變分模態(tài)分解結(jié)合樣本熵的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)降噪

魯鐵定 謝建雄

1 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，南昌市廣蘭大道418號(hào)，330013 2 東華理工大學(xué)江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌市廣蘭大道418號(hào)，330013

變形監(jiān)測數(shù)據(jù)包括真實(shí)數(shù)據(jù)和觀測噪聲，若直接利用原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測難以獲得滿意結(jié)果。在工程應(yīng)用中一般認(rèn)為，噪聲信號(hào)和干擾信號(hào)主要分布于高頻信號(hào)中，而相對(duì)平穩(wěn)的低頻信號(hào)則被認(rèn)為是有用的真實(shí)信號(hào)[1-2]。甘若等[3]運(yùn)用改進(jìn)小波閾值函數(shù)處理危巖變形沉降數(shù)據(jù)，能夠有效去除噪聲，提升信噪比；范千等[4]采用EMD方法降噪處理建筑物形變觀測數(shù)據(jù)，從而獲得其形變特征。但小波分析存在小波基選取及確定分解級(jí)數(shù)等問題，EMD方法存在端點(diǎn)效應(yīng)與模式混疊等缺點(diǎn)[5]。Wu等[6]通過在原始信號(hào)中添加不同的高斯白噪聲，提出整體經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)方法，減弱了模式混疊現(xiàn)象的影響，但容易產(chǎn)生較大的重構(gòu)誤差；補(bǔ)充整體經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMD)[7]方法盡管提高了完備性和重構(gòu)精度，但由于集成次數(shù)過多導(dǎo)致計(jì)算效率低下。

為解決上述問題，Dragomiretskiy等[8]提出一種新型自適應(yīng)復(fù)雜信號(hào)分解方法——變分模態(tài)分解(VMD)方法，Ram等[9]驗(yàn)證該方法可緩解模態(tài)混疊和邊界效應(yīng)，且在魯棒性、運(yùn)算效率等方面具有明顯優(yōu)勢。同時(shí)，根據(jù)樣本熵(SE)能夠反映時(shí)間序列復(fù)雜程度的特性，本文將其與VMD結(jié)合形成一種應(yīng)用于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的新降噪方法，并通過仿真算例和工程實(shí)例驗(yàn)證了VMD-SE方法的有效性。

1 算法原理

1.1 VMD算法

不同于EMD方法對(duì)信號(hào)的剝離，VMD算法是通過設(shè)置模態(tài)數(shù)k、懲罰參數(shù)α和上升步長τ等參數(shù)將信號(hào)分解成k個(gè)中心頻率為ωk的模態(tài)函數(shù)uk，其實(shí)質(zhì)為變分問題的構(gòu)造和求解。VMD算法構(gòu)造的約束變分問題可表示為：

(1)

式中，f為原始信號(hào)，uk為模態(tài)函數(shù)，ωk為各模態(tài)的實(shí)際中心頻率，e-jωkt為每個(gè)解析信號(hào)的預(yù)估中心頻率。

為求解該約束變分模型的最優(yōu)解，引入拉格朗日乘子λ(t)和二次懲罰因子α，使其轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束變分問題，得到增廣拉格朗日表達(dá)式為：

L({uk},{ωk},λ)=

(2)

采用交替方向乘子算法，通過迭代更新求得增廣拉格朗日表達(dá)式的鞍點(diǎn)，即為式(1)最優(yōu)解。

1.2 樣本熵

針對(duì)VMD算法不能判定噪聲主導(dǎo)的帶限固有模態(tài)函數(shù)(BIMF)的問題，利用樣本熵(SE)能夠反映信號(hào)復(fù)雜程度的特性，將其作為判斷噪聲信號(hào)與監(jiān)測數(shù)據(jù)有用信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)，有效識(shí)別形變監(jiān)測數(shù)據(jù)有用成分與噪聲成分的分界。樣本熵的計(jì)算過程[10]為：

1)對(duì)于長度為N的監(jiān)測數(shù)據(jù)信號(hào)x(i)，按順序構(gòu)建m維矢量Xi：

Xi=[x(i)x(i+1)…x(i+m-1)]，

i=1,2,…,N-m+1

(3)

0

(4)

(5)

(6)

5)更新維數(shù)，令m=m+1，并重復(fù)上述步驟，即可得到Cm+1(r)。

6)理論上，此時(shí)的樣本熵為：

(7)

當(dāng)N為有限數(shù)時(shí)，式(7)可表示為：

lnCm(r)-lnCm+1(r)

(8)

其中，參數(shù)m及r的設(shè)定會(huì)對(duì)樣本熵(SE)的值產(chǎn)生較大影響，一般令m=2，r取原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差(SD)的0.1～0.25倍[11]，本文取0.15倍。SE值越大反映信號(hào)的隨機(jī)程度越高，包含的噪聲成分越多；相反，SE值越小說明信號(hào)的規(guī)律性越強(qiáng)，包含的噪聲成分越少[12]。

為能較為準(zhǔn)確地判斷出噪聲分量與有用信號(hào)分量的界線，閾值的設(shè)定尤為重要。文獻(xiàn)[12]中將SE閾值設(shè)定為0.2，用于區(qū)分微地震信號(hào)與噪聲的分界，取得了不錯(cuò)的效果。但閾值設(shè)置得過小易將有效分量誤判為噪聲分量，導(dǎo)致過度降噪使信號(hào)失真；反之，若閾值設(shè)置過大也可能對(duì)降噪結(jié)果產(chǎn)生不利影響?？紤]到不同變形體的變形規(guī)律差異較大，同時(shí)為提高方法的適用性，本文將SE閾值設(shè)定為0.5，以盡可能避免有用的非線性變形特征信號(hào)被劃分為噪聲信號(hào)而遭濾除。

1.3 基于VMD算法的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)降噪

1)設(shè)置VMD算法的相關(guān)參數(shù)，如模態(tài)數(shù)k、懲罰因子α及上升步長τ等；

2)原始觀測數(shù)據(jù)經(jīng)VMD算法分解為k個(gè)BIMF，并計(jì)算各BIMF的樣本熵；

3)將樣本熵大于設(shè)定閾值的高頻BIMF作為隨機(jī)噪聲成分進(jìn)行濾除；

4)重構(gòu)剩余的BIMF，獲得降噪處理后的觀測數(shù)據(jù)序列。

2 仿真模擬信號(hào)分析

變形監(jiān)測信號(hào)包含多種噪聲，且頻率分布范圍較廣，為保證與實(shí)際情況相符，構(gòu)造復(fù)合仿真信號(hào)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。仿真信號(hào)的采樣頻率為1 Hz，采樣個(gè)數(shù)為1 024，包括3個(gè)周期項(xiàng)和1個(gè)趨勢項(xiàng)及隨機(jī)噪聲項(xiàng)(圖1)，其表達(dá)式為：

圖1 仿真信號(hào)Fig.1 Simulation signal

Y=4sin(2πt/500)+3sin(2πt/200)+

2sin(2πt/40)+0.001t+noise

(9)

為更好地展現(xiàn)本文方法的降噪效果，分別設(shè)置3組標(biāo)準(zhǔn)差噪聲水平為0.5、1.0和1.5的高斯白噪聲數(shù)據(jù)，并設(shè)置4種實(shí)驗(yàn)方案：方案1，未對(duì)噪聲進(jìn)行任何處理；方案2，采用EEMD方法降噪；方案3，采用CEEMD方法降噪；方案4，采用本文提出的VMD-SE方法降噪。為對(duì)比分析不同算法的處理效果，選用信噪比(SNR)和平滑度(r)[13]指標(biāo)進(jìn)行降噪質(zhì)量評(píng)價(jià)：

(10)

(11)

實(shí)際變形觀測數(shù)據(jù)中有用成分和噪聲的功率均未知，采用信噪比進(jìn)行降噪質(zhì)量評(píng)價(jià)是不合理的，因此引入降噪誤差比(dnSNR)[14-15]評(píng)價(jià)降噪性能，其表達(dá)式為：

(12)

式中，Ps+n為含噪序列功率，Pg為濾除的噪聲功率。

一般認(rèn)為，SNR越高降噪質(zhì)量越好，dnSNR及r的值越小降噪效果越顯著。EEMD方法及CEEMD方法降噪的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別噪聲分量與有效信號(hào)分量的分界，本文采用相關(guān)系數(shù)法[16-17]確定信噪分界。首先計(jì)算各階IMF與原始信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，然后尋找相關(guān)系數(shù)首個(gè)極小值出現(xiàn)的第k個(gè)IMF，將前k個(gè)IMF視為噪聲IMF，最后從k+1個(gè)IMF開始重構(gòu)，即可獲得降噪后的信號(hào)序列。

EEMD方法及CEEMD方法的基本參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)[6]，VMD算法中模態(tài)數(shù)k為10(與EEMD模態(tài)個(gè)數(shù)保持一致)，懲罰參數(shù)α為3 000，上升步長τ為0。圖2為加入不同標(biāo)準(zhǔn)差噪聲的仿真信號(hào)經(jīng)VMD法分解后各BIMF的樣本熵。

圖2 不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差下各BIMF樣本熵Fig.2 Sample entropy of each BIMF with different noise standard deviations

由圖2可以看出，在不同噪聲水平下，BIMF1和BIMF2的樣本熵值均小于0.5，對(duì)應(yīng)為低頻有用信號(hào)分量；而BIMF3～BIMF10的SE值均大于0.5，對(duì)應(yīng)為高頻噪聲或虛假模態(tài)分量。限于篇幅，本文僅給出噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.5時(shí)采用4種方案處理后獲得的結(jié)果與不含噪聲的仿真信號(hào)殘差，結(jié)果見圖3。表1統(tǒng)計(jì)了不同噪聲水平下EEMD、CEEMD及VMD-SE方法的SNR、r及dnSNR值。

圖3 4種方案降噪后信號(hào)與不含噪聲的仿真信號(hào)的殘差Fig.3 Residuals of the noise-reduced signals and simulated signals without noise of the four schemes

由圖3可知，經(jīng)EEMD與CEEMD降噪處理后的信號(hào)與原始參考信號(hào)相比存在一定偏差，CEEMD的整體降噪效果略優(yōu)于EEMD，而采用VMD-SE處理后的信號(hào)與原始參考信號(hào)的偏差最小。從表1可以看出，在相同噪聲水平下，本文方法的SNR值高于EEMD方法和CEEMD方法，平滑度r和dnSNR值也均小于其他兩種方法，說明在不同噪聲水平下本文提出的新方法的降噪性能具有一定優(yōu)勢。

表1 3種方案降噪評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.1 Comparison of noise reduction evaluation indexes of the three schemes

3 實(shí)例與分析

某地鐵車站基坑由于受到各種不確定因素的影響，如毗鄰眾多建筑物、場地屬于不良地質(zhì)及施工范圍內(nèi)的城市地下綜合管線錯(cuò)綜復(fù)雜等，施工安全問題非常突出，需隨時(shí)掌握基坑的動(dòng)態(tài)變化。選取2015-08～2019-04期間沉降監(jiān)測點(diǎn)M17的45期觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)[18]，變形曲線見圖4。

圖4 監(jiān)測點(diǎn)M17沉降變形曲線Fig.4 Settlement deformation curve of monitoring point M17

由圖4可知，該車站基坑沉降實(shí)測數(shù)據(jù)存在較為明顯的隨機(jī)性和不規(guī)則性。由于基坑在開挖過程受各種干擾因素的影響，觀測數(shù)據(jù)中包含一定的隨機(jī)噪聲，若直接采用原始觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析和預(yù)測，預(yù)測效果往往不佳。這是由于觀測噪聲會(huì)對(duì)建模和預(yù)測產(chǎn)生較大的干擾，因此需要對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行降噪處理，提高監(jiān)測數(shù)據(jù)的質(zhì)量，進(jìn)而提高變形預(yù)測的精度。

分別采用EEMD、CEEMD及VMD-SE方法對(duì)車站基坑沉降序列進(jìn)行降噪處理，其中EEMD和CEEMD方法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置與仿真實(shí)驗(yàn)一致。由于車站基坑沉降序列的信噪比較大，EMD法分解后得到的第1階IMF就包含了絕大部分的噪聲，從第2階IMF開始重構(gòu)獲得降噪后序列[16]。同理，采用EEMD和CEEMD方法進(jìn)行處理時(shí)，也均從第2階IMF開始重構(gòu)序列，獲取降噪后序列。利用VMD法對(duì)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行分解時(shí)，設(shè)置模態(tài)數(shù)k為5(與EEMD分解模態(tài)個(gè)數(shù)保持一致)；對(duì)于二次懲罰參數(shù)α，考慮到基坑序列的噪聲水平，同時(shí)顧及分解之后序列的保真度[19]，經(jīng)過反復(fù)試算，最終確定為0.08，上升步長τ為0。VMD結(jié)果見圖5，各個(gè)BIMF的樣本熵見圖6。

圖5 基坑沉降觀測數(shù)據(jù)VMD結(jié)果Fig.5 VMD results of foundation pit settlement observation data

由圖5和圖6可以看出，VMD方法將基坑沉降時(shí)間序列分解成5個(gè)由低頻至高頻的BIMF分量，BIMF1的樣本熵值為0.10，其整體趨勢與原始監(jiān)測數(shù)據(jù)基本保持一致；而BIMF2～BIMF5則表現(xiàn)出較強(qiáng)的隨機(jī)性，對(duì)應(yīng)的樣本熵值均大于0.5，將其作為噪聲剔除，以抑制隨機(jī)噪聲對(duì)真實(shí)數(shù)據(jù)的干擾。表2為基于不同方法的降噪性能評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比。

圖6 各個(gè)BIMF的樣本熵Fig.6 Sample entropy of each BIMF

表2 降噪性能評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.2 Evaluation index of noise reduction performance

由表2可知， VMD-SE降噪方法的平滑度r和dnSNR值均小于另外兩種方法，表明新方法的降噪效果最佳。為進(jìn)一步反映各方法的降噪效果，分別將未經(jīng)降噪和采用不同方法降噪后獲得的前10期沉降觀測數(shù)據(jù)利用高斯過程回歸[20](GPR)建立滾動(dòng)預(yù)測模型，以11～45期監(jiān)測數(shù)據(jù)作為測試樣本數(shù)據(jù)，用于驗(yàn)證各個(gè)預(yù)測模型的精度。各方法的預(yù)測結(jié)果見圖7，精度評(píng)定見表3。

圖7 各方法的預(yù)測結(jié)果Fig.7 Forecast results of each method

表3 預(yù)測精度評(píng)定Tab.3 Evaluation of prediction accuracy

由圖7可以看出，GPR模型采用未經(jīng)降噪處理的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練及預(yù)測，預(yù)測結(jié)果的波動(dòng)性較大；EEMD-GPR和CEEMD-GPR模型去除了一部分觀測噪聲，預(yù)測精度有一定的提高，且CEEMD-GPR模型的預(yù)測性能優(yōu)于EEMD-GPR模型；VMD-SE-GPR模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)最為接近，與表3的統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致，且與文獻(xiàn)[18]的WEPM模型相比，預(yù)測結(jié)果的均方根誤差(RMSE)僅為0.44 mm，減小了66.4%。同時(shí)與其他方法相比，VMD-SE-GPR模型的預(yù)測精度評(píng)定指標(biāo)均為最優(yōu)，RMSE分別減小了47.6%、38%和18.5%，表明該模型的整體預(yù)測精度最高，進(jìn)一步驗(yàn)證了VMD-SE方法的降噪質(zhì)量最好，在盡可能保證原始監(jiān)測數(shù)據(jù)有用成分的基礎(chǔ)上最大限度地濾除了噪聲。

4 結(jié) 語

本文依據(jù)變分模態(tài)分解和樣本熵各自的優(yōu)勢，提出VMD-SE變形監(jiān)測數(shù)據(jù)降噪方法，并通過仿真算例對(duì)比分析其信噪比、平滑度、降噪誤差比等指標(biāo)，證實(shí)該方法降噪性能優(yōu)于EEMD方法和CEEMD方法。同時(shí)，利用本文方法處理地鐵車站基坑變形觀測數(shù)據(jù)，降低了隨機(jī)噪聲信號(hào)的干擾影響，有效改善了數(shù)據(jù)質(zhì)量，使預(yù)測精度得到較大提高，對(duì)形變分析具有一定的參考意義。但VMD中分解模態(tài)個(gè)數(shù)k和二次懲罰參數(shù)α的預(yù)設(shè)均會(huì)影響最終的分解結(jié)果，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中如何獲取k和α的最佳參數(shù)組合，從而得到最優(yōu)的分解結(jié)果，值得進(jìn)一步深入研究。