一種基于區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)距離的多屬性決策方法

劉悅,姜春茂,郭豆豆

(哈爾濱師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150025)

0 引言

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)中不可或缺的一部分,其本質(zhì)是在多個(gè)指標(biāo)下,根據(jù)一定的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則對(duì)候選方案擇優(yōu)并排序。多屬性決策方法被廣泛應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域,如社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理、工程和軍事行業(yè)等。正是由于待處理事物的模糊性、不確定性和復(fù)雜性與人類思維的模糊化和不確定化的統(tǒng)一,多屬性決策問題才受到諸多專家學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]。由于決策者具有偏好特性,在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)象的評(píng)價(jià)值之間往往存在著大小、強(qiáng)弱等關(guān)系,用優(yōu)勢(shì)關(guān)系來處理區(qū)間值信息系統(tǒng),更能準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)的特性[5]。目前已有學(xué)者用優(yōu)勢(shì)關(guān)系對(duì)區(qū)間信息系統(tǒng)的排序問題進(jìn)行了研究。林耀進(jìn)等人[6]利用變精度優(yōu)勢(shì)度對(duì)區(qū)間值系統(tǒng)的對(duì)象排序。Song等人[7]提出了一種區(qū)間數(shù)兩級(jí)排序方法。孫夢(mèng)等人[8]對(duì)三種優(yōu)勢(shì)關(guān)系下的區(qū)間數(shù)排序,并對(duì)其賦權(quán)處理,使得排序結(jié)果更合理。樊相宇等人[9]將決策方案在屬性下建立優(yōu)勢(shì)關(guān)系,避免了歸一化方法對(duì)決策結(jié)果的影響。楊青山等人[10]對(duì)區(qū)間值系統(tǒng)下四種優(yōu)勢(shì)關(guān)系擴(kuò)充,提出了一種新的α優(yōu)勢(shì)關(guān)系。翁世洲等[11]首先提出了概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集模型,避免了屬性權(quán)重的確定。

本文在上述研究基礎(chǔ)上,針對(duì)區(qū)間值信息系統(tǒng)中優(yōu)勢(shì)類的定義以及對(duì)象優(yōu)勢(shì)程度的度量展開研究,給出了一種新的區(qū)間數(shù)優(yōu)勢(shì)關(guān)系,并提出了用區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)概率來度量對(duì)象間的相對(duì)程度,以距離矩陣[12]作為媒介,通過相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度得到?jīng)Q策對(duì)象的全序化結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 區(qū)間數(shù)和聯(lián)系數(shù)

定義1[13-14]假設(shè)R為實(shí)數(shù)集,對(duì)于?al,au∈R,若滿足a=[al,au]={x|al≤x≤au,al,au∈R},則稱a為區(qū)間數(shù)。特別地,若al=au,則a成為一個(gè)點(diǎn)實(shí)數(shù)。

定義2[15-16]假設(shè)a,b∈[0,1],a+b=1,i∈[-1,1],則稱μ=a+bi為二元同異型聯(lián)系數(shù),其中,a、b分別稱為聯(lián)系數(shù)的同一度和差異度。當(dāng)a與b確定后,i是一個(gè)不確定的數(shù),因此二元同異型聯(lián)系數(shù)是確定性和不確定性的結(jié)合。

1.2 區(qū)間數(shù)優(yōu)勢(shì)關(guān)系

在實(shí)際決策問題分析中,由于區(qū)間值信息系統(tǒng)中的對(duì)象評(píng)價(jià)值是以區(qū)間數(shù)形式給出,所以存在一定的偏好關(guān)系[20-21],導(dǎo)致對(duì)象間也存在優(yōu)勢(shì)或劣勢(shì)關(guān)系。下面給出幾種區(qū)間數(shù)偏好關(guān)系的定義。

定義5[22]令S=(U,A,V,f)為區(qū)間值信息系統(tǒng),屬性子集B?A,則對(duì)象之間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系定義如下:

al(xj),au(xi)≥au(xj)}。

上述定義中的優(yōu)勢(shì)關(guān)系只是依據(jù)比較上下界的大小來判斷對(duì)象間的優(yōu)劣,并沒有考慮區(qū)間取值范圍以及數(shù)值相同部分對(duì)比較結(jié)果的影響,導(dǎo)致比較結(jié)果有誤差。為了克服這一問題,魏利華等[23]提出一種新的優(yōu)勢(shì)關(guān)系,體現(xiàn)區(qū)間數(shù)之間某種優(yōu)勢(shì)的程度,使比較結(jié)果更合理。文獻(xiàn)[24]進(jìn)一步改進(jìn)區(qū)間數(shù)優(yōu)勢(shì)比較方法,認(rèn)為對(duì)象xi優(yōu)于xj的程度與對(duì)象xj優(yōu)于xi的程度之和為1,如定義6所示。

該方法主要把區(qū)間數(shù)分為兩個(gè)部分:相交部分和非相交部分。認(rèn)為在相交部分時(shí),xi優(yōu)于xj的可能度是0.5,在非相交部分xi完全優(yōu)于或完全劣于xj。

上述定義5和定義6中提出的方法計(jì)算了在區(qū)間值信息系統(tǒng)下任意兩對(duì)象xi與xj的相對(duì)優(yōu)勢(shì)程度,然而并沒有涉及相交部分和非相交部分在兩個(gè)區(qū)間數(shù)比較時(shí)所起的作用,包括:1) 相交區(qū)域雖然是相同的公共部分,但是在各自區(qū)間范圍內(nèi)所占比例是不同的;2) 非相交區(qū)域作為完全不同的區(qū)域,在兩個(gè)區(qū)間數(shù)比較時(shí)更應(yīng)該重點(diǎn)突出。在對(duì)同一類事物比較時(shí),往往采取把相同部分去掉的策略,關(guān)注在不同部分尋找差異。所以在區(qū)間數(shù)比較時(shí),既要考慮數(shù)值上相同部分,也要度量區(qū)間數(shù)自身的差異程度。

如在比較區(qū)間數(shù)a=[20,30],b=[25,40]時(shí),區(qū)間數(shù)a表示的范圍是20～30這11個(gè)單位(以整數(shù)為單位),b表示的范圍是25～40這16個(gè)單位,并且在區(qū)間25～30內(nèi),a,b兩個(gè)區(qū)間數(shù)是相同的,相同數(shù)值的取值范圍為6個(gè)單位。決策問題最終要反映對(duì)象評(píng)價(jià)值的比較,所以在求解區(qū)間數(shù)多屬性決策問題時(shí)也需要借助區(qū)間數(shù)的比較?？紤]區(qū)間數(shù)也是描述不確定性事物的方法,在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,將集對(duì)分析中的聯(lián)系數(shù)理論應(yīng)用到區(qū)間數(shù)比較中。

2 區(qū)間數(shù)多屬性決策排序方法

本節(jié)提出了一種區(qū)間數(shù)多屬性決策方法,通過比較區(qū)間數(shù)來定義對(duì)象的優(yōu)勢(shì)類,給出一種用模糊優(yōu)勢(shì)概率關(guān)系描述一個(gè)對(duì)象優(yōu)于另一個(gè)對(duì)象的程度的方法。

2.1 基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間數(shù)比較

集對(duì)分析[25]能在區(qū)間數(shù)多屬性決策中得到廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因是，其中的聯(lián)系數(shù)同時(shí)具有確定性與不確定性的雙重特性,這與區(qū)間數(shù)既有上下界的確定性以及在其范圍內(nèi)可以任意取值的不確定性同構(gòu)。本節(jié)先給出相交區(qū)間數(shù)和非相交區(qū)間數(shù)概念,然后將其分別用聯(lián)系數(shù)表示,建立決策模型判斷聯(lián)系數(shù)優(yōu)劣,從而比較出區(qū)間數(shù)的大小。

聯(lián)系數(shù)取值的不確定性[26]集中體現(xiàn)在聯(lián)系數(shù)中不確定系數(shù)i可以在給定的[-1,1]間取值,這使得任一個(gè)區(qū)間數(shù)都可轉(zhuǎn)化為一個(gè)聯(lián)系數(shù),從而使在聯(lián)系數(shù)基礎(chǔ)上建立決策模型成為可能。

根據(jù)定義9可以得到任意兩個(gè)區(qū)間數(shù)比較時(shí)的決策模型:

如果ri>rj,則yi>yj,反之亦然。

區(qū)間數(shù)是決策者處理決策問題時(shí)給出的一個(gè)比較模糊、不確定的大概信息,本文通過將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的聯(lián)系數(shù),建立相應(yīng)的決策模型,通過聯(lián)系數(shù)的模判斷區(qū)間數(shù)大小(優(yōu)劣)。

2.2 模糊優(yōu)勢(shì)概率關(guān)系

為了更好地表征對(duì)象間關(guān)系以及避免相異規(guī)范化方法對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生影響,在本節(jié)提出一種用模糊優(yōu)勢(shì)概率關(guān)系描述區(qū)間值決策表中對(duì)象間的相對(duì)程度的方法,并有如下定義。

定義10 區(qū)間值信息系統(tǒng)S=(U,K,V,f)中,用區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)概率表示在同一屬性下對(duì)象之間的程度,形成的矩陣稱作模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣,記為Xkp。

即在屬性值為區(qū)間數(shù)的決策信息表:

1) 若～[f(kp,xi)]≥∪[f(kp,xj)]≥=U,則xi優(yōu)于xj的程度為

(1)

2) 若～[f(kp,xi)]≥∪[f(kp,xj)]≥≠U,則xi優(yōu)于xj的程度為

(2)

其中,[f(kp,xi)]≥為xi在屬性kp下的優(yōu)勢(shì)類,[f(kp,xj)]≤為xj在屬性kp下的劣勢(shì)類。|·|表示基數(shù),即對(duì)象的個(gè)數(shù)。

定義11 區(qū)間值信息系統(tǒng)S=(U,K,V,f)中,xi和xj為同一屬性下的任意兩對(duì)象,在任意屬性kp下記:

f(kp,xj)(kp∈K)},

f(kp,xj)(kp∈K)}。

2.3 模糊優(yōu)勢(shì)距離矩陣和排序方案

根據(jù)屬性權(quán)重,把在所有屬性下的區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣集結(jié),得到的新矩陣稱為權(quán)相對(duì)概率矩陣,記作D(B)。根據(jù)定義10可以得到在任一屬性下的模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣,即:

得到n個(gè)不同屬性下的模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣后,開始對(duì)各屬性下的優(yōu)勢(shì)概率集結(jié),集結(jié)整合后得到一個(gè)權(quán)相對(duì)概率矩陣D(B),記為:

其中wp1,wp2,…wpn分別表示屬性k1,k2,…kn在所有屬性中所占的權(quán)重。為了方便直觀,可將權(quán)相對(duì)概率矩陣D(B)表示為:

通過以上一系列的變換,將在不同屬性下對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)程度清晰地展現(xiàn)出來。bij表示任意兩個(gè)對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)程度,相應(yīng)地,可以獲得信息系統(tǒng)中對(duì)象間基于距離的模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣。

在此,0≤dij=1-bij≤1是將兩對(duì)象xi和xj間的優(yōu)勢(shì)程度轉(zhuǎn)換成基于距離的相對(duì)概率關(guān)系。易知,bij越大,dij越小。用距離來表示對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)程度,更直觀容易理解。在用模糊優(yōu)勢(shì)距離矩陣描述完對(duì)象間的關(guān)系后,用相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度對(duì)決策對(duì)象排序。

(3)

其中diq和djq分別表示對(duì)象xi與所有對(duì)象之間的相對(duì)距離和對(duì)象xj與所有對(duì)象之間相對(duì)距離。即通過sij可以判斷出對(duì)象間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系sij。特別地,sij=0.5表示對(duì)象相對(duì)于其本身的優(yōu)勢(shì)幅度。

定理1在區(qū)間值信息系統(tǒng)中,sij為給定的對(duì)象間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度,?sij>0.5,都有對(duì)象xj優(yōu)于xi;?sij<0.5,都有對(duì)象xi優(yōu)于xj。

證明

根據(jù)上述分析,基于區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)距離的多屬性決策步驟如下:

Step 1:確定在任一屬性下,對(duì)象的優(yōu)勢(shì)類。通過定義7、定義8判斷對(duì)象評(píng)價(jià)值間的關(guān)系,用定義8轉(zhuǎn)化成聯(lián)系數(shù),根據(jù)定義9比較大小;

Step 3:根據(jù)屬性權(quán)重將所有屬性的模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣集結(jié),得到權(quán)相對(duì)概率矩陣D(B);

Step 5:在得到模糊優(yōu)勢(shì)距離矩陣后,根據(jù)定義13計(jì)算任意兩對(duì)象間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度sij,將對(duì)象排序。

通過上述分析可知,本文在n個(gè)屬性下,將m個(gè)對(duì)象兩兩之間相互計(jì)算,再求解在屬性kp下決策對(duì)象xi優(yōu)于xj的程度,所以文中算法的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為O(m2·n)。

3 實(shí)例分析

為了說明上述方法的決策過程,現(xiàn)以某工程建設(shè)項(xiàng)目方案的評(píng)估為例。已知該項(xiàng)目有四個(gè)候選方案,用U=(x1,x2,x3,x4)表示,并且主要從報(bào)價(jià)金額k1(成本型),前期業(yè)務(wù)成交單數(shù)k2(效益型),工期時(shí)長(zhǎng)k3(成本型),企業(yè)信譽(yù)度k4(效益型)等四個(gè)方面考慮這些候選方案,用K={k1,k2,k3,k4}表示。假設(shè)屬性權(quán)重相等。由以上描述形成的決策信息見表1所示。

表1 工程候選方案信息

根據(jù)本文提出的區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)距離的方法,將4個(gè)候選方案的全序化排列過程如下:

Step 1:確定在所有屬性下對(duì)象的優(yōu)勢(shì)類。

如在k1屬性下,確定x1的優(yōu)勢(shì)類時(shí),需要將a1k1與aik1(i=2,3,4)逐次比較。方法如下:

x1相對(duì)于x2:根據(jù)定義7,[100,150]與[120,160]為相交區(qū)間數(shù),由定義8將其用聯(lián)系數(shù)表示為:

根據(jù)定義9有

因?yàn)閞a1k1

Step 2:得到在k1屬性下

x1的優(yōu)勢(shì)類為x1;x2的優(yōu)勢(shì)類為x1,x2;

x3的優(yōu)勢(shì)類為x1,x2,x3;x4的優(yōu)勢(shì)類為x1,x2,x3,x4。

Step 3:根據(jù)屬性權(quán)重將模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣集結(jié),得到權(quán)相對(duì)概率矩陣D(B);

Step 5:在得到模糊優(yōu)勢(shì)距離矩陣后,根據(jù)定義13計(jì)算任意兩對(duì)象間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度sij,x1相對(duì)于x2的相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度為:

同理,s13=0.383 4,s14=0.465 5,s23=0.332,s24=0.414 1,s34=0.582 1。

綜上所述,得到各決策對(duì)象的全序化結(jié)果為:

x2?x1?x4?x3。

現(xiàn)將此方法與文獻(xiàn)[28]中的方法對(duì)本文所用算例的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,其主要計(jì)算過程如下:

Step 1:對(duì)區(qū)間評(píng)價(jià)矩陣R4×4進(jìn)行無量綱處理,規(guī)范化信息表如2所示。

表2 規(guī)范化信息

Step 2:確定屬性綜合權(quán)重。

0.077 27-0.126 9]=-0.054 67。

同理可得p13=0.124 8,p14=-0.008 7,p23=0.103 13,p24=-0.010 9,p34=0.010 6。

根據(jù)每個(gè)評(píng)價(jià)屬性間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)度值,獲得概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系矩陣P4×4為:

P4×4=p(ae≥af)=

得到屬性的綜合權(quán)重值ωaj(j=1,2,3,4):ωa1=0.343 5,ωa2=0.191 1,ωa3=0.297 1,ωa4=0.168 2。

r1(ω)=[0.335 9,0.872 8],

r2(ω)=[0.412 0,0.817 1],

r3(ω)=[0.179 2,0.709 6],

r4(ω)=[0.226 0,0.781 3],

p(x1?x4)}=0.509 66,

p(x2?x4)}=0.511 37,

p(x3?x4)}=0.489 44,

p(x4?x3)}=0.489 46,

由此得到四個(gè)方案的全序化結(jié)果為x2?x1?x4≥x3。

從宏觀上看,兩種方法在決策本文所用算例時(shí)結(jié)果一致,進(jìn)一步說明了本文方法的有效性。同時(shí)用文獻(xiàn)[28]中的方法計(jì)算本文所用的算例時(shí),對(duì)象x3和x4的排序結(jié)果接近一致,然而在每個(gè)屬性下的這兩個(gè)對(duì)象評(píng)價(jià)值卻是完全相異的,說明這種排序方法得到的決策結(jié)果有些與實(shí)際不符,沒有很好的區(qū)分度。為了說明所提方法在屬性權(quán)重不等情況下仍然適用,現(xiàn)用本文方法計(jì)算文獻(xiàn)[28]中的算例,其主要過程如下:

Step1:計(jì)算在所有屬性下對(duì)象的優(yōu)勢(shì)類。由定義7確定是否為相交區(qū)間數(shù),用定義8、定義9進(jìn)行比較。如a1下,x1的優(yōu)勢(shì)類為x1,x2,x3,x4,同理可得到其他對(duì)象在所有屬性下的優(yōu)勢(shì)類。

Step 3:根據(jù)屬性權(quán)重將模糊優(yōu)勢(shì)概率矩陣集結(jié),得到權(quán)相對(duì)概率矩陣D(B);

Step 5:在得到模糊優(yōu)勢(shì)距離矩陣后,根據(jù)定義13計(jì)算任意兩對(duì)象間的相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度sij,x1相對(duì)于x2的相對(duì)優(yōu)勢(shì)幅度為:

同理,s13=0.798 2,s14=0.878 6,s23=0.414 9,s24=0.495 3,s34=0.580 4。

綜上所述,得到各決策對(duì)象的全序化結(jié)果為:x2?x4?x3?x1。所得結(jié)果與文獻(xiàn)[28]中排序結(jié)果一致,并且說明若屬性權(quán)重不等時(shí),該方法仍然有效。

本文所用的區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)距離的方法,避免了由于選取不同的規(guī)范化方法對(duì)決策結(jié)果造成的影響,通過比較區(qū)間數(shù)屬性值的優(yōu)劣關(guān)系得到對(duì)象間的相對(duì)程度,更直觀清晰,同時(shí)在比較區(qū)間數(shù)時(shí),進(jìn)一步分析區(qū)間數(shù)間的關(guān)系,用聯(lián)系數(shù)表示區(qū)間數(shù)使決策更準(zhǔn)確,最后將這種相對(duì)優(yōu)勢(shì)關(guān)系轉(zhuǎn)換為基于距離的矩陣,比較對(duì)象的優(yōu)勢(shì)幅度,較好地解決了區(qū)間值信息系統(tǒng)下的多屬性決策問題。

4 結(jié)論

在現(xiàn)實(shí)中,區(qū)間數(shù)多屬性決策廣泛存在于人們?nèi)粘Q策中,一種合適有效的決策辦法有助于提升人們?cè)趯?shí)際中工作和生活的效率。本文關(guān)注于區(qū)間值信息系統(tǒng)下的多屬性決策問題研究,根據(jù)區(qū)間數(shù)的比較對(duì)優(yōu)勢(shì)類進(jìn)行定義以及優(yōu)勢(shì)程度求解方法對(duì)決策結(jié)果的影響,給出一種基于區(qū)間模糊優(yōu)勢(shì)距離的多屬性決策方法。以工程候選方案為例,將本文所用方法與其他方法對(duì)比,驗(yàn)證了本文所提出的決策方案分辨度更高,決策結(jié)果更可靠等優(yōu)點(diǎn)。

多屬性決策問題應(yīng)用廣泛,描述事物不確定的方法很多,并且具有極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。下一步將對(duì)象評(píng)價(jià)值從區(qū)間數(shù)推廣到區(qū)間直覺模糊數(shù)作為重點(diǎn)研究方向,探究在不同背景下的多屬性決策方法。