基于高斯偽譜法的汽車彎道超車路徑規(guī)劃與跟蹤控制

張家旭 ，周時瑩，趙 健，施正堂

(1. 吉林大學汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022；2. 中國第一汽車集團有限公司智能網聯(lián)研發(fā)院，長春 130011；3. 浙江亞太機電股份有限公司智能汽車控制系統(tǒng)研究院，杭州 311200)

全國汽車保有量持續(xù)增加產生的交通擁堵和交通安全問題推動著無人駕駛技術加速發(fā)展，而汽車換道路徑規(guī)劃與跟蹤控制是無人駕駛技術安全可靠應用的重要基礎[1-2]．因此，國內外眾多企業(yè)和學者對無人駕駛技術涉及的汽車換道路徑規(guī)劃與跟蹤控制展開了深入的研究，并取得了較豐富的研究成果．

文獻[3]針對靜止的障礙物，采用幾何方法規(guī)劃出了一條汽車換道避障軌跡作為參考軌跡，并以最小化參考軌跡偏離誤差作為優(yōu)化目標，將汽車換道避障軌跡規(guī)劃問題轉化為最優(yōu)化問題，通過梯度下降法求解此最優(yōu)化問題得到可執(zhí)行的汽車換道避障軌跡．同時，將離散化的汽車運動學方程作為預測模型，采用模型預測控制方法設計了汽車換道避障軌跡跟蹤控制策略，實現(xiàn)目標軌跡的跟蹤控制．文獻[4]綜合考慮了汽車換道避障過程的安全性、舒適性和可行性約束，基于7 次多項式曲線將汽車換道避障問題轉化為約束最優(yōu)化問題，并利用具有全局搜索能力的遺傳算法求解此約束最優(yōu)化問題得到滿足安全性、舒適性和可行性約束的汽車換道避障目標路徑．為了使汽車可以快速、準確和穩(wěn)定地跟蹤汽車換道避障目標路徑，文獻[4]充分考慮了主動前輪轉向系統(tǒng)的動態(tài)特性，采用μ 綜合方法設計了汽車換道避障路徑跟蹤控制策略．文獻[5]針對極限工況下汽車換道避讓靜止障礙物的路徑規(guī)劃與跟蹤控制問題，采用正切函數(shù)規(guī)劃汽車換道避障路徑，并采用修正的哈密頓方法設計主動制動和主動轉向的集成控制策略，實現(xiàn)汽車換道避障路徑的跟蹤控制．文獻[6]以高斯分布為基礎規(guī)劃出了符合駕駛員操縱特性的汽車換道避障路徑，并采用反饋線性化方法設計了汽車換道避障路徑跟蹤控制策略，實現(xiàn)汽車換道避障路徑的跟蹤控制．上述研究成果未考慮運動障礙物對汽車換道路徑規(guī)劃與跟蹤控制的影響．

為此，文獻[7]以三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為基礎，建立了道路邊界和運動障礙物的人工斥力場，以及目標點的人工引力場，并且將二者合成場的最速下降方向構成的路徑作為汽車換道避障目標路徑．隨后，將離散化的汽車運動學方程和汽車動力學方程作為預測模型，采用模型預測控制方法設計了汽車換道避障路徑跟蹤控制策略，實現(xiàn)目標路徑的跟蹤控制．文獻[8]以S 型函數(shù)為基礎，利用滾動優(yōu)化思想規(guī)劃出了避讓運動障礙物的汽車換道路徑，并采用模型預測控制方法設計了汽車換道避障路徑跟蹤控制策略，通過控制前輪轉向角來實現(xiàn)目標路徑的跟蹤控制．文獻[9]基于6 次多項式曲線規(guī)劃出了汽車換道路徑，引導汽車避讓運動障礙物．同時，采用模型預測控制方法設計了主動前輪轉向系統(tǒng)和直接橫擺力矩系統(tǒng)的集成控制策略，實現(xiàn)規(guī)劃路徑的跟蹤控制．文獻[10]基于人工勢能精細化阻力方法提出了一種汽車換道避障路徑規(guī)劃算法，以及基于模型預測控制方法提出了一種汽車換道避障路徑跟蹤控制策略，并通過仿真分析證明了研究結果可使汽車安全、舒適、高效地避讓運動障礙物．上述研究成果雖然考慮了運動障礙物對汽車換道路徑規(guī)劃與跟蹤控制的影響，但未考慮路徑曲率對汽車換道路徑規(guī)劃與跟蹤控制的影響．

彎道超車場景是無人駕駛技術應用場景的重要組成部分，當前方低速行駛汽車由于自身原因已嚴重影響彎道車流速度且旁邊存在安全行駛車道時，無人駕駛汽車規(guī)劃和跟蹤可行的路徑，實現(xiàn)彎道超車．鑒于此，本文綜合考慮前方低速行駛汽車等運動障礙物和路徑曲率對汽車換道路徑規(guī)劃與跟蹤控制的影響，提出一種基于高斯偽譜法的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法，以及基于干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略．首先，基于本車和前方低速行駛汽車的運動學方程將汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題描述為約束最優(yōu)化問題，并采用高斯偽譜法將其轉化為非線性規(guī)劃問題進行求解，從而得到滿足相對運動方程、過程和邊界約束的汽車彎道超車路徑．隨后，以汽車后軸中點橫向坐標作為非時間參考量，基于汽車運動學方程建立包含復合干擾的非時間參考名義模型，并利用徑向基神經網絡對未知非線性函數(shù)的無限逼近能力設計干擾觀測器，在線估計和前饋補償名義模型包含的復合干擾，同時基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論推導出具有一致最終有界特征的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略，實現(xiàn)對基于高斯偽譜法規(guī)劃出的汽車彎道超車路徑的跟蹤控制．最后，基于車輛動力學軟件構建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗證所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法與跟蹤控制策略的可行性和有效性．

1 汽車彎道超車路徑規(guī)劃

1.1 汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題描述

汽車彎道超車路徑用于引導汽車在兩個轉向相同、半徑不同的圓曲線之間平滑切換，以使汽車安全、舒適地跨越前面同方向低速行駛的汽車．如圖1所示，建立固定坐標系Oxy，選取本車后軸中點作為參考點，假設本車初始時刻 t0的方位角為 θ0，路徑曲率為，后軸中點坐標為，則其運動學方程可描述為

式中：vH為本車車速；(xH,yH)、θH、ρH和 kH分別為本車幾何中心點坐標、本車方位角、路徑曲率和路徑曲率變化率．

圖1 汽車彎道超車路徑Fig.1 Path for corner overtaking of vehicle

如圖1 所示，假設本車前面同方向低速行駛的汽車車速和路徑曲率保持不變，分別為vG和，若其初始時刻 t0的方位角為θ1，則其初始時刻 t0的后軸中點坐標為，由此可得其運動學方程為

式中：( xG,yG)和 θG分別為前面同方向低速行駛的汽車幾何中心點坐標和方位角．

聯(lián)合式(1)描述的本車運動學方程和式(2)描述的前面同方向低速行駛汽車運動學方程，可建立描述本車與前面同方向低速行駛汽車相對運動的方程為

式中：u = kH為相對運動方程的控制量，初始時刻 t0的值 為零；為相對運動方程的狀態(tài)量，初始時刻 t0的值為

為了保持本車彎道超車過程中的操縱特性處于線性工作區(qū)域，對其側向加速度有如下約束

式中aymax為汽車彎道超車過程的最大側向加速度．

由式(5)可得本車路徑曲率約束條件為

假設本車彎道超車過程中的車速保持不變，對式(5)求一階導數(shù)，可得

式中jymax為汽車彎道超車過程的最大側向加速度.

由式(7)可得本車路徑曲率變化率約束條件為

如圖1 所示，本車在彎道超車結束后應沿著原車道穩(wěn)定行駛，由此可得本車在彎道超車過程結束時刻tf須滿足如下約束條件．

考慮本車彎道超車過程的車道邊界約束條件，可得

式中 σ1＞0 為車道邊界余量．

考慮本車與前面同方向低速行駛汽車的安全距離約束條件，可得

式中：Wd為車道寬度；σ2＞0 為安全距離余量．

以最小化汽車彎道超車路徑弧長為優(yōu)化目標，將上述汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題轉化為如下的最優(yōu)化問題．

1.2 汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題求解

本節(jié)基于高斯偽譜法將式(12)描述的汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題轉化為非線性規(guī)劃問題進行求解．為此，將汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題的時間區(qū)間歸一化為

利用式(14)和式(15)將式(12)描述的汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題轉化為如下的非線性規(guī)劃問題．

式中Dij為微分近似矩陣，可表示[12]為

采用成熟的求解器求解式(16)描述的非線性規(guī)劃問題[13]，即可得到滿足相對運動方程、過程和邊界約束的汽車彎道超車路徑．

2 汽車彎道超車路徑跟蹤控制

汽車彎道超車路徑跟蹤控制的任務是實時計算前輪轉向角控制指令，使汽車快速、準確和穩(wěn)定的跟蹤基于高斯偽譜法規(guī)劃出的目標路徑．由于汽車彎道超車過程中的操縱特性處于線性工作區(qū)域，可以采用汽車運動學方程近似描述汽車彎道超車過程的行駛狀態(tài)[14]．

式中：δH為汽車前輪轉向角；L 為汽車軸距；Δ 為未建模動態(tài)和外界擾動引起的系統(tǒng)加性不確定性．

為了簡化基于式(18)設計汽車彎道超車路徑跟蹤控制系統(tǒng)的過程，采用汽車后軸中點橫向坐標作為非時間參考量，已知目標路徑點的縱向坐標值和方位角分別為 yr和 θr，定義新的狀態(tài)量為和，則式(18)描述的汽車運動學方程可簡化為

為了抑制式(19)包含的系統(tǒng)復合干擾對汽車彎道超車路徑跟蹤控制系統(tǒng)性能的影響，采用徑向基神經網絡設計干擾觀測器，對其進行在線估計和前饋補償．利用徑向基神經網絡的結構特征將式(19)包含的系統(tǒng)復合干擾表示為

式中：W?為徑向基神經網絡的未知最優(yōu)權重向量；? 為徑向基神經網絡的滿足邊界約束的最小估計誤差；φ (x)為徑向基神經網絡的高斯基函數(shù)向量，其第i 個元素可表示為

式中： ?i和λi為高斯基函數(shù)向量中第i 個元素的中心和寬度；M 為高斯基函數(shù)向量包含的元素數(shù)量．

針對式(20)包含的徑向基神經網絡的未知最優(yōu)權重向量，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設計未知最優(yōu)權重向量自適應律和汽車彎道超車路徑跟蹤控制律，由此得到如下定理．

定理針對式(19)描述的汽車運動學方程，設計如下汽車彎道超車路徑跟蹤控制律

式中：κ1＞0 、κ2＞0 、κ3＞0 和奇數(shù)α ＞1 分別為汽車彎道超車路徑跟蹤控制律的設計參數(shù)；為徑向基神經網絡的未知最優(yōu)權重向量估計，其自適應律為

式中：κ4＞0 為未知最優(yōu)權重向量自適應律的設計參數(shù)；為未知最優(yōu)權重向量的初始估計．若設計參數(shù)滿足

則汽車彎道超車路徑跟蹤控制閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是一致最終有界的．

證明將式(22)描述的汽車彎道超車路徑跟蹤控制律代入式(19)描述的汽車運動學方程，可得

針對式(26)描述的系統(tǒng)，定義李雅普諾夫候選函數(shù)為

對式(27)求導，可得

將式(23)和式(26)代入式(28)，可得

由楊氏不等式[15]，可得

將不等式(30)～(32)代入式(29)，可得

由式(34)可得

由式(36)可知：基于徑向基神經網絡設計的干擾觀測器可有效提高汽車彎道超車路徑的跟蹤精度．

3 仿真結果及分析

本節(jié)采用m 語言實現(xiàn)汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法，離線規(guī)劃出汽車彎道超車路徑，并在 Matlab/Simulink 環(huán)境下將汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法的輸出無縫連接到基于車輛動力學軟件CarSim 構建的模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗證汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略的可行性和有效性．在仿真驗證過程中，本車初始車速設置為20 m/s，前方低速行駛汽車車速設置為10 m/s，路徑內圓半徑設置為400 m，路徑外圓半徑設置為403.75 m，汽車彎道超車路徑規(guī)劃與跟蹤控制參數(shù)設置如表1 所示，包含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略與不含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略的仿真對比結果如圖2 和圖3所示．

表1 汽車彎道超車路徑規(guī)劃與跟蹤控制參數(shù)Tab.1 Path planning and tracking control parameters for corner overtaking of vehicle

如圖2 所示，本文所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法與跟蹤控制策略可以引導本車在兩個轉向相同、半徑不同的圓曲線之間平滑切換，進行使本車安全、舒適地跨越前方低速行駛的汽車．如圖3 所示，包含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略與不含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略均可以穩(wěn)定地跟蹤汽車目標路徑和目標方位角.同時，相對于不含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略，包含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略對汽車目標路徑和目標方位角的跟蹤精度更高，尤其在汽車由外圓路徑駛回內圓路徑過程中(圖3 中6～8 s 時間區(qū)間)，包含干擾觀測器的汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略可以使汽車更加平順穩(wěn)定地跟蹤目標路徑和目標方位角．

圖2 不同時刻本車和前方低速行駛汽車相對位置Fig.2 Relative positions of the host vehicle and low-speed vehicle in front of it at different times

圖3 汽車彎道超車過程的行駛狀態(tài)Fig.3 Status of vehicle in the corner overtaking process

4 結 論

(1) 基于本車和前方低速行駛汽車的運動學方程將汽車彎道超車路徑規(guī)劃問題描述為約束最優(yōu)化問題，并采用高斯偽譜法將其轉化為非線性規(guī)劃問題進行求解，得到滿足相對運動方程、過程和邊界約束的汽車彎道超車路徑．

(2) 基于汽車運動學方程建立包含復合干擾的非時間參考名義模型，采用徑向基神經網絡設計干擾觀測器來估計和補償名義模型包含的復合干擾，并采用李雅普諾夫穩(wěn)定理論推導出汽車彎道超車路徑跟蹤控制策略，實現(xiàn)對汽車彎道超車路徑的快速、準確和穩(wěn)定的跟蹤控制．

(3) 在Matlab/Simulink 環(huán)境下構建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗證所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法與跟蹤控制策略的可行性和有效性，結果表明：所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法與跟蹤控制策略可以引導本車在兩個轉向相同、半徑不同的圓曲線之間平滑切換，使本車安全、舒適地超越前方低速行駛的汽車．