2020年高考全國卷Ⅰ理綜第18題的多種解法比較*

陳新光

(福建師范大學(xué)附屬中學(xué) 福建 福州 350007)

葛淵波

(福州第三中學(xué) 福建 福州 350003)

謝源浩

(福建師范大學(xué)附屬中學(xué) 福建 福州 350007)

1 原題呈現(xiàn)

【題目】一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1中虛線所示，ab為半圓，ac，bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率．不計粒子之間的相互作用．在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子，其運(yùn)動時間為( )

圖1 高考原題題圖

2 試題分析

本題主要考查知識點是不同速率的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的偏轉(zhuǎn)情形，結(jié)合有界磁場邊界(半圓形)，要求學(xué)生分析粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間，對學(xué)生的批判性思維能力要求頗高，具有較好的區(qū)分度．本文先給出網(wǎng)絡(luò)上普遍的分析方法(解法1)，再推導(dǎo)得到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摫磉_(dá)式(解法2)，最后通過知識遷移、模型轉(zhuǎn)化，給出巧妙解法(解法3)．

解法1：放縮圓法

圖2 放縮圓法示意圖

粒子運(yùn)動最長時間為

選項C正確．

解法2：解析法

由于當(dāng)r≤0.5R和r≥1.5R時，粒子運(yùn)動時間都是半個周期，學(xué)生容易想到，在此不再贅述．重點考慮當(dāng)0. 5R

圖3 解析法示意圖

令

且由

0. 5R

可知，x的取值范圍為0.5

從表達(dá)式可以看出，當(dāng)x=1時，表達(dá)式f(x)有最小值，角度φ有最大值．

當(dāng)f(1)=0.5時，cosφ=0.5，在本題中φ=60°，即粒子在磁場中運(yùn)動軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角度為θ=π+φ=240°．

解法3：圖像法

基礎(chǔ)模型——單邊界磁場模型：如圖4所示，當(dāng)帶電粒子從M點以π-φ角度入射到MN上半?yún)^(qū)為勻強(qiáng)磁場的區(qū)域中，從N點離開磁場．根據(jù)圓的對稱性，在磁場中運(yùn)動轉(zhuǎn)過的圓心角θ=2(π-φ)．

圖4 粒子在單邊界磁場中運(yùn)動示意圖

對于本題，由于不同速度粒子都是在磁場中運(yùn)動，可以理解為固定c點與離開磁場邊界點連線的單邊界模型，如圖5所示，cN,cP和cQ分別為3個單邊界磁場模型．從圖中可以明顯看出，當(dāng)cP與圓邊界相切時，邊界線的偏離角度最大，即相對cP單邊界而言，速度入射方向與邊界cP的夾角最大，進(jìn)而可知軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角最大．

圖5 轉(zhuǎn)動單邊界法示意圖

3 總結(jié)

對比3種解法，解法1是較為常規(guī)，是絕大多數(shù)學(xué)生能夠想到的方法，也是平時教學(xué)中要求重點掌握的方法．但是，在卷面上手動畫放縮圓比較困難，軌跡轉(zhuǎn)過圓心角的最大值不易找到；解法2從物理模型中得到圓心角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從公式中得到圓心角的最大值，方法嚴(yán)謹(jǐn)，但步驟繁瑣，對數(shù)學(xué)計算能力要求極高；解法3利用知識遷移，把帶電粒子在單邊界磁場中運(yùn)動的相關(guān)結(jié)論遷移到本題解題中，由圓心角的判斷轉(zhuǎn)化為磁場邊界角的判斷，角度變化趨勢直觀，計算簡單，是考試和平時學(xué)習(xí)中最佳選擇方法．

以上僅是筆者的一些拙見，還請同行批評指正．