基于Twistor的航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)有限時(shí)間姿軌耦合控制

王晨曦，張 勃，白俊強(qiáng)

（1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京100076；2. 西北工業(yè)大學(xué)無人系統(tǒng)技術(shù)研究院，西安710072）

1 引 言

航天器編隊(duì)可以完成單個(gè)航天器難以完成的任務(wù)，將不同的功能模塊分布在不同航天器上，一方面可以增加系統(tǒng)的容錯(cuò)抗災(zāi)能力，另一方面可以降低對(duì)運(yùn)載火箭的要求，降低發(fā)射成本［1］。因此，航天器編隊(duì)飛行技術(shù)一經(jīng)提出，便引領(lǐng)了航天技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，成為研究的熱點(diǎn)。近年來，隨著對(duì)編隊(duì)控制精度要求的不斷提高，六自由度航天器編隊(duì)的姿軌耦合控制技術(shù)得到了廣泛關(guān)注［2-4］。

對(duì)于雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)，采用對(duì)偶四元數(shù)對(duì)航天器的相對(duì)位置和相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)一描述，可以降低六自由度編隊(duì)姿軌耦合控制律的設(shè)計(jì)難度，是近幾年的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［5-6］用對(duì)偶四元數(shù)對(duì)雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的六自由度姿軌耦合相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，在此基礎(chǔ)上分別提出了終端滑?？刂坡珊涂焖俳K端滑模控制律，使航天器編隊(duì)的相對(duì)位置與相對(duì)姿態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到理想值附近，并對(duì)控制律進(jìn)行改進(jìn)，解決了對(duì)偶四元數(shù)的二義性問題。文獻(xiàn)［7］研究了對(duì)偶四元數(shù)描述的雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的六自由度跟蹤控制問題，通過自適應(yīng)律對(duì)系統(tǒng)的未知對(duì)偶參數(shù)和對(duì)偶擾動(dòng)上界進(jìn)行估計(jì)，提出了魯棒自適應(yīng)終端滑?？刂坡?。文獻(xiàn)［8］根據(jù)單位對(duì)偶四元數(shù)描述的單剛體動(dòng)力學(xué)方程，建立單位對(duì)偶四元數(shù)表示的單剛體誤差動(dòng)力學(xué)方程，然后采用反饋線性化方法設(shè)計(jì)了單剛體的位置和姿態(tài)跟蹤控制器，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并引入切換參數(shù)來應(yīng)對(duì)控制過程中可能出現(xiàn)的退繞現(xiàn)象。文獻(xiàn)［9-10］應(yīng)用對(duì)偶四元數(shù)理論，建立了兩個(gè)航天器之間的姿軌耦合相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，基于對(duì)偶四元數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，提出了雙航天器編隊(duì)不依賴于模型的類PD 姿軌耦合控制器。文獻(xiàn)［11］通過引入對(duì)偶濾波器，將對(duì)偶四元數(shù)描述的六自由度剛體的誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性仿射動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了非確定等價(jià)快速自適應(yīng)控制算法，獲得了傳統(tǒng)確定等價(jià)自適應(yīng)算法不能實(shí)現(xiàn)的性能提高?；趯?duì)偶四元數(shù)描述，文獻(xiàn)［12-13］針對(duì)航天器的質(zhì)量和慣性矩陣未知情況，研究了常值未知擾動(dòng)作用下雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的六自由度姿軌耦合控制問題，通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)律估計(jì)未知參數(shù)和擾動(dòng)，提出了自適應(yīng)PD控制律，但是文獻(xiàn)［12］所提出的方法不僅計(jì)算效率更高，而且能夠降低控制能量消耗。文獻(xiàn)［14］基于對(duì)偶四元數(shù)推導(dǎo)了一套撓性航天器的姿軌一體化動(dòng)力學(xué)模型，基于此模型設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)位置姿態(tài)跟蹤控制律，能夠在航天器質(zhì)量特性參數(shù)未知的情況下，對(duì)其位置和姿態(tài)進(jìn)行跟蹤控制，并將控制律應(yīng)用于撓性雙航天器的領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的耦合控制，驗(yàn)證了算法的有效性。文獻(xiàn)［15］應(yīng)用對(duì)偶四元數(shù)，針對(duì)雙航天器的相對(duì)線速度和相對(duì)角速度無法獲得的情況，通過引入一個(gè)線性時(shí)變輔助系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了不依賴線速度和角速度的雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的姿軌耦合跟蹤控制。文獻(xiàn)［16］考慮主從航天器的視線角約束，以及從航天器的慣性特性參數(shù)未知的情況，在對(duì)偶四元數(shù)框架下，采用人工勢(shì)場(chǎng)法對(duì)約束進(jìn)行處理，設(shè)計(jì)非確定等價(jià)自適應(yīng)律估計(jì)航天器的質(zhì)量和慣性矩陣，提出了約束條件下的雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的六自由度控制律。

雖然對(duì)偶四元數(shù)能夠?qū)教炱鞯淖塑夁\(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)一形式的描述，但卻增加了描述航天器運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)變量的維數(shù)，加重了計(jì)算負(fù)擔(dān)；另一方面，由于描述航天器運(yùn)動(dòng)的對(duì)偶四元數(shù)必須為單位四元數(shù)，在有些情況下會(huì)帶來計(jì)算上的困難［17-18］。因此文獻(xiàn)［17］提出了用twistor 描述航天器姿軌運(yùn)動(dòng)的方法，既能實(shí)現(xiàn)姿軌運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一描述，簡(jiǎn)化六自由度控制律的設(shè)計(jì)，又能克服對(duì)偶四元數(shù)的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［18］對(duì)基于twistor 描述的航天器動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了無跡卡爾曼濾波器，克服了以對(duì)偶四元數(shù)為基礎(chǔ)難以設(shè)計(jì)無跡卡爾曼濾波器的困難。針對(duì)模塊化設(shè)計(jì)的航天器，文獻(xiàn)［19］用twistor 描述兩個(gè)模塊之間的相對(duì)位姿運(yùn)動(dòng)，并設(shè)計(jì)了基于twistor 的滑模控制器。文獻(xiàn)［20］將twistor 用于描述小行星探測(cè)器與固連在小行星著陸點(diǎn)的理想坐標(biāo)系之間的相對(duì)位姿關(guān)系，用人工勢(shì)場(chǎng)法處理小行星探測(cè)器著陸過程中的視線角約束和防碰撞約束，提出了滿足視線角約束和防碰撞約束的小行星探測(cè)器軟著陸六自由度控制器。

雖然用twistor 描述航天器的姿軌運(yùn)動(dòng)能夠克服對(duì)偶四元數(shù)描述的一些缺點(diǎn)，但是還尚未有基于twistor 的雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的六自由度姿軌耦合控制器見諸報(bào)道。本文基于twistor 描述的雙航天器相對(duì)姿軌運(yùn)動(dòng)方程，提出twistor 框架下的終端滑?？刂破?，使編隊(duì)航天器的相對(duì)姿軌運(yùn)動(dòng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到理想狀態(tài)。本文首先給出用twistor描述的雙航天器相對(duì)姿軌運(yùn)動(dòng)方程。然后提出twistor 框架下的終端滑模面，基于所提出的終端滑模面設(shè)計(jì)有限時(shí)間收斂的雙航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的六自由度姿軌耦合控制律，并給出有限時(shí)間收斂的證明，接著給出仿真結(jié)果，并進(jìn)行必要的討論與分析，最后給出本文的結(jié)論。

2 航天器相對(duì)姿軌運(yùn)動(dòng)方程

定義地心赤道慣性系為慣性參考系，原點(diǎn)為地心O，OXI軸在赤道面內(nèi)指向春分點(diǎn)，OZI軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合指向北極，OYI軸與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，記地心赤道慣性坐標(biāo)系為FI。固連在跟隨航天器質(zhì)心的本體坐標(biāo)系為FB，坐標(biāo)軸與跟隨航天器的三個(gè)慣性主軸重合，構(gòu)成右手坐標(biāo)系。坐標(biāo)系FD為理想坐標(biāo)系。跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的相對(duì)姿軌運(yùn)動(dòng)可以用坐標(biāo)系FB相對(duì)于坐標(biāo)系FD的相對(duì)位姿運(yùn)動(dòng)表示，用twistor描述為

圖1 坐標(biāo)系定義Fig.1 Definition of coordinate frames

其中，BBD為坐標(biāo)系FB相對(duì)于坐標(biāo)系FD的twistor，

BBD可以用對(duì)偶四元數(shù)表示為［17，20］

qBD為坐標(biāo)系FB相對(duì)于坐標(biāo)系FD的單位對(duì)偶四元數(shù)，詳細(xì)定義見文獻(xiàn)［17，20］。

為了進(jìn)一步明確twistor 與修正羅德里格參數(shù)（MRP）姿態(tài)描述以及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，BBD可以寫作其中即為坐標(biāo)系FB相對(duì)于坐標(biāo)系FD的姿態(tài)MRP，ΠBD定義為

根據(jù)四元數(shù)和對(duì)偶四元數(shù)的定義，BBD與表示同一位姿關(guān)系［17，20］。

3 終端滑?？刂坡?/h2>

為了證明所提出的滑模面和控制律的有限時(shí)間收斂性，首先引入如下引理：

引理1.［21］對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ＞0，0 ＜r＜1，如果系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)V滿足V?(x)+λVr(x)≤0，則系統(tǒng)有限時(shí)間收斂，收斂時(shí)間滿足

引理2.［22］對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ1＞0，λ2＞0，0 ＜r＜1，如果系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)V滿足V?(x)+λ1V(x)+λ2Vr(x)≤0，則系統(tǒng)有限時(shí)間收斂，收斂時(shí)間滿足

本文提出twistor框架下的終端滑模面為

其中，k1=k1r+εk1d，k1r＞0，k1d＞0，0 ＜γ＜1，

對(duì)于滑模面（14），有以下定理：

定理1.對(duì)于航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)相對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（1）（2），滑模面（14）在有限時(shí)間內(nèi)收斂至穩(wěn)定平衡點(diǎn)

證.考慮李雅普諾夫函數(shù)Vs對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

根據(jù)引理1，BBD將在有限時(shí)間Ts內(nèi)收斂到0，Ts滿足

因 此，當(dāng) 時(shí) 間t＞Ts時(shí)，B?BD= 0，由 式（1）得

根據(jù)滑模控制器的設(shè)計(jì)方法，控制量由等效控制和切換控制兩部分構(gòu)成，即

為求得等效控制，首先對(duì)S求導(dǎo)，得

式中：

設(shè)計(jì)趨近律為

其中，k2=k2r+εk2d，k2r＞0，k2d＞0，k3=k3r+εk3d，k3r≥dr，k3d≥dd，dr為擾動(dòng)力的上界，dd為擾動(dòng)力矩的上界。由式（21）可得切換控制項(xiàng)為

定理2.航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)相對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（1）（2）在控制律（18）的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面（14）。

證.考慮李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)V關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得

其中，χ= max(m，λmax(J))，λmax(J)為矩陣J的最大特征值。由于k3r≥dr，k3d≥dd，根據(jù)引理2，閉環(huán)系統(tǒng)將在有限時(shí)間Tr內(nèi)到達(dá)滑模面S= 0，且Tr滿足

證畢。

根據(jù)定理1和定理2可以得到以下推論：

推論1.航天器領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)相對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（1）（2）在控制律（18）的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)BBD、在有限時(shí)間內(nèi)收斂至穩(wěn)定平衡點(diǎn)BBD= 0，= 0。

推論1的證明是顯而易見的，在此略去。

控制律（18）中包含的符號(hào)函數(shù)項(xiàng)sign(BBD)會(huì)導(dǎo)致控制量的抖振，為了消除抖振現(xiàn)象，本文用sigmoid函數(shù)代替sign函數(shù)，sigmoid函數(shù)定義為

其中，Δ ＞0為小常量。

注1. 在控制律的推導(dǎo)過程中，將BBD視為對(duì)偶四元數(shù)，包含8 個(gè)元素，但是BBD4和BBD8始終為0。因此，在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，完全可以忽略BBD4和BBD8，減少計(jì)算量。

注2. 當(dāng)|BBDi|→0 時(shí)，|BBDi|γ-1→+∞，因此由式（19）可知，|BBDi|→0 時(shí)等效控制FBeq奇異。在實(shí)際情況中，可以設(shè)置門限值δ＞0 為一小常量（例如δ= 1× 10-6），當(dāng)|BBDi|≤δ（i= 1，2，3，5，6，7）時(shí)，令|BBDi|γ-1=δγ-1。一旦|BBDi|＞δ，控制律（18）將使BBDi重新進(jìn)入?yún)^(qū)域[-δ，δ]。因此，控制律（18）將使BBDi約束在零點(diǎn)的δ鄰域內(nèi)。

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文提出的方法的正確性，本節(jié)對(duì)所提出的方法進(jìn)行仿真與分析。圖2為坐標(biāo)系關(guān)系。

假設(shè)跟隨航天器相對(duì)于領(lǐng)航航天器的理想位置在領(lǐng)航航天器本體坐標(biāo)系下表示為-rTDT=[12，0，0]Tm，并且跟隨航天器相對(duì)領(lǐng)航航天器保持靜止，即=[0，0，0]Tm/s；跟隨航天器相對(duì)于領(lǐng)航航天器的理想姿態(tài)用四元數(shù)表示為qDT= 0i+0j+ 0.5k- 0.8660，跟隨航天器相對(duì)于領(lǐng)航航天器的理想角速度為=[0，0，0]T°/s。領(lǐng)航航天器的軌道參數(shù)見表1，并且假設(shè)領(lǐng)航航天器的本體坐標(biāo)系始終與當(dāng)?shù)刎Q直當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系重合。

表1 領(lǐng)航航天器軌道參數(shù)Table 1 Orbital elements of the leader spacecraft

跟隨航天器的質(zhì)量m= 50kg，慣量矩陣為J=kg/m2。

跟隨航天器相對(duì)于理想位置的初始位置矢量在跟隨航天器本體坐標(biāo)系中表示為，初始相對(duì)速度為[ 0.1 0.05 -0.2 ]Tm/s，初始相對(duì)姿態(tài)四元數(shù)為qBD(t0)=0.4618i+0.1917j+0.7999k+0.3320，初始相對(duì)角速度為外部擾動(dòng)力和力矩分別為

滑模面參數(shù)設(shè)置為k1= 0.5+ε0.5，γ= 0.8，控制律參數(shù)設(shè)置為k2= 10 +ε20，k3= 0.001+ε0.001。

圖2 領(lǐng)航坐標(biāo)系、理想坐標(biāo)系和跟隨坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.2 Relation between leader frame,desired frame and follower frame

圖3給出了跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的相對(duì)位置變化曲線，可以看到相對(duì)位置的分量都較為平緩地收斂到了0 附近，意味著跟隨航天器運(yùn)動(dòng)到了理想位置并保持在理想位置。圖4 描述了對(duì)應(yīng)的相對(duì)速度變化，從圖中可以看出，相對(duì)速度分量的變化與對(duì)應(yīng)的位置分量的變化一致，驗(yàn)證了twistor描述的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的正確性。

圖3 跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的位置曲線Fig.3 Relative position profiles of the follower spacecraft with respect to the desired frame

圖4 跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的速度曲線Fig.4 Relative velocity profiles of the follower spacecraft with respect to the desired frame

跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的twistor 變化曲線見圖5，各個(gè)分量都精確收斂于零附近，表明跟隨航天器的姿態(tài)與理想坐標(biāo)系的姿態(tài)重合。圖6描述了跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的角速度變化，可以看到，為了較快地減小角度誤差，角速度各個(gè)分量的大小先增大到較大值，然后再緩慢收斂到0附近。

圖5 跟隨航天器相對(duì)理想坐標(biāo)系twistor變化曲線Fig.5 Twistor profiles of the follower spacecraft with respect to the desired frame

圖6 跟隨航天器相對(duì)于理想坐標(biāo)系的角速度曲線Fig.6 Relative angular velocity profiles of the follower spacecraft with respect to the desired frame

圖7和圖8分別給出了控制力和控制力矩的變化曲線。顯然，由于用sigmoid 函數(shù)代替了sign 函數(shù)，控制量并沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，而且所需控制力和控制力矩都比較小，能夠滿足航天器動(dòng)力系統(tǒng)的要求。

圖7 控制力剖面Fig.7 Profiles of the control force

圖8 控制力矩剖面Fig.8 Profiles of the control torque

5 結(jié) 論

本文針對(duì)航天器的六自由度領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)控制問題，采用twistor 對(duì)航天器的六自由度運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，并基于此設(shè)計(jì)twistor 框架下的終端滑?？刂坡?，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)環(huán)境下航天器六自由度領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)的精確控制。通過數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所提出方法的正確性，并得到以下結(jié)論：

（1）基于twistor 的航天器六自由度姿軌耦合相對(duì)運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一描述能夠簡(jiǎn)化航天器六自由度相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制律的設(shè)計(jì)，并且能夠避免傳統(tǒng)歐拉角描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的奇異性問題。

（2）Twistor描述的航天器姿軌運(yùn)動(dòng)方程比對(duì)偶四元數(shù)描述的姿軌運(yùn)動(dòng)方程的維數(shù)低，計(jì)算量小，更適合計(jì)算資源有限的在線計(jì)算。

（3）Twistor 框架下的姿軌耦合終端滑?？刂坡?，在擾動(dòng)環(huán)境下能夠在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)使領(lǐng)航-跟隨編隊(duì)航天器的相對(duì)位置誤差和相對(duì)姿態(tài)誤差收斂到0附近。

（4）基于twistor 的姿軌耦合控制律的設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)潔，可以進(jìn)一步推廣到分布式多航天器編隊(duì)飛行的六自由度控制，是后續(xù)研究的重要內(nèi)容。