橋梁水平位移混沌特征識別與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測研究

欒元重 梁耀東 董 岳 翁麗媛 劉承旭

1 山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院，青島市前灣港路579號，266590

跨海大橋是人工與自然有機(jī)結(jié)合的整體，處在海洋這個(gè)復(fù)雜的環(huán)境中，運(yùn)營后還需承受車載外力的作用，其各部分之間不斷地進(jìn)行能量、物質(zhì)交換，通過系統(tǒng)信息熵的變化使橋梁整體走向有序[1-3]。因此，橋梁變形是一種非平衡態(tài)有序結(jié)構(gòu)。由于我國跨海大橋建設(shè)也是近10 a的事情，運(yùn)營后的跨海大橋變形特征及預(yù)測模型研究也處于起步階段[4-5]。近幾年建好的幾座跨海大橋均建立了變形監(jiān)測站，獲得了橋梁變形數(shù)據(jù)，但在數(shù)據(jù)挖掘、建立動(dòng)態(tài)非線性高精度的橋梁變形時(shí)空預(yù)測模型方面還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠[6-7]。因此，開展跨海大橋時(shí)空非線性變形模型研究是理論與實(shí)際結(jié)合、理論成果又反饋橋梁安全運(yùn)營的實(shí)用課題[8-9]。

本文對青島膠州灣跨海大橋開展了變形監(jiān)測工作，橋梁特征點(diǎn)三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)采集使用的測量機(jī)器人為徠卡30全站儀，該儀器測角精度為0.5″,測距精度為0.1 mm+10-6D。測量方法為：在穩(wěn)定區(qū)域布設(shè)的D級GPS控制點(diǎn)上安置測量機(jī)器人，對橋墩、橋面、橋索塔的特征點(diǎn)自動(dòng)進(jìn)行三維坐標(biāo)觀測。由于橋梁處于海洋環(huán)境中，受海浪、颶風(fēng)、船體撞擊等因素的影響，使橋梁變形表現(xiàn)為動(dòng)態(tài)非連續(xù)變形，并伴有混沌現(xiàn)象發(fā)生[10]。

目前用于混沌時(shí)間序列預(yù)測的數(shù)學(xué)模型主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和支持向量機(jī)等，但由于支持向量機(jī)存在參數(shù)準(zhǔn)確選取困難[11]，并且局部優(yōu)化能力差的缺點(diǎn)，因此本文根據(jù)橋梁變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，首先對橋梁變形系統(tǒng)混沌特征進(jìn)行識別，并對橋梁水平位移單變量進(jìn)行高精度RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測的深入研究，這對揭示跨海大橋變形機(jī)理、實(shí)現(xiàn)橋梁安全運(yùn)營具有重大意義。

1 橋梁水平位移觀測數(shù)據(jù)混沌特征識別

當(dāng)橋梁系統(tǒng)受外界影響有擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)可能發(fā)生分岔并可能演變成混沌狀態(tài)。為了判斷橋梁變形是否有混沌狀態(tài)，選取Verhulst生物模型擬合橋梁變形位移時(shí)間序列[1]，即

(1)

式中，x為變形位移值，t為時(shí)間，k為參數(shù)。其差分方程為：

xn+1=k(1-xn)xn

(2)

本文選取青島膠州灣跨海大橋W1點(diǎn)3 a內(nèi)的300期水平位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，取W1點(diǎn)后100期數(shù)據(jù)水平位移觀測，其在x方向、y方向上的變形量無明顯線性與周期性變化趨勢，通過重構(gòu)相空間尋找其內(nèi)在規(guī)律。

1.1 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)表示多次迭代中平均每次迭代引起指數(shù)分離的度量。Lyapunov指數(shù)λ的表達(dá)式為：

(3)

式中，λ為Lyapunov指數(shù)，F(xiàn)(x)為x的映射值。λ>0時(shí)，運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)存在混沌狀態(tài)。

基于最大 Lyapunov 指數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測，就是利用已經(jīng)得到的最大Lyapunov指數(shù)(即軌道平均發(fā)散率)，采用相空間重構(gòu)技術(shù)，通過跟蹤最鄰近點(diǎn)的演化進(jìn)行預(yù)測[12-14]。格里波基[15]證明，只要最大 Lyapunov 指數(shù)大于零，就可以肯定系統(tǒng)中存在混沌狀態(tài)。

用小數(shù)據(jù)量法計(jì)算橋梁水平位移時(shí)間序列最大Lyapunov指數(shù)，x方向變形時(shí)間序列最大Lyapunov指數(shù)為0.015，證明x方向變形時(shí)間序列具有混沌性；同理，y方向變形時(shí)間序列最大Lyapunov指數(shù)為0.014，y方向變形時(shí)間序列也具有混沌性，此結(jié)果與Verhulst生物模型擬合的橋梁變形位移時(shí)間序列具有混沌狀態(tài)相吻合。

1.2 時(shí)間延遲

C-C法求取時(shí)間延遲的方法如下。將時(shí)間序列分成t個(gè)不相交的子序列，每個(gè)子序列可定義為：

S(m,N,r,t)=

(4)

式中，m為嵌入維數(shù)，N為點(diǎn)的個(gè)數(shù)，r為元素間相關(guān)半徑，t為不相交子序列個(gè)數(shù)。

令N→，有：

(5)

由于時(shí)間序列是有限的，且元素間也可能是相關(guān)的，故選擇對應(yīng)值中最大和最小的兩個(gè)半徑r，其差量為：

ΔS(m,t)=max{S(m,rj,t)}-{S(m,rj,t)}

(6)

(7)

(8)

(9)

圖1 C-C法計(jì)算x方向變形時(shí)間序列的時(shí)間延遲Fig.1 Time delay of the deformation time series of x direction calculated by C-C method

1.3 嵌入維數(shù)m

若{x1,x2,…,xi,…}為實(shí)測的一組等間隔變形數(shù)據(jù)，取{x1,x2,…,xi,…}中部分?jǐn)?shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)m維子空間，空間中N個(gè)點(diǎn)表達(dá)為：

(10)

令

(11)

式中，θ(x)指Heaviside函數(shù)，N為點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算公式為：

(12)

分別求出不同嵌入維數(shù)m所對應(yīng)的dC值。取dC值第一個(gè)到達(dá)平穩(wěn)時(shí)的m估值作為嵌入維數(shù)，此時(shí)dC值可作為吸引子維數(shù)的估值，則m=2[d]+1。這就是嵌入維數(shù)估計(jì)的G-P算法。

x方向時(shí)間延遲τ=1，設(shè)定維數(shù)m=2，3，…，12，分別繪制x方向變形時(shí)間序列飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法(簡稱G-P法)的lnC(r)-lnr曲線(圖2)，圖中曲線自上而下對應(yīng)于m=2，3，…，12。當(dāng)維數(shù)增加到7時(shí)，lnC(r)與lnr的比值不再隨m的增大發(fā)生變化，因此x方向嵌入維數(shù)為7。同理，求得y方向變形時(shí)間嵌入維數(shù)為7。

圖2 x方向變形時(shí)間序列l(wèi)nC(r)-lnr圖Fig.2 lnC(r)-lnr diagram of deformation time series of x direction

1.4 二維重構(gòu)軌跡分析

重構(gòu)相空間的目的是保持原先變形系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)，并與其具有等價(jià)的動(dòng)力系統(tǒng)。相空間重構(gòu)最重要的參數(shù)為時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m。延遲滯時(shí)重構(gòu)的變形動(dòng)力系統(tǒng)相空間簡化模型[17-18]為：

X(t)=(x(t),x(t-τ),…,x(t-(m-1)τ))

(13)

式中，m為嵌入維數(shù)，τ為時(shí)間延遲，t=1,2,…,n。

x方向和y方向最大Lyapunov指數(shù)之和為二維最大Lyapunov指數(shù)，即λ=λx+λy=0.029，故二維數(shù)據(jù)同樣具有混沌特性。按時(shí)間延遲τ=1、m=7等參數(shù)對W1點(diǎn)水平位移時(shí)間序列進(jìn)行二維相空間重構(gòu)(圖3)。

圖3 水平位移二維相空間重構(gòu)Fig.3 Two-dimensional phase space reconstruction of horizontal displacement

2 橋梁水平位移混沌時(shí)間序列預(yù)測

2.1 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌預(yù)測

X[i]=x(t+(i-1)τ)

(14)

(15)

通過相空間重構(gòu)得到輸入層單元數(shù)為m、隱層單元數(shù)為k、輸出單元數(shù)為1的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)m×k×1。

取W1點(diǎn)300期水平位移觀測數(shù)據(jù)，前250期數(shù)據(jù)用來訓(xùn)練，后50期數(shù)據(jù)用來預(yù)測對比分析。對W1點(diǎn)x方向變形數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，并將前250組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線如圖4所示。由圖可見，在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中，只需6步就到達(dá)了目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差值0.001。

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線Fig.4 RBF neural network error curve

對后輸入的50個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，組成一個(gè)N-(m-1)τ樣本輸入，其中τ=1，m=7，輸入樣本點(diǎn)為44個(gè)，第t個(gè)輸入樣本為：

X(t)={x(t),x(t+1),x(t+2),

x(t+3),x(t+4),x(t+5),x(t+6)}

(16)

將44個(gè)輸入樣本輸入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，計(jì)算得到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測值。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測與最大Lyapunov指數(shù)混沌時(shí)間序列預(yù)測的比較

將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測與基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測的誤差進(jìn)行比較，分析兩種預(yù)測模型的精度。

對于x方向的變形，對后50期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，第251～259期數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果如表1所示，實(shí)測值與基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值和基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測值對比如圖5(a)所示。

由表1絕對差和RMSE對比分析可知，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌預(yù)測模型的預(yù)測值比基于最大Lyapunov指數(shù)混沌時(shí)間序列預(yù)測模型的預(yù)測值要更接近于實(shí)測值且精度明顯提高。由圖5(b)可見，隨著觀測期數(shù)的增加，預(yù)測值逐漸偏離實(shí)測值，殘差呈現(xiàn)逐漸變大的趨勢。這證明本文基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所建立的混沌預(yù)測模型在短期預(yù)測的情況下，比基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測模型得到的預(yù)測結(jié)果更接近于真實(shí)值。這從一個(gè)方面證明混沌預(yù)測對時(shí)間序列只能進(jìn)行短期預(yù)測。

表1 x方向預(yù)測值與實(shí)測值對比Tab.1 Comparison of the measured and predicted values of x direction

圖5 x方向?qū)崪y值與預(yù)測值對比Fig.5 Comparison of the measured and predicted values of x direction

3 結(jié) 語

1)根據(jù)跨海大橋系統(tǒng)受外界影響擾動(dòng)的特點(diǎn)，提出其變形伴有混沌現(xiàn)象。根據(jù)混沌理論，對橋梁變形時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性識別，確定青島膠州灣跨海大橋監(jiān)測數(shù)據(jù)表現(xiàn)為混沌性。

2)運(yùn)用C-C法計(jì)算時(shí)間序列的延遲時(shí)間τ，用G-P方法求得最佳嵌入維數(shù)m，通過求取的時(shí)間延遲和最佳嵌入維數(shù)對橋梁變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，建立橋梁變形時(shí)間序列混沌性識別的理論模型與方法。

3)基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立混沌時(shí)間序列預(yù)測模型，并通過MATLAB語言實(shí)現(xiàn)其算法。

4)對基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌時(shí)間序列橋梁變形預(yù)測值與基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測值以及實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的混沌時(shí)間序列預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果比基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果要好，且短期預(yù)測效果好。