uj=0.記機(jī)械臂第i關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，i ∈{c1，c2}?{1，2，3}{j}.由式(1)可得驅(qū)動(dòng)連桿和欠驅(qū)動(dòng)連桿狀態(tài)量之間的耦合關(guān)系為

其中Mj，Hj和Gj分別為和G(q)的第j行.

根據(jù)欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位置的不同，可將含單一欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的垂直三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂分為3類:1)PAA系統(tǒng)(j=1);2)APA系統(tǒng)(j=2);3)AAP系統(tǒng)(j=3).其中:A代表驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，P代表欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié).

記x1=x=式(1)可寫為如下狀態(tài)方程的形式:

其中:

3 軌跡規(guī)劃

本節(jié)針對(duì)驅(qū)動(dòng)連桿設(shè)計(jì)振蕩衰減軌跡，該軌跡能夠保證驅(qū)動(dòng)連桿在一定時(shí)間運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)狀態(tài).然后，基于連桿狀態(tài)間的耦合關(guān)系，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化驅(qū)動(dòng)連桿軌跡參數(shù)，使欠驅(qū)動(dòng)連桿在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài).

3.1 驅(qū)動(dòng)連桿振蕩衰減軌跡設(shè)計(jì)

其中:qis和qif分別為驅(qū)動(dòng)連桿的初始角度和目標(biāo)角度;ki1和ki2為可調(diào)節(jié)的軌跡參數(shù)且0 ＜ki1＜1，ki2＞0.

對(duì)式(6)求導(dǎo)可得

圖2 軌跡的示意圖Fig.2 Schematic diagram of the trajectory

結(jié)合式(6)，可得

則在t ≥ts2時(shí)，第c2根驅(qū)動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài).為保證在相同時(shí)間內(nèi)兩根驅(qū)動(dòng)連桿均運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài)，將最終調(diào)節(jié)時(shí)間ts取為

此時(shí)，驅(qū)動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài)，即

式(2)為連桿狀態(tài)間的耦合關(guān)系.根據(jù)這一耦合關(guān)系，本文發(fā)現(xiàn)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)連桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)，欠驅(qū)動(dòng)連桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也隨之改變.由式(7)-(8)可知，驅(qū)動(dòng)連桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨軌跡參數(shù)ki1和ki2而變化.因此，通過(guò)改變ki1和ki2可以間接調(diào)節(jié)欠驅(qū)動(dòng)連桿在ts時(shí)刻的狀態(tài)量.接下來(lái)需選擇合適ki1和ki2使欠驅(qū)動(dòng)連桿在ts時(shí)刻也運(yùn)動(dòng)至其目標(biāo)狀態(tài)，即

下一小節(jié)中，引入粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化軌跡參數(shù)，從而使欠驅(qū)動(dòng)連桿在相同調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài)，即保證式(17)成立.

3.2 軌跡參數(shù)優(yōu)化

為保證式(17)成立，本節(jié)通過(guò)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化軌跡參數(shù)ki1和ki2.結(jié)合欠驅(qū)動(dòng)連桿目標(biāo)狀態(tài)和ts時(shí)刻欠驅(qū)動(dòng)連桿狀態(tài)量，定義評(píng)價(jià)函數(shù)為

粒子群算法流程如下:

算法1軌跡參數(shù)優(yōu)化.

參數(shù)初始化:gen=0，隨機(jī)初始化粒子群;

循環(huán)程序:

通過(guò)粒子群算法得到一組優(yōu)化參數(shù)ki1和ki2，將其代入到式(6)中，即可得到優(yōu)化后的驅(qū)動(dòng)連桿軌跡.當(dāng)t=ts時(shí)，驅(qū)動(dòng)連桿沿優(yōu)化后的軌跡運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài)，同時(shí)欠驅(qū)動(dòng)連桿也運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài)，即

此時(shí)，根據(jù)驅(qū)動(dòng)連桿和欠驅(qū)動(dòng)連桿狀態(tài)量的變化，系統(tǒng)末端點(diǎn)由垂直向下初始位置運(yùn)動(dòng)至垂直向上的目標(biāo)位置.

4 控制器設(shè)計(jì)

基于優(yōu)化后的振蕩衰減軌跡，利用滑模方法設(shè)計(jì)跟蹤控制器使系統(tǒng)末端點(diǎn)從垂直向下初始位置移動(dòng)到垂直向上目標(biāo)位置;同時(shí)，利用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器克服重力作用將末端點(diǎn)穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置.

4.1 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

利用滑模方法設(shè)計(jì)跟蹤控制器.設(shè)計(jì)滑模面Si:

然而，機(jī)械臂末端點(diǎn)受重力作用很難穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置.因此，本文進(jìn)一步設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.

4.2 鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)利用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器克服重力作用，將末端點(diǎn)穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置.

在目標(biāo)位置處對(duì)式(3)進(jìn)行近似線性化，得到

根據(jù)A和C的表達(dá)式，可以計(jì)算出

說(shuō)明線性近似模型(25)是可控的.

設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器uis為

其中K為增益矩陣.

將式(27)代入式(25)中，可得

通過(guò)極點(diǎn)配置方法，并借助MATLAB中PLACE命令求得K，使(A-CK)的特征根位于坐標(biāo)軸虛軸左半平面，從而保證系統(tǒng)末端點(diǎn)穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置.

綜上所述，本文將控制器切換條件設(shè)計(jì)為t ≥ts.基于此，將控制過(guò)程分為軌跡跟蹤控制和鎮(zhèn)定控制兩個(gè)階段.當(dāng)0 ≤t ＜ts時(shí)，ui=uit，通過(guò)軌跡跟蹤控制，系統(tǒng)末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)位置;當(dāng)t ≥ts時(shí)，ui=uis，末端點(diǎn)在鎮(zhèn)定控制器作用下穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置.

5 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

本節(jié)通過(guò)3組仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制策略的有效性.選擇如下3連桿垂直欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂模型參數(shù)進(jìn)行仿真:

將控制器(23)(27)及粒子群算法中參數(shù)取為

5.1 PAA系統(tǒng)仿真

將驅(qū)動(dòng)連桿初始角度和目標(biāo)角度分別取為

控制器(23)(27)及粒子群算法中各參數(shù)如式(30).根據(jù)式(29)-(31)，通過(guò)粒子群算法可求得

因此ts=3.2379 s.

將期望的極點(diǎn)選擇為-2，-3，-4，-4，-5，-6.利用MATLAB中PLACE命令求得K為

仿真結(jié)果如圖3.當(dāng)t ≤ts=3.2379 s時(shí)，在跟蹤控制器(23)作用下收斂到[2π 2π 2π 0 0 0]，系統(tǒng)末端點(diǎn)從垂直向下初始位置運(yùn)動(dòng)到垂直向上目標(biāo)位置.同時(shí)力矩收斂為零.當(dāng)t＞3.2379 s時(shí)，控制器由跟蹤控制器(23)切換至鎮(zhèn)定控制器(27)，末端點(diǎn)在控制器(27)作用下穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置，從而實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo).控制力矩保持在[-58.8035，76.3107]N·m范圍內(nèi)，整個(gè)控制過(guò)程中未出現(xiàn)力矩突變.與文獻(xiàn)[16]中方法和控制效果進(jìn)行比較，本文方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，而且控制時(shí)間顯著縮短，整個(gè)控制過(guò)程更加平滑.

圖3 PAA系統(tǒng)仿真結(jié)果Fig.3 The simulation results for the PAA

5.2 APA系統(tǒng)仿真

將驅(qū)動(dòng)連桿初始角度和目標(biāo)角度取為

控制器(23)(27)及粒子群算法中各參數(shù)如式(30).根據(jù)式(29)-(30)和式(34).通過(guò)粒子群算法可求得

因此ts=2.4355 s.

選擇相同極點(diǎn)，求得增益矩陣K為

圖4為仿真結(jié)果:當(dāng)t≤ts=2.4355 s時(shí)，通過(guò)跟蹤控制，系統(tǒng)末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到垂直向上目標(biāo)位置.當(dāng)t＞2.4355 s時(shí)，在控制器(27)作用下實(shí)現(xiàn)末端點(diǎn)在目標(biāo)位置的穩(wěn)定控制.本文方法在t=ts時(shí)各連桿狀態(tài)量均收斂至目標(biāo)狀態(tài)，力矩收斂到零.因此，在控制器切換時(shí)沒(méi)有產(chǎn)生力矩突變.

圖4 APA系統(tǒng)仿真結(jié)Fig.4 The simulation results for the APA

5.3 AAP系統(tǒng)仿真

將驅(qū)動(dòng)連桿初始角度和目標(biāo)角度取為

控制器(23)(27)及粒子群優(yōu)化算法中各參數(shù)如式(30).根據(jù)式(29)-(30)和式(37)，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法可求得

因此ts=10.3185 s.

用相同方法求得增益矩陣K為

仿真結(jié)果如圖5所示.當(dāng)t ≤ts=10.3185 s時(shí)，在跟蹤控制器(23)作用下，

系統(tǒng)末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到垂直向上目標(biāo)位置.當(dāng)t＞10.3185 s時(shí)，在鎮(zhèn)定控制器(27)作用下，末端點(diǎn)穩(wěn)定在垂直向上目標(biāo)位置，實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo).同樣地，整個(gè)控制過(guò)程快速而且平滑.

圖5 AAP系統(tǒng)仿真結(jié)果Fig.5 The simulation results for the AAP

6 結(jié)論

本文針對(duì)含單一欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的垂直三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂提出一種基于振蕩衰減軌跡規(guī)劃的通用控制策略，通過(guò)不分區(qū)的方式快速且平滑地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制目標(biāo).根據(jù)驅(qū)動(dòng)連桿的初始和目標(biāo)狀態(tài)，為驅(qū)動(dòng)連桿規(guī)劃一條含可調(diào)參數(shù)的振蕩衰減軌跡.所設(shè)計(jì)的軌跡可在一定調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)將驅(qū)動(dòng)連桿由初始狀態(tài)直接移動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài).基于連桿狀態(tài)間的耦合關(guān)系，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化軌跡參數(shù)使欠驅(qū)動(dòng)連桿在相同調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)也運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)狀態(tài).接著通過(guò)設(shè)計(jì)跟蹤控制器和鎮(zhèn)定控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo).最后，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制策略的有效性.值得一提的是，本文方法能夠有效規(guī)避運(yùn)動(dòng)過(guò)程中控制器的奇異問(wèn)題，極大地簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì).另外，本文方法還可以推廣至含單一欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的n連桿(n ≥3)垂直欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂控制策略設(shè)計(jì)中.

附錄

式中α1，α2，···，α6，β1，···，β3的表達(dá)式見文獻(xiàn)[14].

C的具體表達(dá)式為

隨著欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位置的不同，C中元素的取值也不相同.

當(dāng)系統(tǒng)為PAA系統(tǒng)時(shí)，

當(dāng)系統(tǒng)為APA系統(tǒng)時(shí)，

當(dāng)系統(tǒng)為AAP系統(tǒng)時(shí)，