電磁慣質(zhì)阻尼器對(duì)超長(zhǎng)斜拉索的減振性能分析

李亞敏，沈文愛(ài)，朱宏平

(華中科技大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

斜拉索為大跨度斜拉橋的主要承重構(gòu)件。然而，因其固有頻率低、阻尼小[1]，在風(fēng)和交通荷載等作用下會(huì)產(chǎn)生過(guò)大振動(dòng)，從而導(dǎo)致疲勞損傷和加速應(yīng)力腐蝕，嚴(yán)重降低了斜拉索的使用壽命。目前，主要的工程措施是在其錨固端附近安裝外置式阻尼器，提高斜拉索的模態(tài)阻尼比，從而達(dá)到抑制其過(guò)大振動(dòng)的目的[2]。斜拉索振動(dòng)控制又可以分為主動(dòng)、半主動(dòng)和被動(dòng)三種控制方法[3～5]。其中，被動(dòng)阻尼器不需要提供外部電源，且成本低、易維護(hù)，在斜拉索減振工程實(shí)踐中更受歡迎[6～11]。在被動(dòng)控制方法中，線性粘滯阻尼器的最大模態(tài)阻尼比正比于安裝位置比a/L(a為斜拉索的安裝高度；L為斜拉索長(zhǎng)度)。研究表明，線性粘滯阻尼器最大模態(tài)阻尼比的理論值是a/(2L)[6,12,13]。由于a受限，當(dāng)L很大時(shí)，安裝位置比a/L的值會(huì)急劇減小，從而導(dǎo)致常規(guī)阻尼器對(duì)超長(zhǎng)斜拉索提供的模態(tài)阻尼比偏小。例如，千米級(jí)跨度斜拉橋，拉索長(zhǎng)度達(dá)500 m，若常規(guī)阻尼器安裝在5 m位置，理論上其提供的最大模態(tài)阻尼比為0.5%，因而不能有效抑制斜拉索的大幅振動(dòng)。

慣質(zhì)阻尼器(Inerter Damper或Inertial Mass Damper)屬于被動(dòng)控制方法中的一種新型阻尼器，它的輸出力不僅包括粘滯阻尼力，還包括一種與相對(duì)加速度成正比的慣性力。它的設(shè)計(jì)思路來(lái)源于英國(guó)學(xué)者Smith提出的慣質(zhì)(Inerter)單元[14～16]。此后，許多研究者將慣質(zhì)單元和阻尼單元結(jié)合起來(lái)組成慣質(zhì)類阻尼器，研究這種類型阻尼器在土木工程結(jié)構(gòu)中的被動(dòng)減振性能，發(fā)現(xiàn)慣質(zhì)能較大程度提高結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比[16～18]。值得注意的是，在斜拉索減振中，由于阻尼器可假定為固支，則慣質(zhì)單元的慣性作用可完全等效為附加質(zhì)量效應(yīng)[19,20]。Lu等[21]通過(guò)復(fù)模態(tài)特征值分析研究了慣質(zhì)阻尼器對(duì)斜拉索的減振性能，發(fā)現(xiàn)慣質(zhì)阻尼器提供的斜拉索模態(tài)阻尼較粘滯阻尼器高一個(gè)數(shù)量級(jí)。Shi等[19]提出了一種優(yōu)化算法，可求解各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的慣質(zhì)阻尼器最優(yōu)參數(shù)及其理論最大阻尼比。此外，學(xué)者們還研究了其他慣質(zhì)類阻尼器對(duì)斜拉索的減振性能[22～27]。例如，Li等[22]通過(guò)足尺實(shí)驗(yàn)研究了電磁分流阻尼器對(duì)斜拉索的減振性能提升，其中電磁分流阻尼器可通過(guò)電容元件來(lái)模擬慣質(zhì)單元。

電磁慣質(zhì)阻尼器(Electromagnetic Inertial Mass Damper，EIMD)的理想力學(xué)模型與慣質(zhì)阻尼器相同，主要區(qū)別為其阻尼形式為電磁阻尼，具有阻尼可調(diào)、溫度適應(yīng)性好、阻尼特性穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。本文改進(jìn)并提出了電磁慣質(zhì)阻尼器的本構(gòu)模型[15]；隨后，我們[20]通過(guò)斜拉索足尺實(shí)驗(yàn)證明了電磁慣質(zhì)阻尼器可大幅提升斜拉索的減振性能，其一階模態(tài)阻尼比較常規(guī)粘滯阻尼器提升約2倍。汪志昊等[26～29]從數(shù)值和試驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了斜拉索垂度對(duì)慣質(zhì)阻尼器減振性能的影響。

本文以中國(guó)香港昂船洲大橋某斜拉索為減振對(duì)象，研究比較了粘滯阻尼器(Viscous Damper,VD)和電磁慣質(zhì)阻尼器斜拉索的減振性能。首先介紹電磁慣質(zhì)阻尼器的構(gòu)造和線性力學(xué)模型，闡述其力學(xué)行為。其次，建立斜拉索-阻尼器系統(tǒng)的有限差分模型，并進(jìn)行特征值分析以確定斜拉索-阻尼器系統(tǒng)各階模態(tài)的最優(yōu)慣質(zhì)和阻尼參數(shù)，比較電磁慣質(zhì)阻尼器和粘滯阻尼器可獲得的最大阻尼比。最后，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和抖振力激勵(lì)下，分析電磁慣質(zhì)阻尼器和傳統(tǒng)粘滯阻尼器的減振性能。

1 電磁慣質(zhì)阻尼器

如圖1所示，電磁慣質(zhì)阻尼器依靠滾珠絲桿和導(dǎo)軌將阻尼器可動(dòng)端的直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)動(dòng)。阻尼器通過(guò)聯(lián)軸器的聯(lián)軸轉(zhuǎn)動(dòng)和增速器的增速作用，帶動(dòng)飛輪和電機(jī)高速轉(zhuǎn)動(dòng)，從而產(chǎn)生巨大的慣性力和阻尼力[15]。慣性力和阻尼力的大小分別跟阻尼器兩端相對(duì)加速度和相對(duì)速度大小成正比。除此之外，實(shí)驗(yàn)觀察到阻尼器工作時(shí)，還會(huì)存在一定的摩擦力[15]。根據(jù)能量守恒原則，摩擦力可以等效為阻尼器的寄生阻尼力。

圖1 電磁慣質(zhì)阻尼器原型機(jī)

因此，如圖2所示，電磁慣質(zhì)阻尼器的力學(xué)模型可以簡(jiǎn)化為一種線性力學(xué)模型，具體表達(dá)式為：

圖2 電磁慣質(zhì)阻尼器的線性力學(xué)模型

(1)

如上所述，電磁慣質(zhì)阻尼器的力學(xué)單元分為慣質(zhì)單元和阻尼單元。圖3為電磁慣質(zhì)阻尼器的理論滯回曲線，其中，圖3a為阻尼單元滯回曲線，其力-位移滯回曲線面積的大小與阻尼的耗能能力成正比，力-速度曲線的斜率值為阻尼系數(shù)。圖3b為慣質(zhì)單元的滯回曲線，其力-位移直線的負(fù)斜率特性反映了慣質(zhì)作用。受簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，負(fù)斜率值等于-meω2(ω為激勵(lì)的圓頻率)，其力-速度曲線的面積大小跟慣質(zhì)系數(shù)大小成正比。圖3c為電磁慣質(zhì)阻尼器的滯回曲線。慣質(zhì)能提高結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比，增大阻尼耗能的效率，進(jìn)而在某些工程減振方面可以達(dá)到良好的減振效果。

圖3 電磁慣質(zhì)阻尼器的理論滯回曲線

2 斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器數(shù)值模型

2.1 斜拉索有限差分模型

根據(jù)Mehrabi等提出的有限差分法，斜拉索可以離散成多單元的數(shù)值模型[30～31]。模型考慮斜拉索自身抗彎剛度和重力引起的垂度。斜拉索的有限差分模型可以表達(dá)為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

式中：x為斜拉索n個(gè)自由度的位移動(dòng)力響應(yīng)向量；M，C，K分別為維度n×n的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣。其中，斜拉索的質(zhì)量矩陣為：

(3)

式中：mnn為斜拉索質(zhì)量矩陣M中的第n個(gè)自由度單元的單位長(zhǎng)度質(zhì)量(kg/m)。如上所述，因有限差分模型考慮了斜拉索自身的垂度和抗彎剛度，其剛度矩陣的表達(dá)式為：

(4)

式中：le，EI，T分別為單元長(zhǎng)度、單元抗彎剛度、斜拉索水平張力。此外，考慮垂度影響的剛度矩陣K″可以表達(dá)為：

(5)

式中：EA為斜拉索的軸向剛度；而ysp為斜拉索在自重情況下的垂度位移，可通過(guò)如下表達(dá)式得到：

(6)

式中：m，g分別為節(jié)點(diǎn)質(zhì)量向量和重力加速度。斜拉索的阻尼矩陣C可以表達(dá)為：

(7)

2.2 斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器有限差分模型

圖4為斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器系統(tǒng)用有限差分法得到的離散單元數(shù)值模型示意圖。

圖4 斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器離散單元模型

如2.1所述，斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器也可以表達(dá)為質(zhì)量Md、阻尼Cd和剛度Kd矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程。阻尼器安裝在斜拉索錨固端0.05L處，一端連接在斜拉橋橋面板固定端，另一端與斜拉索連接，相當(dāng)于在對(duì)應(yīng)的某個(gè)離散單元添加了阻尼器的力學(xué)單元。因此，在對(duì)應(yīng)的矩陣元素上增加阻尼器的慣質(zhì)單元和阻尼單元可以得到斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器系統(tǒng)的有限差分?jǐn)?shù)值模型。在無(wú)控斜拉索的質(zhì)量和阻尼矩陣相應(yīng)位置元素上增加質(zhì)量和阻尼單元。

(8)

Kd=K

(9)

因此，斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器系統(tǒng)的動(dòng)力方程可以表達(dá)為：

(10)

因電磁慣質(zhì)阻尼器包含了慣質(zhì)單元和阻尼單元，所以斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器系統(tǒng)模型中質(zhì)量和阻尼矩陣都會(huì)發(fā)生變化。而粘滯阻尼器只有阻尼單元，因此斜拉索-粘滯阻尼器系統(tǒng)只有阻尼矩陣相應(yīng)的元素發(fā)生變化。建立斜拉索和斜拉索-阻尼器有限差分?jǐn)?shù)值模型和動(dòng)力方程的系統(tǒng)矩陣。根據(jù)系統(tǒng)矩陣，采用特征值分析方法，計(jì)算得到無(wú)控斜拉索和斜拉索-阻尼器系統(tǒng)的動(dòng)力特性。考慮不同模態(tài)的諧振激勵(lì)和抖振力激勵(lì)，用Newmark法計(jì)算得到斜拉索的動(dòng)力響應(yīng)，進(jìn)而比較傳統(tǒng)粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器對(duì)斜拉索的減振性能。

3 參數(shù)分析

本文以中國(guó)香港昂船洲大橋中某根長(zhǎng)307 m的斜拉索作為減振對(duì)象進(jìn)行參數(shù)分析，比較兩種阻尼器對(duì)斜拉索的動(dòng)力特性影響及減振性能。斜拉索直徑為155 mm，索張力為5529.6 kN，其他參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 昂船洲大橋某斜拉索參數(shù)

根據(jù)索的參數(shù)可以建立相應(yīng)的有限差分模型，得到系統(tǒng)矩陣，進(jìn)行特征值分析，計(jì)算得到斜拉索前六階模態(tài)頻率分別為：0.394，0.776，1.164，1.552，1.941，2.330 Hz。理論上，還可以根據(jù)斜拉索參數(shù)計(jì)算得到前六階的模態(tài)頻率，理論表達(dá)式為[19]：

(11)

式中：i為模態(tài)階數(shù)；ωi為第i階模態(tài)頻率。根據(jù)式(11)，可以計(jì)算得到前六階模態(tài)頻率分別為：0.386，0.771，1.157，1.543，1.928，2.314 Hz。這一結(jié)果與數(shù)值模型得到的模態(tài)頻率結(jié)果基本吻合，可以認(rèn)為數(shù)值模型具有很高的精確度。

3.1 單階模態(tài)最優(yōu)參數(shù)

圖5 斜拉索-粘滯阻尼器系統(tǒng)前六階模態(tài)阻尼比

表2 粘滯阻尼器與電磁慣質(zhì)阻尼器的最優(yōu)參數(shù)及最大阻尼比

3.2 簡(jiǎn)諧激勵(lì)

簡(jiǎn)諧激勵(lì)的振幅均為1000 N，掃頻速率為0.001 Hz/s。激勵(lì)作用點(diǎn)在斜拉索0.88L處，這樣斜拉索-阻尼器系統(tǒng)前六階的模態(tài)都能在這個(gè)激勵(lì)點(diǎn)下被激起。為了比較粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的減振性能，將3.1節(jié)優(yōu)化得到的粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器前六階模態(tài)的最優(yōu)參數(shù)分別代入數(shù)值模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。以比較第一階模態(tài)減振性能為例，粘滯阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)為156.0 kN·s/m，電磁慣質(zhì)阻尼器的最優(yōu)慣質(zhì)和阻尼系數(shù)分別為60.5 ton和98.9 kN·s/m。依據(jù)式(8)，代入慣質(zhì)和阻尼參數(shù)可以分別得到斜拉索-電磁慣質(zhì)阻尼器系統(tǒng)的數(shù)值模型矩陣。輸入簡(jiǎn)諧激勵(lì)，用Newmark法可以分別計(jì)算得到：粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器對(duì)斜拉索減振后的第一階模態(tài)諧振的動(dòng)力響應(yīng)，從而進(jìn)行比較。比較其他各階不同模態(tài)減振性能時(shí)，輸入各階不同的最優(yōu)參數(shù)并計(jì)算得到各階位移動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行比較。各階模態(tài)簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率變化范圍以及比較位移動(dòng)力響應(yīng)的位置見(jiàn)表3。比較每一階模態(tài)減振性能的位置是位移動(dòng)力響應(yīng)最大處，分別為0.50，0.75，0.83，0.875，0.90，0.915倍的L。

表3 粘滯阻尼器與電磁慣質(zhì)阻尼器的位移動(dòng)力響應(yīng)及減振性能

圖6對(duì)比了安裝粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器的斜拉索在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下前六階模態(tài)位移動(dòng)力響應(yīng)。以圖6a第一階模態(tài)的位移動(dòng)力響應(yīng)比較為例，跟無(wú)控的情況相比，粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器均有較好的減振性能。在0.5L處時(shí)，無(wú)控的位移響應(yīng)峰值為163.2 mm，而粘滯阻尼和電磁慣質(zhì)阻尼器的位移響應(yīng)峰值分別為65.9，25.4 mm，分別下降了59.6%，84.4%。結(jié)果表明，在同時(shí)分別設(shè)定第一階最優(yōu)參數(shù)的情況下，電磁慣質(zhì)阻尼器比粘滯阻尼器的減振性能更好。同樣地，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的情況下，其他五階的結(jié)果均表明最優(yōu)電磁慣質(zhì)阻尼器和最優(yōu)粘滯阻尼器也都具有良好的減振效果，但前者比后者的減振性能更好。在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下各階模態(tài)的位移動(dòng)力響應(yīng)峰值和減振率見(jiàn)表3。

圖6 諧振激勵(lì)下斜拉索前六階模態(tài)的位移響應(yīng)

3.3 抖振力激勵(lì)

在風(fēng)荷載作用下，斜拉索的振動(dòng)問(wèn)題會(huì)更復(fù)雜，可能發(fā)生多模態(tài)振動(dòng)或伴隨主振模態(tài)轉(zhuǎn)移的單模態(tài)振動(dòng)。本節(jié)主要比較斜拉索在平均風(fēng)速為25 m/s的抖振力激勵(lì)下，粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器的減振性能。針對(duì)抖振力的特性，粘滯阻尼器的阻尼系數(shù)選取了第一階和第六階模態(tài)阻尼比隨阻尼系數(shù)變化曲線的交叉點(diǎn)70 kN·s/m。交叉點(diǎn)以上，保證了各階模態(tài)阻尼比均大于1.98%。電磁慣質(zhì)阻尼器的參數(shù)選擇以優(yōu)化第一階模態(tài)的減振性能為目標(biāo)，即最優(yōu)慣質(zhì)和最優(yōu)阻尼系數(shù)分別為60.5 ton和98.8 kN·s/m。利用斜拉索-阻尼器系統(tǒng)有限差分模型，每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)輸入不同的抖振力時(shí)程曲線。圖7和圖8均為模擬抖振力激勵(lì)下斜拉索的位移響應(yīng)。圖7a，7b分別為斜拉索跨中的位移響應(yīng)和快速傅里葉變換的頻譜圖。從圖7a中可以明顯地看到電磁慣質(zhì)阻尼器對(duì)斜拉索的減振性能優(yōu)于粘滯阻尼器。模擬風(fēng)振激勵(lì)包含了平均風(fēng)和脈動(dòng)風(fēng)兩部分。在脈動(dòng)風(fēng)的影響下，斜拉索的位移振動(dòng)響應(yīng)均值不為0。圖7b表明，抖振力激勵(lì)下，斜拉索-阻尼器跨中位移的第一階模態(tài)振動(dòng)比較明顯，電磁慣質(zhì)阻尼器得到的跨中頻譜幅值比粘滯阻尼器更小。圖7a，7b均證明了在抖振力激勵(lì)下，電磁慣質(zhì)阻尼器減振性能優(yōu)于粘滯阻尼器。

圖7 風(fēng)振激勵(lì)下斜拉索跨中位移的動(dòng)力響應(yīng)

圖8a，8b分別為抖振力激勵(lì)下斜拉索不同位置處的靜位移和動(dòng)位移。輸入抖振力激勵(lì)，可以得到斜拉索不同位置的時(shí)程響應(yīng)。對(duì)時(shí)程響應(yīng)取平均值，得到的是平均風(fēng)作用下斜拉索不同位置的靜位移。將不同位置時(shí)程響應(yīng)的平均值分別消去，并取均方根值，可以相應(yīng)地得到脈動(dòng)風(fēng)作用下斜拉索不同位置的動(dòng)位移均方值。圖8a表明，在平均風(fēng)作用下，電磁慣質(zhì)阻尼器與粘滯阻尼器對(duì)斜拉索的靜位移控制效果幾乎一樣，均沒(méi)有明顯效果。而圖8b表明電磁慣質(zhì)阻尼器對(duì)斜拉索不同位置動(dòng)位移響應(yīng)的減振效果均優(yōu)于粘滯阻尼器。其中，在0.25，0.4，0.5倍的L處，電磁慣質(zhì)阻尼器比粘滯阻尼器的減振效果分別高27.1%，28.7%，28.8%。圖8的結(jié)果表明，抖振力激勵(lì)下電磁慣質(zhì)阻尼器比粘滯阻尼器減振性能更優(yōu)越，尤其是對(duì)脈動(dòng)風(fēng)引起的動(dòng)位移減振。斜拉索在對(duì)稱位置處的動(dòng)位移響應(yīng)幾乎一樣，這也說(shuō)明抖振力激勵(lì)下，斜拉索的振動(dòng)以第一階模態(tài)振動(dòng)為主。

圖8 抖振力激勵(lì)下斜拉索不同位置處的靜位移和動(dòng)位移

4 結(jié)論與展望

本文建立了斜拉索-阻尼器的有限差分?jǐn)?shù)值模型，比較了粘滯阻尼器和電磁慣質(zhì)阻尼器對(duì)斜拉索動(dòng)力特性的影響及其減振性能?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論與展望：

(1)以斜拉索-阻尼器各單階模態(tài)減振為優(yōu)化目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)電磁慣質(zhì)阻尼器能大幅度提高斜拉索各單階模態(tài)減振的模態(tài)阻尼比，與粘滯阻尼器相比，電磁慣質(zhì)阻尼器提供給斜拉索的模態(tài)阻尼比提高了約10倍。

(2)電磁慣質(zhì)阻尼器獲得最大阻尼比時(shí)，其最優(yōu)阻尼系數(shù)遠(yuǎn)小于粘滯阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)。簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，優(yōu)化的電磁慣質(zhì)阻尼器減振性能均超越了最優(yōu)粘滯阻尼器。在抖振力激勵(lì)下，電磁慣質(zhì)阻尼器的減振性能依然優(yōu)于粘滯阻尼器，其對(duì)脈動(dòng)風(fēng)作用下動(dòng)位移響應(yīng)的控制效果更好。

(3)考慮多階模態(tài)減振時(shí)，由于粘滯阻尼器只有阻尼單元系數(shù)的變化，第一階和第n階的阻尼比-阻尼系數(shù)曲線的交匯點(diǎn)即為前n階模態(tài)阻尼比的下限值。而電磁慣質(zhì)阻尼器具有慣質(zhì)和阻尼雙參數(shù)且可以同時(shí)獨(dú)立變化，不存在交叉點(diǎn)，但可能存在最優(yōu)參數(shù)區(qū)域。實(shí)際工程中應(yīng)結(jié)合工程需要，考慮斜拉索多模態(tài)的最低減振要求，確定其目標(biāo)阻尼比，進(jìn)而可對(duì)慣質(zhì)系數(shù)和阻尼系數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。