電動(dòng)力學(xué)課程的MATLAB輔助教學(xué)探索與實(shí)踐*

賀夢冬 陳葛銳 劉凌虹 李建波 李澤軍 彭小芳 張 寧

(中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院 湖南 長沙 410004)

1 引言

電動(dòng)力學(xué)既是物理類專業(yè)必修的一門支柱性課程，也是電子類、電氣類等專業(yè)的一門重要學(xué)科基礎(chǔ)課．該課程運(yùn)用的分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比等思維方法，對學(xué)生學(xué)科知識體系的建立、思維能力的提升以及探索精神與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)發(fā)揮著極其重要的作用．然而，電動(dòng)力學(xué)涉及高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理方法、電磁學(xué)等課程知識，具有概念深?yuàn)W抽象、理論性強(qiáng)、公式推演繁多等特征， 是一門典型的難教、難學(xué)的理論性課程．“課堂上似懂非懂，課后做題無從下手”是電動(dòng)力學(xué)教學(xué)過程中一種比較普遍的現(xiàn)象[1]．近年來，人們在教學(xué)內(nèi)容、方法、手段以及課程考核方式等方面進(jìn)行了一些改革與探索．通過運(yùn)用信息技術(shù)手段、開展多元化的教學(xué)模式、重構(gòu)知識體系、分層教學(xué)等多種舉措，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而達(dá)到改善課堂教學(xué)效果的目的[2～5]．但從目前課堂教學(xué)的實(shí)際情況來看，依然存在著教學(xué)效率低下的問題．

Matlab是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件．作為一款集科學(xué)計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號處理與通訊、圖像處理、動(dòng)態(tài)仿真等功能于一體的交互式程序仿真開發(fā)工具，Matlab具有計(jì)算能力強(qiáng)、繪圖功能強(qiáng)、模塊工具豐富等優(yōu)點(diǎn)[6]，為電動(dòng)力學(xué)教學(xué)改革提供了新的平臺與契機(jī)．通過Matlab軟件編程計(jì)算，可以在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜微積分高效率、高精度數(shù)值計(jì)算的同時(shí)，能以可視化手段邏輯地將物理概念、公式及規(guī)律展現(xiàn)在我們面前，有助于學(xué)生獲得感性認(rèn)識，發(fā)展其觀察力和形象思維，并為形成正確而深刻的理性認(rèn)識奠定基礎(chǔ)．近年，我們把Matlab軟件工具引進(jìn)課堂教學(xué)，并圍繞Matlab輔助教學(xué)與課堂教學(xué)有機(jī)結(jié)合進(jìn)行了一系列的探索和實(shí)踐．

2 借助Matlab數(shù)值計(jì)算能力 檢驗(yàn)和驗(yàn)證公式

面對電動(dòng)力學(xué)中繁雜冗長的公式，學(xué)生難以理解與接受的同時(shí)，甚至還心存質(zhì)疑．此時(shí)，不妨為學(xué)生創(chuàng)造主體參與的教學(xué)環(huán)境，使學(xué)生通過動(dòng)手、動(dòng)腦的活動(dòng),學(xué)習(xí)知識,發(fā)展能力以及體驗(yàn)成功．例如，與學(xué)生一道檢測電偶極子與電四極子遠(yuǎn)處激發(fā)勢的近似表達(dá)式．僅從表達(dá)式，我們是無法估計(jì)其可靠性與精確度的．借助Matlab軟件，可解決該問題．首先，建立坐標(biāo)系．電偶極子與電四極子系統(tǒng)沿直角坐標(biāo)系z軸放置(系統(tǒng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，偶極子系統(tǒng)正、負(fù)電荷之間的距離設(shè)置為3個(gè)單位長度，電四極子系統(tǒng)負(fù)、正電荷距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離分別設(shè)置為1個(gè)和2個(gè)單位長度)．然后，根據(jù)激發(fā)勢的解析式，利用Matlab編寫M文件，數(shù)值求解電偶極子與電四極子產(chǎn)生的勢(近似值)．與此同時(shí)，采用點(diǎn)電荷系的電勢公式計(jì)算空間場點(diǎn)位置的電勢(實(shí)際值)．最后，運(yùn)行M文件，對比近似值與實(shí)際值．結(jié)果顯示，利用上述近似公式計(jì)算z軸上距離偶極子(電四極子)中心6，30與90個(gè)單位長度處的電勢所產(chǎn)生的相對誤差分別為2.78%(13.6%)、0.11%(0.56%)以及0.012%(0.062%)，電四極子與電偶極子在上述3個(gè)場點(diǎn)處的電勢比值分別為56.3%，10.0%和3.3%．若場點(diǎn)不在z軸上，同樣可求得兩系統(tǒng)激發(fā)勢及其誤差．上述數(shù)據(jù)表明，電偶極子與電四極子系統(tǒng)在遠(yuǎn)處的激發(fā)勢近似公式是有效的．學(xué)生經(jīng)歷建模、編程、程序運(yùn)行、檢驗(yàn)與驗(yàn)證等過程，在加深對近似公式理解的同時(shí)，還會(huì)對電荷體系多極展開式產(chǎn)生興趣．由此，鼓勵(lì)學(xué)生去實(shí)踐驗(yàn)證教材中其他重要的解析式，如通電直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式、電偶極輻射場公式等．

上述途徑可以幫助學(xué)生從煩瑣的演算中解放出來，把注意力放在物理概念與規(guī)律的理解上．學(xué)生在操作中體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自信心，破除了上課單調(diào)、枯燥乏味、公式深?yuàn)W難懂等消極畏難情緒．有了學(xué)生的參與，課堂不再沉悶，學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情得以激發(fā)，師生、生生之間的互動(dòng)頻次大幅提高，學(xué)生推導(dǎo)公式、建模與編程能力得到提升．近3年，每位學(xué)生都參與了公式推導(dǎo)、方程求解、建模及編程的過程，整合學(xué)生自編Matlab程序達(dá)到60余個(gè)．有3位學(xué)生選擇教材公式與方程的數(shù)值求解作為畢業(yè)論文的主要內(nèi)容，其中獲校優(yōu)秀畢業(yè)論文1篇．3位學(xué)生在物理與數(shù)學(xué)建模競賽中獲省級以上獎(jiǎng)勵(lì)．

3 基于Matlab繪圖與動(dòng)畫功能 實(shí)現(xiàn)電磁場的可視化與仿真模擬

基于Matlab的電磁場可視化與仿真模擬能夠直觀、形象地為學(xué)生提供感性材料，豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，從而縮小理論與實(shí)際的差距．電磁場的可視化使學(xué)生不會(huì)覺得概念、公式與規(guī)律枯燥無味、無用，往往會(huì)驅(qū)動(dòng)他們?nèi)プ犯菰矗旅嬉詫?dǎo)體球置于均勻外電場中為例予以說明．

基于導(dǎo)體球泊松方程的電勢解以及表面自由電荷面密度解析式，我們采用Matlab軟件繪制了導(dǎo)體球附近的電場圖(圖1，外電場沿x軸的正方向)．圖1(a)為電場分量Ex的分布圖，其電場分布具有左右對稱性，導(dǎo)體球左右兩端處的場強(qiáng)最大．根據(jù)電磁場邊值關(guān)系式n·(D2-D1)=σ，可推斷導(dǎo)體球左、右表面分別分布有負(fù)感應(yīng)電荷和正感應(yīng)電荷，而且左右端電荷面密度最大．可用同樣的方法分析電場分量Ey分布圖[圖1(b)]．綜合圖1(a)與圖1(b)，可得到結(jié)論：球左右兩端處的電荷密度最大，偏離兩端越遠(yuǎn)的球面處的電荷密度越小，球上下兩端處無電荷分布．導(dǎo)體球附近總電場E的分布如圖1(c)所示，球內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，球表面左右兩端電場分布最強(qiáng)．

圖1 置于均勻外電場中的導(dǎo)體球附近的電場分布圖

麥克斯韋方程組是電動(dòng)力學(xué)的核心內(nèi)容之一．學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)既要弄清楚矢量與微積分運(yùn)算的數(shù)學(xué)意義，更要弄清楚電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律．基于時(shí)域有限差分法的基本思想，將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)換成離散的差分形式，然后利用Matlab軟件平臺編譯成相應(yīng)程序，可以實(shí)時(shí)觀測電磁場的變化過程．圖2描繪了不同時(shí)刻金屬顆粒與平面電磁波相互作用的情況(電磁波沿x軸正方向傳播)．

圖2(a)與圖2(b)分別為平面波接觸顆粒前磁場Hz與電場Ey分量的瞬時(shí)分布圖．通過圖像可引導(dǎo)學(xué)生觀察如下特征：磁場Hz與電場Ey同相位、相互垂直，且都與傳輸方向垂直；磁場Hz與電場Ey相差兩個(gè)數(shù)量級．隨著時(shí)間的后推，如圖2(c)所示，電磁波被金屬顆粒散射，由于電磁波與金屬顆粒復(fù)雜作用，顆粒附近電場Ey的分布不再具有平面波特征了．再經(jīng)過一段時(shí)間，如圖2(d)所示，電磁波繞過金屬顆粒繼續(xù)傳播，這就是我們常說的光的衍射現(xiàn)象．

圖2 金屬顆粒與平面電磁波相互作用下的電磁場瞬時(shí)分布圖

就物理本身而言，圖像與動(dòng)畫不僅是一種重要的物理語言，還是一種重要的物理方法[7]，它們與文字、公式等相互轉(zhuǎn)化、相互支撐、相互補(bǔ)充．圖像與動(dòng)畫能有邏輯地把物理概念、規(guī)律全面、生動(dòng)地展現(xiàn)在我們面前．它們較文字、公式更直觀、形象．富有真實(shí)感、啟發(fā)性的圖片和動(dòng)畫能吸引學(xué)生的注意力，這種直觀的知識呈現(xiàn)方式將在一定程度上幫助學(xué)生在對物理知識有清晰認(rèn)識的情況下，較為輕松地掌握相關(guān)概念及規(guī)律[8]，有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思維與激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

4 依托Matlab編程計(jì)算優(yōu)勢 引入學(xué)科前沿知識 組織學(xué)生探究性學(xué)習(xí)

電動(dòng)力學(xué)是一門應(yīng)用非常廣泛并且與學(xué)科前沿研究密切聯(lián)系的課程．而現(xiàn)有教材內(nèi)容與前沿?zé)狳c(diǎn)課題存在一定的距離，若一味地給學(xué)生強(qiáng)調(diào)書本知識，勢必影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力．因此，經(jīng)常給學(xué)生介紹學(xué)科前沿與發(fā)展動(dòng)態(tài)(如光學(xué)異常透射現(xiàn)象、電磁超材料、光子晶體、超導(dǎo)磁懸浮、巨磁電阻效應(yīng)等)，將最新科學(xué)發(fā)現(xiàn)和研究成果引入課堂，可以使學(xué)生明晰電動(dòng)力學(xué)中的電磁場理論是相關(guān)前沿研究領(lǐng)域所必備的基礎(chǔ)知識，由此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和熱情．圖3(a)是光學(xué)異常透射現(xiàn)象的Matlab仿真圖．研究人員發(fā)現(xiàn)對于某些特定入射波長，亞波長金屬孔(尺寸小于入射波長)的光透過率遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)孔徑理論給出的數(shù)值．主要參數(shù)如下：入射波長為870 nm，矩形金屬孔(材質(zhì)為金)的尺寸為300×240 nm2，孔的深度為120 nm．這種光學(xué)異常透射現(xiàn)象在納米光源、成像、光刻等方面有著潛在的應(yīng)用價(jià)值．第二個(gè)案例為超表面實(shí)現(xiàn)聚焦的二維Matlab電磁仿真，如圖3(b)所示．在金屬表面構(gòu)建陣列微納結(jié)構(gòu)(即超表面)，通過單元結(jié)構(gòu)的漸變或指向角空間變化可在超表面上形成相位梯度，原有的斯涅耳定律(即折射定律)需要修訂，從而可實(shí)現(xiàn)對光傳輸方向的任意操控．納米聚焦成像只是超表面主要應(yīng)用領(lǐng)域之一．

圖3 Matlab在學(xué)科前沿中的應(yīng)用

學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)與最新研究成果在開闊學(xué)生視野的同時(shí)，必將激發(fā)學(xué)生的好奇心．結(jié)合實(shí)際，我們可以借機(jī)提供多個(gè)研究性課題或課程論文題目，供學(xué)生自主選擇，然后，組織、引導(dǎo)學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其探索精神與創(chuàng)新能力．基于探究性學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生開展科研創(chuàng)新活動(dòng)．近3年，學(xué)生發(fā)表科研論文2篇，申請發(fā)明專利4項(xiàng)，獲批國家級與省級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目各1項(xiàng)．

5 結(jié)束語

針對電動(dòng)力學(xué)具有的概念抽象、理論性強(qiáng)、公式冗長、計(jì)算繁瑣等課程特點(diǎn)，本文提出利用Matlab軟件進(jìn)行輔助教學(xué)的教改思路．充分發(fā)揮Matlab數(shù)值計(jì)算能力，檢驗(yàn)和驗(yàn)證公式；基于Matlab繪圖與功能，可視化和仿真模擬電磁場；借助Matlab編程計(jì)算優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)．Matlab能化抽象為具體，為學(xué)生提供直觀形象的教學(xué)素材，有益于加深對理論知識的認(rèn)知，幫助學(xué)生跨越理解和想象的障礙．多年教學(xué)實(shí)踐表明，Matlab輔助教學(xué)與傳統(tǒng)理論教學(xué)的有機(jī)融合，使學(xué)生能夠深入理解電磁場的基本屬性、電磁場的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其與物體相互作用的物理過程，可激發(fā)學(xué)生對課程的學(xué)習(xí)興趣，能有效增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，提高課堂教學(xué)效果．在教學(xué)探索與實(shí)踐過程中，學(xué)生取得了不菲的成績，課堂同行評價(jià)與學(xué)生評價(jià)的得分逐年上升．當(dāng)然，我們的工作仍有許多地方需要改進(jìn)，還有許多工作需要進(jìn)一步提高和完善．例如，利用Matlab的GUI功能建設(shè)一套內(nèi)容豐富、交互性強(qiáng)的輔助教學(xué)系統(tǒng)，Matlab輔助教學(xué)手段與分層教學(xué)、線上教學(xué)模式的有機(jī)融合．