基于角動量守恒定律分析固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉(zhuǎn)的影響

李庚偉，張文治，趙子龍

（1.中國地質(zhì)大學（北京）數(shù)理學院，北京100083；2.中國地質(zhì)大學（北京）地球科學與資源學院，北京100083）

0 引言

地球的自轉(zhuǎn)運動可分為：1）相對于慣性空間的運動（歲差章動），它是由日月引力作用在地球赤道隆起部分的結(jié)果；2）相對于地球本體的運動，也就是地極移動（極移）和地球自轉(zhuǎn)速率變化（日長變化）.一般情況下，極移描述的是地球自轉(zhuǎn)軸相對于固體地殼的運動；日長變化則描述的是地球繞瞬時自轉(zhuǎn)軸的自轉(zhuǎn)速率變化［1］.

本文主要研究的是地球自轉(zhuǎn)速率的變化情況，而對此產(chǎn)生影響的因素主要包括外界天體引力導致的地球系統(tǒng)總角動量的變化以及地球表面和內(nèi)部物質(zhì)質(zhì)量遷移所導致的轉(zhuǎn)動慣量的變化.與地月、地日之間的距離相比，暫且可將地球、月球和太陽均看成質(zhì)點，如是便可認為太陽、月球?qū)Φ厍虻暮贤饬貫榱?，即地球自轉(zhuǎn)的角動量守恒.因此本文將重點討論地球表面和內(nèi)部物質(zhì)質(zhì)量遷移對地球自轉(zhuǎn)速率的影響.

固體礦產(chǎn)是指經(jīng)過地質(zhì)成礦作用而形成的、埋藏于地下或分布于地表、呈固態(tài)并具有開發(fā)利用價值的礦物或有用元素的集合體［2］.自工業(yè)革命以來，人類社會便進入了高速發(fā)展階段，對各種固體礦產(chǎn)的需求正在不斷上升.而人類對固體礦產(chǎn)的開采會導致地球的質(zhì)量進行重新分布，從而導致地球繞地軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變，并進而改變地球自轉(zhuǎn)的速率.而一旦地球自轉(zhuǎn)的速率發(fā)生變化，則會導致諸如晝夜時間改變、地表的地質(zhì)作用發(fā)生改變等一系列的全球性環(huán)境問題.

針對地球的自轉(zhuǎn)運動，前人從不同角度分析了影響地球自轉(zhuǎn)速率的因素，如顧震年等于1999年發(fā)表的《海潮模型的比較及海潮對地球自轉(zhuǎn)變化的影響》基于海潮模型研究了海潮對地球自轉(zhuǎn)的影響以及海潮影響地球自轉(zhuǎn)的高頻變化的兩種不同的激發(fā)機制［3］；喻錚錚等于2018年發(fā)表的《地球自轉(zhuǎn)非潮汐變化研究進展》結(jié)合國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，對地球自轉(zhuǎn)非潮汐變化的影響因素進行了較為全面的敘述，主要對陸地水儲量、積雪、冰期后地殼回彈以及太陽活動等影響地球自轉(zhuǎn)的主要非潮汐因素的研究進展作了簡要概述［1］；此外還有秦明等于2018年發(fā)表的《大地震對地球自轉(zhuǎn)的影響》一文基于簡正模和點源位錯兩種不同的理論，應用PREM地球模型，以2000年至今的10個8.3級以上的大地震為例，探究了震源深度變化對地球極移和日長變化的影響［4］.而本文將主要從由于固體礦產(chǎn)的開采而引起地球質(zhì)量的重新分布的角度，來闡述其對地球自轉(zhuǎn)速率的影響.鑒于地球是一個非常復雜的系統(tǒng)，以及采礦過程涉及眾多物理因素后，為方便問題的討論，本文將該實際問題進行了一定程度的理想化，建立了一種可行的數(shù)學模型.在此模型的基礎(chǔ)上進行相應的計算和理論分析，并得出本文的相應結(jié)論.

1 模型

如上所述，為方便問題的討論，本文將做以下的假設(shè)：

（1）將所有礦床均近似為質(zhì)點.即若只考慮其中某一個礦床，則只需考慮該礦床所處的緯度αj（j=2，4，6，……，rad）、礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）hj（j=2，4，6，……，m）、礦床的儲量mj（j=2，4，6，……，kg）、所采的礦石的平均密度為ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）、所采礦石均就地利用.

（2）由于廢棄的礦坑會引起潛在的危險，隨著采礦技術(shù)越來越規(guī)范和先進，采礦結(jié)束后，通常會向礦坑內(nèi)回填適量的某些物質(zhì).不同的采礦點會視具體情況的不同而回填不同的物質(zhì).現(xiàn)假設(shè)某采礦點的回填物為某一性質(zhì)均一的物質(zhì)，其密度為ρi（i=1，3，5，……，kg/m3），其質(zhì)量為mi（i=1，3，5，……，kg），且所有回填物質(zhì)均為就地取材.

（3）將地球近似為一個分層但各層密度均勻的實心球，其半徑為R（6371393 m），質(zhì)量為M（5.965×1024 kg）.由外向內(nèi)依次為地殼部分，地殼是莫霍面以上的地球表層.其厚度變化在5～70 km之間.其中大陸地區(qū)厚度較大，平均約為33 km.大洋地區(qū)厚度較小，平均約為7 km.綜上計算，地殼總體的平均厚度為Rq（1600 m）.由于目前人類對固體礦產(chǎn)的所有開采活動均未深入地幔部分，且在可預見的未來也很難深入地幔進行開采，故可認為人類目前只能在地殼進行開采.假設(shè)在人類未進行開采活動時的地殼的初始質(zhì)量為mq0（4.776×1022 kg）.而在進行開采活動之后，需將所開采的礦石和回填物質(zhì)區(qū)別于地殼進行單獨的計算.故可認為在進行開采活動之后的地殼的質(zhì)量為mq（kg）.

地幔是指地球的莫霍面以下，古登堡面以上的中間部分.其密度為ρm（4590 kg/m3），從地心到地幔頂部的距離為Rm（m）.

地核是指地球內(nèi)部古登堡面至地心的部分.其質(zhì)量為mh（1.88×1024 kg），半徑為Rh（3.48×106 m）.

2 理論推導

由前文可知，地球的自轉(zhuǎn)角動量是守恒的.根據(jù)角動量守恒定律可知：其中，在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之前，地球繞地軸自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為J1(kg m2），其自轉(zhuǎn)角速度為相應地，在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之后，地球繞地軸自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為J2(kg m2），其自轉(zhuǎn)角速度為

在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之前，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的標量性以及前文所述，需對要被開采的礦石和將要使用的回填物質(zhì)區(qū)別于地殼進行單獨的計算，可知

其中，除去要被開采的礦石和將要使用的回填物質(zhì)的地球繞其地軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為J0(kg m2）.而要被開采的礦石和將要使用的回填物質(zhì)的轉(zhuǎn)動慣量之和為J01(kg m2）.同理，在人類進行固體礦產(chǎn)的開采活動之后，可知有如下等式成立：

其中，除去已被開采的礦石和已使用的回填物質(zhì)的地球繞地軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為J0(kg·m2）.而已被開采的礦石和已使用的回填物質(zhì)的轉(zhuǎn)動慣量之和為

由前文可知，地球可分為局部勻質(zhì)的三個部分，即地殼部分、地幔部分、地核部分.則

其中，地殼部分的轉(zhuǎn)動慣量為Jq(kg·m2），地幔部分的轉(zhuǎn)動慣量為Jm(kg·m2），地核部分的轉(zhuǎn)動慣量為Jh(kg·m2）.

相對于地球龐大的體積，可將地殼部分視為一薄球殼，并設(shè)其轉(zhuǎn)動慣量為Jq(kg·m2），則

地幔部分可視為一勻質(zhì)的實心球，并在其球心處去除體積與地核相同的球體.設(shè)其轉(zhuǎn)動慣量為，則

由公式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）、（9）可知：

根據(jù)前文假設(shè)所述，可將某一具體的采礦過程抽象為見圖1所示，此時令i=1,j=2,k=0，則

在采礦之前：

在采礦之后：

又由于在全球范圍內(nèi)，顯然需要考慮分布極其廣泛的所有采礦點.則在采礦之前：

在采礦之后：

再由公式（3）、（4）、（5）可知：

代入公式（13）、（14）

繼續(xù)代入公式（10）

上述公式（17）便是基于角動量守恒定律針對固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉(zhuǎn)的影響這一問題進行推導而得出的最終公式.

根據(jù)公式（17），可計算出開采后與開采前地球自轉(zhuǎn)角速度的比值ω2/ω1.從而比較出在固體礦產(chǎn)開采的前后，地球的自轉(zhuǎn)速率發(fā)生的變化.為使結(jié)論更加清晰直觀，本文將針對一具體情境進行更深入的分析.即固體礦產(chǎn)開采的前后，地球的自轉(zhuǎn)周期將如何變化.

根據(jù)參照物的不同，地球的自轉(zhuǎn)周期分為太陽日和恒星日.而恒星日是指從遙遠的其他恒星（默認為無窮遠的平行光）.兩次直射國際日期變更線的時間，這才是地球自轉(zhuǎn)的真正周期.地球繞其自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)360°.而根據(jù)現(xiàn)今的科學觀測可知，一個恒星日的時間為23小時56分4秒，即86164 s.又根據(jù)角速度的物理意義，可知在固體礦產(chǎn)被開采之前，有如下等式成立：

其中t1（86164 s）為固體礦產(chǎn)被開采之前，地球自轉(zhuǎn)的周期.同理，可知在固體礦產(chǎn)被開采之后，有如下等式成立：

其中t2（s）為固體礦產(chǎn)被開采之后，地球自轉(zhuǎn)的周期.聯(lián)立公式（18）、（19），則：

根據(jù)公式（20），可以計算出固體礦產(chǎn)開采的前后，地球的自轉(zhuǎn)周期的變化情況.

3 數(shù)據(jù)計算

根據(jù)實際生活中對固體礦產(chǎn)的開采情況來看，大體可分為兩類：（1）回填物質(zhì)的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）大于所采礦石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）.（2）回填物質(zhì)的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）小于所采礦石密度ρj（j=2，4，6……，kg/m3）.本文重點針對第二種情況來進行說明，第一種情況同理，在此便不再贅述.可以預見，固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉(zhuǎn)的影響是不易察覺的.因此為使結(jié)果較為明顯，本文將假設(shè)一較為極端的情況來進行闡述.若所采礦石的密度遠大于回填物質(zhì)的密度，且該礦石的儲量相當可觀.則在礦石的開采前后，會導致地球上出現(xiàn)規(guī)模巨大的質(zhì)量的重新分布，而這會引起地球繞地軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的變化.在地球自轉(zhuǎn)的角動量守恒的情況下，地球的自轉(zhuǎn)速率便會發(fā)生較為明顯的改變.

為方便問題的討論，現(xiàn)令k=0，i=1，j=2.則公式（17）將簡化為：

又因為回填物質(zhì)的體積應等于所采礦石的體積，即：

將公式（22）代入公式（21），則：

根據(jù)公式（23），便可計算出比值ω2/ω1.

現(xiàn)假設(shè)一極端情況：有一儲量m2（4×1020 kg）的金礦，該儲量相當于地殼總質(zhì)量的0.8375%，所處的緯度α2（0°）.其密度ρ2（19300 kg/m3），礦井深度（沿地球半徑方向距地表的距離）h2（5000 m），而目前人類對固體礦產(chǎn)的開采活動大多數(shù)在距地表5 km的范圍內(nèi).該礦的回填物質(zhì)的密度ρ1（1000 kg/m3）.再結(jié)合前文所給的數(shù)據(jù)并代入公式（23），可得：

即在此過程的前后，地球的自轉(zhuǎn)速率發(fā)生微小的降低.將該比值ω2/ω1代入公式（20），則：

可見在本文假設(shè)的這一極端情況下，地球自轉(zhuǎn)的周期延長了0.02388860685 s.

由于全球范圍內(nèi)不同緯度圈均有固體礦產(chǎn)的開采活動，所以本研究保持上述假設(shè)情況中礦石的密度和礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）、礦床儲量不變以及填充物密度不變，只改變礦床所在的緯度，研究不同緯度的采礦活動對地球自轉(zhuǎn)的影響.根據(jù)公式（23）可知，由于礦體所處緯度的不同，開采活動對地球自轉(zhuǎn)速率的影響程度也將有所不同.本研究在從赤道到極點的緯度范圍內(nèi)進行平均截取，共20個不同的緯度位置，分別為0°，5°，10°……90°.每一個不同緯度位置的礦床均進行對地球一個恒星日自轉(zhuǎn)時間的計算，并將該計算結(jié)果進行更為直觀的作圖展示，詳見圖2a.

又因為全球范圍內(nèi)不同的礦床的地質(zhì)情況和采礦難度的不同，在實際開采過程中不同礦床所使用的礦井深度（沿地球半徑方向距地表的距離）不同.所以本研究保持上述假設(shè)情況中礦石的密度和礦床所在的緯度、礦床儲量不變以及填充物密度不變，只改變礦井的深度，研究不同礦井深度的采礦活動對地球自轉(zhuǎn)的影響.根據(jù)公式（23）可知，由于礦井深度的不同，開采活動對地球自轉(zhuǎn)速率的影響程度也將有所不同.本研究根據(jù)目前最深的已開采的固體礦產(chǎn)的礦井深度，對自地表以下5 km的范圍進行平均劃分，取20個礦井深度，分別為0 m，250 m，500 m……5000 m.并計算開采處于不同深度的礦床對地球一個恒星日自轉(zhuǎn)時間的改變量，且對該計算結(jié)果進行了更為直觀的作圖展示，詳見圖2b.

4 結(jié)論與展望

隨著人類社會工業(yè)化進程的不斷推進，世界各國對固體礦產(chǎn)的需求正在不斷上升.而對固體礦產(chǎn)的開采活動在一定程度上改變了地球的質(zhì)量分布.本文從地球自轉(zhuǎn)的角動量守恒出發(fā)，根據(jù)固體礦產(chǎn)的開采前后，地球自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的變化，進而得出結(jié)論.根據(jù)前文所述，本文假定回填物質(zhì)的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）小于所采礦石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）（如重金屬礦產(chǎn)的開采），則會在一定程度上降低地球自轉(zhuǎn)的速率，并且兩者的密度差異越大，對地球自轉(zhuǎn)速率的影響程度也就越大.同理，若回填物質(zhì)的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）大于所采礦石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）（如褐煤的開采），則會在一定程度上升高地球自轉(zhuǎn)的速率，并且兩者的密度差異越大，對地球自轉(zhuǎn)速率的影響程度也就越大.并根據(jù)進一步的計算論述，可知在所采礦石與回填物質(zhì)的密度差異和礦床的儲量，以及礦床所處的緯度相同的情況下，礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）hj（j=2，4，6，……，m）與地球自轉(zhuǎn)速率的改變量的絕對值呈正相關(guān).而在所采礦石與回填物質(zhì)的密度差異和礦床的儲量，以及礦井的深度（沿地球半徑方向距地表的距離）相同的情況下，礦床所處的緯度αj（j=2，4，6，……，rad）與地球自轉(zhuǎn)速率的改變量的絕對值呈負相關(guān).且由于轉(zhuǎn)動慣量的標量性質(zhì)，固體礦產(chǎn)的開采對地球自轉(zhuǎn)的影響在全球范圍內(nèi)具有加和性.

本文忽略地形起伏和橫向非均勻性的影響，將地球視為一球形的旋轉(zhuǎn)對稱體，且假定其為分層但各層密度均勻的球體.其次，沒有考慮地外天體對地球自轉(zhuǎn)影響，與真實的情況相比仍有不小的差距.除此之外，本文采用的是較為理想化的數(shù)據(jù)，與實際情境有所出入.今后將優(yōu)化所使用的計算模型及數(shù)據(jù)，使其與實際情況更為貼切.