巧用數(shù)學(xué)史厘清數(shù)學(xué)概念
——以“小數(shù)的初步認識”為例

廣州市白云區(qū)三元里小學(xué) 崔婉婷

一、追根溯源，解答疑惑

三年級學(xué)生對小數(shù)是初步感知，小數(shù)意義學(xué)習(xí)教材出現(xiàn)在四年級下冊，這里學(xué)生只是對小數(shù)有個初步認識。教材說，像3.45、0.85、2.60、36.6、1.2 和1.5這樣的數(shù)叫作小數(shù)。學(xué)生對此有疑惑，為什么不可以叫作點數(shù)？圓數(shù)呢？利用三年級學(xué)生喜歡聽故事的特點，筆者從講數(shù)學(xué)家劉徽的故事引入。劉徽在《九章算式注》提出整數(shù)個位以下無法標注出名稱的部分就叫作微數(shù)。宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》還記錄了小數(shù)的計算；到了公元13世紀，元代數(shù)學(xué)家朱世杰提出了小數(shù)這個名稱；同年代數(shù)學(xué)家劉瑾用減低一行的方法表示小數(shù)部分。中國最早提出小數(shù)表示方法，故事的引入能讓學(xué)生感受小數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展是經(jīng)過漫長時間的，同時能感受到數(shù)學(xué)家的艱辛和偉大。

讓學(xué)生閱讀課本，操作并思考：1）.擺一擺學(xué)具：像古代時候那樣擺小棒表示出小數(shù)“3.12”。2.在本子上用圖形畫出“3.12”。3）.小數(shù)3.12跟古代用小棒表示相比較，它們之間有什么聯(lián)系嗎？4）.用小數(shù)點表示“3.12”優(yōu)勢在哪里？

讓學(xué)生在思考中閱讀。第一個要求：讓學(xué)生用小棒擺出“3.12”，在擺的過程中，學(xué)生會很刻意地把小數(shù)部分“0.12”下移，突出體現(xiàn)了整數(shù)部分和小數(shù)部分的不同。第二個要求：讓學(xué)生畫出“3.12”，學(xué)習(xí)能力中等或以下的學(xué)生基本是按照古代表示方法那樣畫出小棒。學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生或者預(yù)習(xí)過課本內(nèi)容的學(xué)生會用正方形和長方形來表示。在學(xué)生畫“3.12”的過程中，可以讓學(xué)生初步體驗十進制計數(shù)法。第三個要求：在找出古代和現(xiàn)在表示小數(shù)方法的聯(lián)系中激活學(xué)生相關(guān)經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)，讓學(xué)生感悟小數(shù)的含義。第四個要求：用小數(shù)點來表示“3.12”的優(yōu)勢，學(xué)生都善于發(fā)現(xiàn)更簡潔也更能表示出數(shù)位之間的關(guān)系，體驗到數(shù)學(xué)的發(fā)展，從而明白：小數(shù)點是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而出現(xiàn)的。

二、博古通今，明晰概念

教師結(jié)合義務(wù)教育教科書三年級下冊第92 頁例1 的教學(xué)進行分析，設(shè)計“量身高”情境幫助學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)。前面學(xué)生對小數(shù)已經(jīng)有了初步感知，那么怎樣把1米3分米改寫為以米為單位的數(shù)呢？

學(xué)生展示的結(jié)果如下：13 米、1.3 米、1.03 米、13米（把3下沉一行，仿照古人寫法）、1，3米、1 3米，還有的學(xué)生用圖畫出來等。顯然學(xué)生會把米和分米間隔開，1.3米和13米（把3下沉一行，仿照古人寫法）的表示方法能夠明顯體現(xiàn)數(shù)位之間的關(guān)系。

觀察并思考：1）.同學(xué)們表示1米3分米的這些結(jié)果，哪些是合理的，為什么？2）.合理表示出1米3分米的結(jié)果中，你認為方便書寫和理解的是哪一個？3）.根據(jù)米和分米的關(guān)系來說一說寫出的小數(shù)的含義。

思考的第一個問題，“1.03”的“0”很難找出合理的解釋來說明這種寫法的含義，13米顯然是錯誤的，這兩種都被公認地剔除。在思考第二個問題中，學(xué)生認為各自的書寫都很方便，此時恰當?shù)卮┎鍞?shù)學(xué)史。1530年德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颍–hristoff Rudolff）表示小數(shù)是用一豎間隔開，按照他的表示方法來寫例1的小數(shù)就是13，跟我們班同學(xué)1 3米表示方法只是實線和虛線的區(qū)別，趁機表揚學(xué)生善于思考。

1585 年荷蘭的斯提文（Simon Steuin）提出了小數(shù)記法，用他的表示法來記錄我們學(xué)習(xí)的例題是：13①，容易理解但是書寫不夠方便。最早使用小數(shù)點是克拉維斯（Chris-topher Clavius）1593 年在《星盤》中使用了，1608 年在《代數(shù)學(xué)》明確地以小數(shù)點作為整數(shù)部分與小數(shù)部分的分界。1614年英國的納皮爾（John Napier）在算籌用逗號隔開：“1，3”，跟我們學(xué)生展示結(jié)果中不謀而合。到了19 世紀末，有很多種不同的小數(shù)記法展示給學(xué)生閱讀了解，比如：1 3 、1’3、1 3、1，3、1’3、1‘3 、1 3、1，3、1.3等表示“1.3”這個小數(shù)。學(xué)生在了解歷史及國內(nèi)外表示小數(shù)寫法中提高對小數(shù)本質(zhì)的認知，感受了小數(shù)的演變和發(fā)展史。

第三個問題是讓學(xué)生進一步認識小數(shù)的含義，讓學(xué)生回憶“130”、“13”這兩個數(shù)中“1”和“3”分別表示的含義，猜想“1.3”小數(shù)中“3”所表示的含義。同一個數(shù)字“3”，在不同的數(shù)位表示的含義是不同的，思考：“3”在個位上是表示3個一，當“3”在個位后面一個位置（數(shù)位）又表示什么呢？

為了讓學(xué)生理解十進制計數(shù)法，教師穿插一個古時候的故事：據(jù)說有兩支隊伍打仗，勝利方清點俘虜，用1 個指頭代表1個俘虜，2個指頭代表2個俘虜……十個手指用完了，俘虜還沒有數(shù)完，怎么辦呢？于是就想到把數(shù)過的十個俘虜放在一邊，用一根繩子捆起來打一個結(jié)，這個結(jié)表示10個俘虜。然后接著數(shù)，一個結(jié)一個結(jié)地打下去，就可以數(shù)有多少個俘虜了。古今中外有二進制、六十進制，沿用至今是十進制，引導(dǎo)學(xué)生自行查閱學(xué)習(xí)。

三、巧用數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)思想

本文在小數(shù)概念教學(xué)中多處滲透符號思想。教材第99頁“你知道嗎？”出現(xiàn)了古代用小棒表示小數(shù)的方法，這就是最早的用符號來記錄小數(shù)的語言和要表達的思想。前面例1所述安排學(xué)生用合適的方式表示1米3分米，學(xué)生結(jié)合知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)歷思考后把他所理解的小數(shù)含義用各種符號呈現(xiàn)出來。比如：13 米、1.03 米、13米、1.3 米、1 3 米以及從古至今、國內(nèi)國外表示小數(shù)的方法：1 3 、1’3、1.3、1’3、1‘3、13 、1，3、1.3、1.3、1，3 等，雖然符號不同，但都用特定的符號表示了小數(shù)的寫法，展示了小數(shù)的歷史，建立了學(xué)生的符號意識。

通過例1 認識小數(shù)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。在線段圖中表示同一個位置可以用3分米、十分之三米，也可以用0.3米表示，在學(xué)習(xí)中感受轉(zhuǎn)化思想有利于學(xué)生后期的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)承載著訓(xùn)練學(xué)生思維的任務(wù)，我們還要認識到學(xué)科知識的學(xué)習(xí)、能力的培養(yǎng)固然重要，但是在學(xué)習(xí)知識中積淀數(shù)學(xué)思想方法更是不可或缺的寶貴財富。

課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)史，幫助學(xué)生厘清概念，能使教學(xué)形式更豐富。教師可以通過講故事、了解數(shù)學(xué)史料、經(jīng)典數(shù)學(xué)問題解決、小比賽，讓學(xué)生置身于歷史情境中，復(fù)原古人解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生體驗成功的喜悅，充滿自信。本文以一節(jié)概念課教學(xué)為例進行探索，旨在使課堂教學(xué)中教師備課視野可以更廣、更深入些，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識中積淀數(shù)學(xué)思想，以獲得更大的收獲。與此同時，教師在備課中要尋根追源，查閱資料，閱讀文獻，促使學(xué)科專業(yè)知識水平得到相應(yīng)的提升。